四川省眉山市2013届高三数学第二次诊断性考试试题（眉山二诊）理 新人教A版

1 眉山市高中眉山市高中 20132013 届第二次诊断性考试届第二次诊断性考试 数学试题卷 理科 数学试题卷 理科 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须使用 0 5 毫米的黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束 将答题卡上交 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P ABP AP B 如果事件 A B 相互独立 那么 P A BP AP B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率为 1 kkn k nn P kC pp 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数 i i 1 1 3 的虚部是 A i B 1 C iD 1 2 命题 存在 0 0 20 x xR 的否定是 A 不存在 0 0 20 x xR B 存在 0 0 20 x xR C 对任意的 20 x xR D 对任意的 20 x xR 3 已知 n a 为等比数列 若 153 4 1 aaa 且 4 a 与 7 a 的等差中项为8 9 则公比 q A 2 B 4 C 1 2 D 1 4 4 设a b 是两条直线 是两个平面 则a b 的一个充分条件是 A ab B ab C ab D ab G F E y x 图 1 O 2 5 设 cos0 0 0f xAxA 为奇函数 该函数的部分图象如图 1 所示 EFG 是边长为 2 的等边三 角形 则 1 f 的值为 A 2 3 B 2 6 C 3 D 3 6 设点 M 是半径为 R 的圆周上一个定点 其中 O 为圆心 连接 OM 在圆周上等可能地取任意一点 N 连接 MN 则弦 MN 的长超过 2R的概率为 A 1 4 B 1 2 C 2 3 D 3 4 7 执行图 2 的程序框图 若输入的 N 是 6 则输出 p 的值是 A 120 B 720 C 1 440 D 5 040 8 已知某几何体的三视图如图 3 所示 其中正视图 侧视图均 是由直角 三角形与半圆构成 俯视图由圆与内接三角形构 成 根据图中的数据可得此几何体的体积为 A 21 32 B 41 36 C 21 66 D 21 32 9 某高校的 8 名属 老乡 关系的同学准备拼车回家 其中大一 大二 大三 大四每个年级各两名 分乘甲 乙两辆汽车 每车限坐 4 名同学 乘同一辆车的 4 名同学 不考虑位置 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车 则乘坐甲车的 4 名同学恰有 2 名来自于 同一年级的乘坐方式共有 A 18 种 B 24 种 C 36 种 D 48 种 10 函数 f x 的定义域为D 若存在非零实数l使得对于任意 xM MD 有 xlD 且 f xlf x 则称 f x 为M上的l高调函数 如果定义域为R的函数 f x 是奇函数 当 0 x 时 22 f xxaa 且 f x 为R上的 4 高调函数 那么 实数a的取值范围是 A 11 a B 10 a C 22 a D 22 a 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡相应位置上 1 1 1 正视图 侧视图 俯视图 图 3 图 2 3 11 6 1 2 x x 的展开式中 2 x 的系数为 12 设 x y 满足约束条件 0 30 2 3 xy xyzxy x 则 的最大值为 13 设 E F 分别为 Rt ABC 的斜边 BC 上的三等分点 已知 AB 3 AC 6 则AE AF 14 已知点M是抛物线 xy4 2 上的一点 F为抛物线的 焦点 点A在圆 1 1 4 22 yxC 上 则 MFMA 的最小值 为 15 如图所示 f x 是定义在区间 0 c c c 上的奇函数 令 g xaf xb 并有关于函数 g x 的五个论断 若 0a 对于 1 1 内的任意实数 m n mn 0 g ng m nm 恒成立 若 1 20ab 则方程 g x 0 有大于 2 的实根 函数 g x 的极大值为2a b 极小值为 2ab 若 1 0ab 则方程 0g x 必有 3 个实数根 aR g x 的导函数 g x 有两个零点 其中所有正确结论的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题 12 分 在三角形 ABC 中 cba 分别是角 A B C 的对边 cos 2 Ccbm cos Aan 且m n 1 求角 A 的大小 2 当 B 是钝角 求函数 2 2sincos 2 3 yBB 的值域 17 本小题 12 分 某示范高举办科技创新大赛 在 50 件科技作品参赛 大赛组委会对这 50 件作品分别从 创 新性 和 实用性 两项进行评分 每项评分均按等级采用 5 分制 若设 创新性 得分为 A B C EF 4 x 实用性 得分为 y 统计结果如下表 实 用 性 1 分2 分3 分4 分5 分 1 分13101 2 分10751 3 分21093 4 分1b60a 创 新 性 5 分00113 求 创新性为 4 分且实用性为 3 分 的概率 若 实用性 得分的数学期望为 167 50 求 a b 18 本小题满分12分 如图 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 侧面 A1ADD1 底面 ABCD D1A D1D 2 底面 ABCD 为直角梯形 其中 BC AD AB AD AD 2AB 2BC 2 O 为 AD 中点 1 求证 A1O 平面 AB1C 2 求锐二面角 A C1D1 C 的余弦值 19 本小题 12 分 已知数列 n a 为等差数列 n a 的前 n 项和为 Sn 2 3 31 aa 5 5 S 1 求数列 n a 的通项公式 2 数列 n b 满足 1433221 4 1 nnnnn bbbbbbbbTba 若不等式 nn bkT 2 恒成立 求实数 k 的取值范围 20 本小题 13 分 设 A x1 y1 B x2 y2 是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 上的两点 已知 2211 a y b x n a y b x m 若 0 nm 椭圆的离心率 2 3 e 短轴长为 2 O 为坐标 原点 1 求椭圆的方程 O A C1 B C D B1 D1A1 5 2 若直线 AB 过椭圆的焦点 F 0 c c 为半焦距 求直线 AB 的斜率 k 的值 3 试问 AOB 的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 请说明理由 21 本小题 14 分 函数 lnln axxgaexf x 其中 a 为正常数 且函数 g x y 和xfy 的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 1 求两平行线的距离 2 若存在 x 使不等式 x xf mx 成立 求实 m 的取值范围 3 对于函数 g x y 和xfy 公共定义域中的任意实数 x0 我们把 00 xgxf 的值称为两函数在 x0 处的偏差 求证 函数 g x y 和xfy 在其公 共定义域内的所有偏差都大于 2 眉山市高中 2013 届第二次诊断性考试 数学 参考答案 理科 一 选择题 12345678910 BDCADBBCBA 二 填空题 11 12 13 1415 2409104 三 解答题 16 解 由m n 得 2 coscos0bcAaC 由正弦定理得2sin cossincossincos0BACAAC 2sincossin0BAB B 0 A sin 0B 得 3 A 5 分 13 1cos2sin2sin 2 1 226 yBBB 7 分 当角 B 为钝角时 角 C 为锐角 则 2 2 223 0 32 B B B 8 分 57 2 666 B 1 1 sin 2 62 2 B 1 3 2 2 y 11 分 6 综上 所求函数的值域为 1 3 2 2 12 分 17 本小题满分 12 分 从表中可以看出 创新性为 4 分且实用性为 3 分 的作品数量为 6 件 创新性为 4 分且实用性为 3 分 的概率为 6 0 12 50 4 分 由表可知 实用性 得分 y 有 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分五个等级 且每个等级分 别人 5 件 b 4 件 15 件 15 件 a 8 件 5 分 实用性 得分 y 的分布列为 y12345 p 5 50 4 50 b 15 50 15 50 8 50 a 又 实用性 得分的数学期望为 167 50 5415158167 12345 505050505050 ba 10 分 作品数量共有 50 件 3ab 解得 1 2ab 12 18 证明 如图 连结 CO A1O AC AB1 1 分 则四边形 ABCO 为正方形 所以 OC AB A1B1 所以 四边形 A1B1CO 为平行四边形 3 分 所以 A1O B1C 又 A1O 平面 AB1C B1C 平面 AB1C 所以 A1O 平面 AB1C 6 分 因为 D1A D1D O 为 AD 中点 所以 D1O AD 又侧面 A1ADD1 底面 ABCD 所以 D1O 底面 ABCD 7 分 以 O 为原点 OC OD OD1 所在直线分别为x轴 y 轴 z轴建立如图 2 所示的坐标 系 则C 1 0 0 D 0 1 0 1 D 0 0 1 A 0 1 0 8 分 所以 1111 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 DCDDD ADCDC 9 分 设 mx y z 为平面 C1CDD1 的一个法向量 由 1 mDC mDD 得 0 0 xy yz 令 1z 则 1 1 1 1 1 yxm 10 分图 2 y z O A C1 B C D B1 D1A1 x O A C1 B C D B1 D1A1 图 1 7 又设 111 nx y z 为平面 AC1D1 的一个法向量 由 111 nD A nDC 得 11 11 0 0 yz xy 令 1 1z 则 11 1 1 1 1 1 yxn 11 分 则 1 1 11 cos 333 m n 故所求锐二面角 A C1D1 C 的余弦值为 1 3 12 分 19 解 由 2 3 31 aa 5 5 S 得 4 1 2 1 1 da 3 分 4 1 n an 5 分 2 1 1 4 1 4 1 n bba n a nnn n 6 分 2 1 1 1 2 1 1 1 nnnn bb nn 21b bTn 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 14332 nn bbbbbb nn 2 22 1 2 1 2 1 1 1 5 1 4 1 n n nnn 8 分 2 1 2 1 1 1 2 2 2 nn nkkn nn kn bkS nn 由条件 可知当 02 1 2 nkkn 恒成立时即可满足条件 设 2 1 2f nknk n 当 0 k 时 由二次函数的性质 知 02 1 2 nkkn 不可 能恒成立 当 k 0 时 02 nnf 恒成立 当 k 0 时 由于对称轴直线 1 111 2222 k n kk 1 在nf 上为单调递减函数 0f 1 只要 即可满足 02 1 2 nkkn 恒成立 8 由 0 0k 2 3 k 02 1 1 kkkf又得 综上可知 当 k 0 时 不等式 2kSn bn 恒成立 12 分 注 k 0 的单调性 可用导数 求 k 的范围 也可用分离变量 20 解 1 3 2 2 3 122 22 ca a ba a c ebb 所以椭圆的方程为 1 4 2 2 x y 4 分 2 由题意 设 AB 的方程为 y kx 3 0132 4 1 4 3 22 2 2 kxxk x y kxy 4 1 4 32 2 21 2 21 k xx k k xx 6 分 由已知 0 nm 得 3 3 4 1 2121 2 21 2 1 2 kxkxxx a yy b xx 4 3 4 3 4 1 2121 2 xx k xx k 0 4 3 4 32 4 3 4 1 4 4 22 2 k kk k k 解得 2 k 8 分 3 是 证明如下 当直线 AB 的斜率不存在时 即 2121 yyxx 当 0 nm 得 2 1 2 1 2 12 1 40 4 xy y x 又 A x1 y1 在椭圆上 所以 2 2 2 1 4 4 11 2 12 1 yx x x 所以 1 2 2 1 2 1 11211 yxyyxS 10 分 当直线 AB 的斜率存在时 设 AB 的方程为 y kx b 042 4 1 4 2 22 2 2 bkbxxk x y bkxy 得到 4 4 4 2 2 2 21 2 21 k b xx k kb xx 9 0 4 0 4 2 21 21 21 1 bkxbkx xx yy xx 代入整理 得 42 22 kb 1 2 4 4 1644 4 2 1 1 2 1 2 2 22 21 2 21 2 b b k bkb xxxxbAB k b S 所以三角形的面积为定值 13 分 21 1 1 x xgaexf x 函数 xfy 的图象与坐标轴的交点为 0 a 函数 xgy 的图象与坐标轴的交点为 a 0 由题意得 a 1 a 0 即agf 2 分 又 1a0 a xxgexf x ln 函数 g x y 和xfy 的图象在其坐标灿的交点处的切线方程分别为 01 01 yxyx 两平行切线间的距离 2 4 分 2 由 x e mx x xf mx x 得 故 x exxm 在 0 x 上有解 令 x exxxh 则 max xhm 5 分