东北三省四市统一考试暨沈阳市2011届高三数学教学质量监测（二） 理 新人教版

用心 爱心 专心 1 20112011 年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测 二 年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测 二 数数 学 理科 学 理科 时间 时间 120120 分钟分钟 总分 总分 150150 分分 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 22 题 第 24 题为选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡及答题纸上 在本试 卷上答题无效 考试结束后 将本试卷和答题卡 纸 一并交回 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 1 已知集合 1 0 Aa 01Bxx 若 AB 则实数a的取值范围是 A 1 B 0 C 1 D 0 1 2 设等比数列 n a的公比2q 前n项和为 n S 则 4 3 S a 的值为 A 15 4 B 15 2 C 7 4 D 7 2 3 已知复数 1 cos23sin23zi 和复数 2 cos37sin37zi 则 21 zz 为 A i 2 3 2 1 B i 2 1 2 3 C i 2 3 2 1 D i 2 1 2 3 4 已知命题p 抛物线 2 2xy 的准线方程为 2 1 y 命题q 若函数 1 xf为偶函 数 则 xf关于1 x对称 则下列命题是真命题的是 A qp B q p C pq D qp 5 等差数列 n a的首项为 1 a 公差为d 前n项和为 n S 则 1 da 是 n S的最小值为 锥体体积公式 1 3 VSh 其中为底面面积 为高Sh 球的表面积和体积公式 2 4SR 3 4 3 VR 其中为球的半径R 参考公式 样本数据 的标准差 1 x 2 x n x 22 2 2 1 1 xxxxxx n s n 其中为样本平均数x 柱体体积公式 VSh 其中为底面面积 为高Sh 用心 爱心 专心 2 1 S 且 n S无最大值 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不是充分条件也不是必要条件 6 已知图象不间断的函数 xf是区间 ba上的单调函数 且 在区间 a b上存在零点 图 1 是用二分法求方程 0f x 近 似解的程序框图 判断框内可以填写的内容有如下四个选择 0 mfaf 0 mfaf 0 mfbf 0 mfbf 其中能够正确求出近似解的是 2 B C D 7 若 1 3 nx x 展开式中各项系数之和为 32 则该展开 式中含 3 x的项的系数为 A 5 B 5 C 405 D 405 8 设函数 2cos 23 f xx 若对于任意的xR 都有 12 f xf xf x 则 12 xx 的最小值为 A 4 B 2 C 1 D 1 2 9 在送医下乡活动中 某医院安排 3 名男医生和 2 名女 医生到三所乡医院工作 每所医院至少安排一名医生 且女医生不安排在同一乡医院工作 则不同的分配方法 总数为 A 78 B 114 C 108 D 120 10 设 3 f xxx xR 若当0 2 时 0 1 sin mfmf 恒成立 则实数m的取值范围是 A 0 1 B 0 C 2 1 D 1 11 已知O为坐标原点 点M的坐标为 1 a 0a 点 N x y的坐标x y满足不等 式组 1 033 032 y yx yx 若当且仅当 3 0 x y 时 OM ON 取得最大值 则a的取值范围是 A 1 0 3 B 1 3 C 1 0 2 D 1 2 开始 定义 f x 输入精确度d 和区间 a b 2 ab m bm 是 否 或 abd 0f m 是 否 输出a 结束 图 1 am 用心 爱心 专心 3 12 已知函数 3 21 1 12 111 0 362 x x x f x xx 函数 x sinaxg 6 22 a a 0 若存 在 12 0 1 xx 使得 12 f xg x 成立 则实数a的取值范围是 A 1 4 2 3 B 1 0 2 C 2 4 3 3 D 1 1 2 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都 必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把答案填在答题纸相应的位置 上 13 2 3 1dx x 14 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 左 右焦点分别为 21 FF 过点 2 F作与x轴垂直的直线与双 曲线一个交点为P 且 6 21 FPF 则双曲线的渐近线方程为 15 对于命题 若O是线段AB上一点 则有 OBOAOAOB0 将它类比到平面的情形是 若O是 ABC内一点 则有 将它类比到空间的情形应该是 若O是四面体ABCD内一点 则有 16 已知一个三棱锥的三视图如图2 所示 其中俯视图是顶角为 120 的等腰三角形 则该三棱锥的外接球体积为 三 解答题 本大题共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图 3 ABC 中 AB ABC sin2 3 3 2 点D在线段AC上 且 3 34 2 BDDCAD 求BC的长 求DBC 的面积 俯视图 左视图 主视图 1 2 2 3 图 2 D A CB 图 3 OCSOBSOAS OBAOCAOBC 0 AAA 用心 爱心 专心 4 18 本小题满分 12 分 如图4 三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 AAC C 底面 ABC 11 2 AAACACABBC 且ABBC O为 AC中点 在 1 BC上确定一点E 使得 OE平面 1 A AB 并 说明理由 求二面角 11 AABC 的大小 19 本小题满分 12 分 某科考试中 从甲 乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析 两班成绩的茎 叶图如图 5 所示 成绩不小于 90 分为及格 甲班 10 名同学成绩的标准差 乙班 10 名同学成绩的标 准差 填 2 分 甲班有 4 人及格 乙班有 5 人及格 事件 从两班 10 名同学中各抽取一人 已知有人及格 记作A 事件 从两班 10 名同学中各抽取一人 乙班同学不及格 记作B 则 7 2 100 30 1 100 20 AP BAP ABP 6 分 X 取值为 0 1 2 3 15 2 0 2 10 2 5 1 10 1 6 C C C C XP 45 19 1 2 10 2 5 1 10 1 4 2 10 1 5 1 5 1 10 1 6 C C C C C CC C C XP 45 16 2 2 10 1 5 1 5 1 10 1 4 2 10 2 5 1 10 1 6 C CC C C C C C C XP 45 4 3 2 10 2 5 1 10 1 4 C C C C XP 10 分 所以 X 的分布列为 X0123 n m m m m m m n m n 用心 爱心 专心 11 P X 15 2 45 19 45 16 45 4 所以 5 7 45 123219 XE 12 分 20 本小题满分 12 分 解 由题意知 2 2 c e a 所以 222 2 22 1 2 cab e aa 即 22 2ab 2 分 又因为 2 1 1 1 b 所以 2 2a 2 1b 故椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 由题意知直线AB的斜率存在 设AB 2 yk x 11 A x y 22 B xy P x y 由 2 2 2 1 2 yk x x y 得 2222 12 8820kxk xk 422 644 21 82 0kkk 2 1 2 k 6 分 2 12 2 8 12 k xx k 2 12 2 82 12 k x x k A OPtOBOA 1212 xxyyt x y 2 12 2 8 12 xxk x ttk 12 12 2 14 4 12 yyk yk xxk tttk 点P在椭圆上 222 222222 8 4 22 12 12 kk tktk 222 16 12 ktk 8 分 PBPA 2 5 3 2 12 2 5 1 3 kxx 22 1212 20 1 4 9 kxxx x A 42 2 222 648220 1 4 12 129 kk k kk A 用心 爱心 专心 12 22 41 1413 0kk 2 1 4 k 10 分 2 11 42 k 222 16 12 ktk 2 2 22 168 8 1212 k t kk 2 6 2 3 t 或 2 6 2 3 t 实数t取值范围为 2 3 62 3 62 2 12 分 注意 可设直线方程为2 xmy 但需要讨论0m 或0m 两种情况 21 本小题满分 12 分 解 证明 假设存在 使得 且 0000 xxbaxx 0 xf ab afbf 0 xf ab afbf 即 00 xfxf 1 分 1 xfxgm e e xf x x 记 0 1 2 baxf e e xg x x 是 上的 单调增函数 或者通过复合函数单调性说明 xf的单调性 3 分 0000 xxxx 这与矛盾 即 0 x是唯一的 4 分 1212 22 xxf xf x f 原因如下 法一 设 2121 xxRxx 且 则 12 12 1212 2 1212 2 ln 1 ln 1 2 ln 1 22 xx xx xxxx f xf xfeexxe 12 12 2 2 ln 1 1 ln 1 xx xx eee 12 1212122 ln 1 ln 12 xx xxxxxx eeeee 5 分 2 21 21 212121 22 0 0 xx xxxxxx eeeeexxee 且 6 分 1 21 21 21112 21 xx xx xxxx eeeee 12 121212 12 121212 2 2 ln 1 ln 12 ln 1 ln 12 0 xx xxxxxx xx xxxxxx eeeee eeeee 用心 爱心 专心 13 121212 12 2 222 xxxxf xf x f xf xff 8 分 法二 设 2 2 22 xfxfxx fxF 则 2 2 2 1 2 xfxx fxF 由 知 xf单调增 所以当 2 xx 即x xx 2 2 时 有0 2 2 2 1 2 xfxx fxF 所以 2 xx 时 xF单调减 5 分 当 2 xx 即x xx 2 2 时 有0 2 2 2 1 2 xfxx fxF 所以 2 xx 时 xF单调增 6 分 所以0 2 xFxF 所以 2 2 2121 xfxfxx f 8 分 证明 设 321332211 xxxyxCyxByxA 且 因为1 m Rxxf e mm e e xf xx x 是 0 1 1 1 1 上的单调减函数 9 分 123 f xf xf x 23232121 xfxfxxBCxfxfxxBA 23212321 xfxfxfxfxxxxBCBA 10 分 0 0 0 0 23212321 xfxfxfxfxxxx BBBCBA 0cos 0为钝角 故 ABC为钝角三角形 12 分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 证明 连结BC AB是直径 90 ACB 90ACBAGC 2 分 GC切圆O于C GCAABC 4 分 BACCAG 5 分 连结CF EC切圆O于C AFCACE 6 分 又 CAGBAC ACF AEC 8 分 图 6 用心 爱心 专心 14 AFAEAC AC AF AE AC 2 10 分 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 曲线 siny cosx4 为参数 上的每一点纵坐标不变 横坐标变为原来的一半得到 y x sin cos2 1 分 然后整个图象向右平移1个单位得到 y x sin 1cos2 2 分 最后横坐标不变 纵坐标变为原来的 2 倍得到 y x sin2 1cos2 3 分 所以 1 C为4 1 22 yx 4 分 又 2 C为 sin4 即yyx4 22 5 分 所以 1 C和 2 C公共弦所在直线为0342 yx