第八章第十节圆锥曲线的综合问题（理）

1 第八章第八章 第十节第十节 圆锥曲线的综合问题 理 圆锥曲线的综合问题 理 题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题 1 若直线 mx ny 4 和 O x2 y2 4 没有交点 则过点 m n 的直线与椭圆 1 的交点个数为 x2 9 y2 4 A 至多一个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 解析 由直线 mx ny 4 和 O x2 y2 4 没有交点得 2 m2 n20 的焦点的直线 x my m 0 与抛物线交于 A B 两点 且 OAB O 为坐标原点 的面积为 2 则 m6 m4 2 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 联立Error Error 消去 x 得 y2 2mpy 2pm 0 y1 y2 2pm y1y2 2pm y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 4p2m2 8pm 又焦点在 x my m 0 上 p 2m p 2 0 y1 y2 4 m4 m2 S OAB y1 y2 2 1 2 p 22 m 平方得 m6 m4 2 m4 m22 2 答案 2 题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 4 2009 全国卷 已知直线 y k x 2 k 0 与拋物线 C y2 8x 相交于 A B 两点 F 为 C 的焦点 若 FA 2 FB 则 k A B C D 1 3 2 3 2 3 2 2 3 解析 过 A B 作拋物线准线 l 的垂线 垂足分别为 A1 B1 由拋物线定义可知 AA1 AF BB1 BF 2 BF AF AA1 2 BB1 即 B 为 AC 的中点 从而 yA 2yB 联立方程组Error Error 消去 x 得 y2 y 16 0 Error Error 8 k Error Error 消去 yB得 k 2 2 3 答案 D 5 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C 3 D 4 22 解析 设直线 AB 的方程为 y x b 由Error Error x2 x b 3 0 x1 x2 1 得 AB 的中点 M b 1 2 1 2 又 M b 在直线 x y 0 上可求出 b 1 1 2 1 2 x2 x 2 0 则 AB 3 1 12 1 2 4 2 2 答案 C 3 6 2008 全国卷 已知 F 为抛物线 C y2 4x 的焦点 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A B 两点 设 FA FB 则 FA 与 FB 的比值等于 解析 F 1 0 直线 AB 的方程为 y x 1 Error Error x2 6x 1 0 x 3 2 2 FA FB 由抛物线定义知 A 点的横坐标为 3 2 B 点的横坐标为 3 2 22 3 2 FA FB xA 1 xB 1 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 6 4 2 22 答案 3 2 2 题组三最值与取值范围问题 7 2009 银川模拟 已知对 k R 直线 y kx 1 0 与椭圆 1 恒有公共点 则 x2 5 y2 m 实数 m 的取值范围是 A 0 1 B 0 5 C 1 5 5 D 1 5 解析 直线恒过定点 0 1 若直线与椭圆恒有公共点 只需点 0 1 在椭圆上或内部 1 1 m 又 m 0 且 m 5 m 1 且 m 5 答案 C 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 在双曲线的右 x2 a2 y2 b2 支上 且 PF1 4 PF2 则双曲线离心率 e 的最大值为 解析 设 F1PF2 由 Error Error 得Error Error cos e2 17a2 9c2 8a2 17 8 9 8 cos 1 1 1 e 5 3 答案 5 3 题组四综 合 问 题 9 已知动圆过定点 2 0 且与直线 x 2 相切 1 求动圆的圆心轨迹 C 的方程 2 是否存在直线 l 使 l 过点 0 2 并与轨迹 C 交于 P Q 两点 且满 4 足 0 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 OP OQ 解 1 如图 设 M 为动圆圆心 F 2 0 过点 M 作直线 x 2 的垂线 垂足为 N 由题意知 MF MN 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x 2 的距离相等 由抛物线的定义知 点 M 的轨迹为抛物线 其中 F 2 0 为焦点 x 2 为准线 所以动圆圆心轨迹 C 的方程为 y2 8x 2 由题可设直线 l 的方程为 x k y 2 k 0 由Error Error 得 y2 8ky 16k 0 8k 2 4 16k 0 解得 k1 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2 8k y1y2 16k 由 0 得 x1x2 y1y2 0 OP OQ 即 k2 y1 2 y2 2 y1y2 0 整理得 k2 1 y1y2 2k2 y1 y2 4k2 0 代入得 16k k2 1 2k2 8k 4k2 0 即 16k 4k2 0 解得 k 4 或 k 0 舍去 所以直线 l 存在 其方程为 x 4y 8 0 10 已知双曲线 C 1 0 1 的右焦点为 B 过点 B 作直线交双曲线 C 的 x2 1 y2 右支于 M N 两点 试确定 的范围 使 0 其中点 O 为坐标原点 OM ON 解 设 M x1 y1 N x2 y2 由已知易求 B 1 0 当 MN 垂直于 x 轴时 MN 的方程为 x 1 设 M 1 y0 N 1 y0 y0 0 由 OM ON 0 得 y0 1 M 1 1 N 1 1 又 M 1 1 N 1 1 在双曲线上 1 2 1 0 1 1 1 1 5 2 0 1 5 1 2 当 MN 不垂直于 x 轴时 设 MN 的方程为 y k x 1 由Error Error 5 得 1 k2 x2 2 1 k2x 1 k2 0 由题意知 1 k2 0 x1 x2 x1x2 2k2 1 1 k2 1 k2 1 k2 y1y2 k2 x1 1 x2 1 k2 2 1 k2 0 且 M N 在双曲线右支上 OM ON Error Error Error Error Error Error 5 1 2 2 3 综上 知 5 1 2 2 3 11 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 x2 a2 y2 b2 6 3 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 AOB 面 3 2 积的最大值 解 1 设椭圆的半焦距为 c 依题意Error Error b 1 所求椭圆方程为 y2 1 x2 3 2 设 A x1 y1 B x2 y2 当 AB x 轴时 AB 3 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 y kx m 由已知 得 m2 k2 1 m 1 k2 3 2 3 4 把 y kx m 代入椭圆方程 整理得 3k2 1 x2 6kmx 3m2 3 0 x1 x2 x1x2 6km 3k2 1 3 m2 1 3k2 1 AB 2 1 k2 36k2m2 3k2 1 2 12 m2 1 3k2 1 6 12 k2 1 3k2 1 m2 3k2 1 2 3 k2 1 9k2