多面体外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法 知识回顾 定义 1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个 球是这个多面体的外接球外接球 定义 2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这 个球是这个多面体的内切球内切球 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2 正多面体的内切球和外接球的球心重合 正多面体的内切球和外接球的球心重合 3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合 4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理 5 体积分割是求内切球半径的通用做法 体积分割是求内切球半径的通用做法 一 一 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 则这个球的体积为 9 8 小结 本题是运用公式求球的半径的 该公式是求球的半径的常用公式 222 Rrd 二 多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 体积为 16 则这个球的表面积是 A B C D 16 20 24 32 小结 本题是运用 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 这一性质来求解的 三 补形法 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 3 小结 一般地 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就可以将这个三abc 棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 设其外接球的半径 为 则有 R 222 2Rabc 变式 1 变式 2 三棱锥中 两两垂直 且 则三棱锥OABC OA OB OC22OAOBOCa 外接球的表面积为 OABC A B C D 2 6 a 2 9 a 2 12 a 2 24 a 四 寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 SABCD 2 SABCD 都在同一球面上 则此球的体积为 小结 根据题意 我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球 的一个轴截面圆 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接 球半径的通解通法 该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆 从而把立体几何问题转化为 平面几何问题来研究 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 变式 1 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积 变式 2 正三棱锥的高为 1 底面边长为 求棱锥的内切球的表面积 2 6 C D A B S O1 图 3 变式 1 底面边长为的正三棱柱外接球的体积为 则该三棱柱的体积为 3 3 32 五 确定球心位置法 例 5 在矩形中 沿将矩形折成ABCD4 3ABBC ACABCD 一个直二面角 则四面体的外接球的体积为BACD ABCD A B C D 125 12 125 9 125 6 125 3 变式 1 三棱锥中 底面是边长为 2 的正三角形 底面 且 PABC ABC PAABC2PA 则此三棱锥外接球的半径为 A B C D 252 3 21 1 如图 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与 底面