基于小波分析的图像处理报告

题目 题目 小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理中的应用 专专 业 业 学学 号 号 学生姓名 学生姓名 指导教师 指导教师 年 月 日 目录 1 引言 3 2 小波分析的基本理论 4 2 1 概述 4 2 2 小波变换基础 4 2 3 离散小波变换 6 3 几种常用的小波 8 3 1 Haar 小波 8 3 2 Daubechies dbN 小波系 8 3 3 Biorthogonal biorNr Nd 小波系 8 3 4 Coiflet coifN 小波系 8 3 5 SymletsA symN 小波系 9 3 6 Mexican Hat mexh 小波 9 3 7 Meyer 函数 9 4 小波分析用于图像压缩 10 4 1 图像压缩概述 10 4 2 程序流程图 10 4 3 主要调用命令 11 5 小波分析用于图像去噪 12 5 1 图像去噪概述 12 5 2 主要调用命令 12 5 3 程序流程图 13 6 运行结果 14 6 1 图像压缩结果 14 6 2 图像去噪结果 15 参考文献 16 附录 17 1 引言 小波分析属于时频分析的一种 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基 础上的 由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换 要么完全在时域 要么完 全在时域 要么完全在频域 因此无法表述信号的时频局域性质 而这种性质 恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质 为了分析和处理非平稳信号 人们 对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命 提出并发展了一系列新的信号分 析理论 短时傅立叶变换 Gabor 变换 时频分析 小波变换 分数阶傅立叶 变换 线调频小波变换 循环统计量理论和调幅 调频信号分析等 其中 短时 傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而 产生的 短时傅立叶变换分析的基本思想是 假定非平稳信号在分析窗函数 g t 的一个短时间间隔内是平稳 伪平稳 的 并移动分析窗函数 使 在不同的有限时间宽度内是平稳信号 从而计算出各个不同时刻的 tgtf 功率谱 但从本质上讲 短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法 因为它使用一个固定的短时窗函数 因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存 在着不可逾越的缺陷 小波变换是一种信号的时间 尺度分析方法 它具有多分辨率分析的特点 而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力 是一种窗口大小固定不变 但其形状可改变 时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法 即在低 频部分具有较高的频率分辨率 在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频 率分辨率 很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分 所以 被誉为分析信号的显微镜 利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具 有良好的效果 2 小波分析的基本理论 2 1 概述 小波分析是建立在泛函数分析 Fourier 分析 样条分析及调和分析基础上 的新的分析处理工具 它又被称为多分辨率分析 在时域和频域同时具有良好 的局部化特性 常被誉为信号分析的 数学显微镜 近十多年来 小波分析的 理论和方法在信号处理 语言分析 模式识别 数据压缩 图像处理 数字水 印 量子物理等专业和领域得到了广泛的应用 近些年 小波分析被广泛用于图像的压缩 降噪 平滑和融合等方面 在 人脸识别 医学图像处理 机器人视觉 数字电视等领域受到人们越来越多的 重视 基于二维小波分析进行图像处理具有坚实的理论基础 MATLAB 软件在 小波工具箱中也提供了强大的图像处理功能 包括采用命令行和图形用户接口 等 2 2 小波变换基础 2 2 1 一维连续小波变换 定义 设 其傅立叶变换为 当满足允许条件 完 2 RLt 全重构条件或恒等分辨条件 2 1 R dC 2 时 我们称为一个基本小波或母小波 将母函数经伸缩和平移后得 t t 2 2 1 a bt a t ba 0 aRba 称其为一个小波序列 其中 a 为伸缩因子 b 为平移因子 对于任意的函数 的连续小波变换为 2 RLtf 2 3 dt a bt tfafbaW R baf 2 1 其重构公式 逆变换 为 2 4 dadb a bt baW aC tf f 11 2 由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的 t t ba 作用 所以还应该满足一般函数的约束条件 t 2 5 dtt 故是一个连续函数 这意味着 为了满足完全重构条件式 在原点 必须等于 0 即 2 6 0 0 dtt 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的 处理完全重构条件外 还要求小波 的傅立叶变化满足下面的稳定性条件 t 2 7 BA j 2 2 式中 0 AB 从稳定性条件可以引出一个重要的概念 定义 对偶小波 若小波满足稳定性条件 2 7 式 则定义一个对偶 t 小波 其傅立叶变换由下式给出 t 2 8 j j 2 2 注意 稳定性条件 2 7 式实际上是对 2 8 式分母的约束条件 它的 作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性 值得指出的是 一个小波的 对偶小波一般不是唯一的 然而 在实际应用中 我们又总是希望它们是唯一 对应的 因此 寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本 的问题 连续小波变换具有以下重要性质 1 线性性 一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和 2 平移不变性 若 f t 的小波变换为 则的小波变 baWf tf 换为 baWf 3 伸缩共变性 若 f t 的小波变换为 则 f ct 的小波变 baWf 换为 0 1 ccbcaW c f 4 自相似性 对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之 间是自相似的 5 冗余性 连续小波变换中存在信息表述的冗余度 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映 它主要表现在以下两 个方面 1 由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的 也就是说 信号 f t 的小波变换与小波重构不存在一一对应关系 而傅立叶变换与傅立叶反 变换是一一对应的 2 小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择 例如 它 t ba 们可以是非正交小波 正交小波 双正交小波 甚至允许是彼此线性相关的 小波变换在不同的 a b 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果 的困难 因此 小波变换的冗余度应尽可能减小 它是小波分析中的主要问题 之一 2 2 2 高维连续小波变换 对 公式 1 2 nRLtf n 2 9 dadb a bt baW aC tf f 11 2 存在几种扩展的可能性 一种可能性是选择小波使其为球对称 2n RLtf 其傅立叶变换也同样球对称 2 10 并且其相容性条件变为 2 11 t dt tC 0 2 2 2 对所有的 2n gLgf 2 12 fCdbbaWbaW a da gf n 0 1 这里 其中且 baWf ba 2 a bt at nba 0 aRa n Rb 公式 2 6 也可以写为 2 13 0 1 1 dbbaW a da Cf ba R f n n 如果选择的小波不是球对称的 但可以用旋转进行同样的扩展与平移 例如 在二维时 可定义 2 14 11 a bt Rat ba 这里 相容条件变为 2 0Rba cossin sincos R 2 15 2 0 2 0 2 sin cos 2 drr r dr C 该等式对应的重构公式为 2 16 0 2 0 3 1 2 dbaWdb a da Cf ba f R 对于高于二维的情况 可以给出类似的结论 2 3 离散小波变换 在实际运用中 尤其是在计算机上实现时 连续小波必须加以离散化 因 此 有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化 需要强调指 t ba baWf 出的是 这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的 而不是 针对时间变量 t 的 这一点与我们以前习惯的时间离散化不同 在连续小波中 考虑函数 2 1 a bt at ba 这里 且 是容许的 为方便起见 在离散化中 Rb Ra0 a 总限制 a 只取正值 这样相容性条件就变为 2 17 dC 0 通常 把连续小波变换中尺度参数 a 和平移参数 b 的离散公式分别取作 这里 扩展步长是固定值 为方便起见 总是假 000 bkabaa jj Zj 1 0 a 定 由于 m 可取正也可取负 所以这个假定无关紧要 所以对应的离散1 0 a 小波函数即可写作 t kj 2 18 00 2 0 0 00 2 0 kbtaa a bkat at jj j j j kj 而离散化小波变换系数则可表示为 2 19 kjkjkj fdtttfC 其重构公式为 2 20 tCCtf kjkj C 是一个与信号无关的常数 然而 怎样选择和 才能够保证重构信 0 a 0 b 号的精度呢 显然 网格点应尽可能密 即和尽可能小 因为如果网格 0 a 0 b 点越稀疏 使用的小波函数和离散小波系数就越少 信号重构的精 t kj kj C 确度也就会越低 3 几种常用的小波 3 1 Haar 小波 A Haar 于 1990 年提出一种正交函数系 定义如下 3 1 0 1 1 H 其它 12 1 2 10 x x 这是一种最简单的正交小波 即 3 2 0 dxnxt 2 1 n 3 2 Daubechies dbN 小波系 该小波是 Daubechies 从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波 k h 一般简写为 dbN N 是小波的阶数 小波和尺度函数吁中的支撑区为 2N 1 的消失矩为 N 除 N 1 外 Haar 小波 dbN 不具对称性 即非线性相位 dbN 没有显式表达式 除 N 1 外 但的传递函数的模的平方有显式表达式 k h 假设 其中 为二项式的系数 则有 1 0 1 N k kkN k yCyP kN k C 1 3 3 2 sin 2 cos 22 2 0 Pm N 其中 12 0 0 2 1 N k ik ke hm 3 3 Biorthogonal biorNr Nd 小波系 Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性 它主要应用在信 号与图像的重构中 通常的用法是采用一个函数进行分解 用另外一个小波函 数进行重构 Biorthogonal 函数系通常表示为 biorNr Nd 的形式 Nr 1 Nd 1 3 5 Nr 2 Nd 2 4 6 8 Nr 3 Nd 1 3 5 7 9 Nr 4 Nd 4 Nr 5 Nd 5 Nr 6 Nd 8 其中 r 表示重构 d 表示分解 3 4 Coiflet coifN 小波系 coiflet 函数也是由 Daubechies 构造的一个小波函数 它具有 coifN N 1 2 3 4 5 这一系列 coiflet 具有比 dbN 更好的对称性 从 支撑长度的角度看 coifN 具有和 db3N 及 sym3N 相同的支撑长度 从消失矩的 数目来看 coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩数目 3 5 SymletsA symN 小波系 Symlets 函数系是由 Daubechies 提出的近似对称的小波函数 它是对 db 函数的一种改进 Symlets 函数系通常表示为 symN N 2 3 8 的形式 3 6 Mexican Hat mexh 小波 Mexican Hat 函数为 3 4 2 24 1 2 1 3 2 x exx 它是 Gauss 函数的二阶导数 因为它像墨西哥帽的截面 所以有时称这个 函数为墨西哥帽函数 墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化 并 且满足 3 5 0 dxx 由于它的尺度函数不存在 所以不具有正交性 3 7 Meyer 函数 Meyer 小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的 是具有紧支 撑的正交小波 3 6 0 1 2 3 2 cos 2 1 2 3 2 sin 2 2 2 1 2 2 1 j j e e 3 8 3 2 3 8 3 4 3 4 3 2 其中 为构造 Meyer 小波的辅助函数 且有 a 3 7 0 1 2 3 2 cos 2 2 2 1 2 1 3 4 3 4 3 2 3 2 4 小波分析用于图像压缩 4 1 图像压缩概述 通常所说的图像压缩主要指无损压缩 无失真 和有损压缩 有失真 两 大类 所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原 复原后的图像 与原始图像完全一致 有损压缩则是指经它处理的数据在基本保持原图像的特 征的前提下 不可避免地要丢掉一部分原始图像信息 图像能够进行压缩的主要原因是 1 原始图像信息存在着很大的冗余度 数据之间存在着相关性 如相邻 像素之间色彩的相关性等 消息中这些冗余信息将会产生额外的编码 如果去 掉冗余信息 就会减少消息所占的空间 2 在美图系统的应用领域中 人眼作为图像信息的接收端 其视觉对于 边缘急剧变化不敏感 视觉掩盖效应 以及人眼对图像的亮度信息敏感 而对 颜色分辨率弱等 因此在高压缩比的情况下 解压缩后的图像信号仍比较满意 基于上述两点 发展出数据压缩的两类方法 一种是将相同的或相似的数 据或数据特征归类 使用较少的数据量描述原始数据 达到减少数据量的目的 这种压缩一般为无损压缩 另一种是利用人眼的视觉特性有针对性地简化不重 要的数据 以减少总的数据量 这种压缩一般为有损压缩 只要损失的数据不 太影响人眼主观接受的效果 即可采用 基于小波分析的图像压缩方法很多 比较成功的有小波包 小波变换零数 压缩 小波变换矢量量化压缩等 一个图像作小波分解后 可得到一系列不同 分辨率的子图像 不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的 高分辨率 即 高频 子图像上大部分分点的数值都接近于 0 越是高频这种现象越明显 对 一个图像来说 表现一个图像最主要的部分是低频部分 所以一个最简单的压 缩方法是利用小波分解 去掉图像的高频部分而只保留低频部分 图像压缩可 按如下程序进行处理 4 2 主要调用命令 whos 用于显示当前 MATLAB 工作空间的变量 而在命令窗口中输入 data 后 将显示该数据 变量查询函数 who 与 whos 作用都是列出在 matlab 工作空间中已经驻留的变量名清单 不同的是 whos 在给出驻留变量的同时 还 给出他们的维数及性质 wavedec2 是多尺度二维小波分解 调用格式为 C L wavedec2 X N wname 即对信号 X 进行 N 尺度的小波分解 wname 为所使用的小波名称 N 为正整 数 输出分解结构包括行向量 C 它包含计算出的小波变换系数及定义了 C 中 系数的排列的记录矩阵 L C 的组织形式是 A N H N V N D N H N 1 H 1 V 1 D 1 其中 A H V 及 D 分别表示逼近系数 水平系数 垂直 系数及对角系数 小括号中数字的含义如 H N 表示第 N 次分解的水平系数 L 由两列组成 每一列对应相应的系数矩阵的大小 4 3 程序流程图 载入图像 进行小波分解 提取高频 低频系数 重建系数 对低频进行编码量化 输出压缩后图像 图 4 1 图像压缩流程图 5 小波分析用于图像去噪 5 1 图像去噪概述 噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解 或分析的各种因素 一般噪声是不可预测的随机信号 它只能用概率统计的方 法去认识 噪声对图像处理十分重要 它影响图像处理的输入 采集 处理的 各个环节以及输出结果的全过程 特别是图像的输入 采集的噪声是个十分关 键的问题 若输入伴有较大噪声 必然影响处理全过程及输出结果 因此一个 良好的图像处理系统 不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的 噪声作为主攻目标 去噪已成为图像处理中极其重要的步骤 对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号 尤其是对于几何图像更 适合 二维模型可以表述为 s i j f i j e i j i j 0 1 m 1 其中 e 是标准偏差不变的高斯白噪声 二维信号用二维小波分析的去噪 步骤有 3 步 1 二维信号的小波分解 选择一个小波和小波分解的层次 N 然后计算 信号 s 到第 N 层的分解 2 对高频系数进行阈值量化 对于从 1 到 N 的每一层 选择一个阈值 并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理 3 二维小波的重构 根据小波分解的第 N 层的低频系数和经过修改的从 第一层到第 N 层的各层高频系数计算二维信号的小波重构 在这 3 个步骤中 重点是如何选取阈值和阈值的量化 5 2 主要调用命令 ddencmp 的调用格式有以下三种 1 THR SORH KEEPAPP CRIT ddencmp IN1 IN2 X 2 THR SORH KEEPAPP CRIT ddencmp IN1 wp X 3 THR SORH KEEPAPP CRIT ddencmp IN1 wv X 函数 ddencmp 用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值 输入参数 X 为一 维或二维信号 IN1 取值为 den 或 cmp den 表示进行去噪 cmp 表示进 行压缩 IN2 取值为 wv 或 wp wv 表示选择小波 wp 表示选择小波包 返回 值 THR 是返回的阈值 SORH 是软阈值或硬阈值选择参数 KEEPAPP 表示保存低 频信号 CRIT 是熵名 只在选择小波包时使用 wdencmp 用于一维或二维信号的消噪或压缩 其调用格式为 1 XC CXC LXC PERF0 PERFL2 wdencmp gbl X wname N THR SORH KEEPAP P 2 XC CXC LXC PERF0 PERFL2 wdencmp lvd X wname N THR SORH 3 XC CXC LXC PERF0 PERFL2 wdencmp lvd C L wname N THR SORH wname 是所用的小波函数 gbl global 的缩写 表示每层都采用同一个阈值进行 处理 lvd 表示每层用不同的阈值进行处理 N 表示小波分解的层数 THR 为阈 值向量 对于格式 2 3 每层都要求有一个阈值 因此阈值向量 THR 的长度为 N SORH 表示选择软阈值还是硬阈值 分别取为 s 和 h 参数 KEEPAPP 取值为 1 时 则低频系数不进行阈值量化处理 反之 则低频系数进行阈值量 化 XC 是消噪或压缩后的信号 CXC LXC 是 XC 的小波分解结构 PERF0 和 PERFL2 是恢复和压缩 L 2 的范数百分比 5 3 程序流程图 载入图像 进行小波分解 确认阈值 保留近似系数 对近似系数处理 重建图像 输出去噪后的图像 加入噪声 图 4 1 图像去噪流程图 6 运行结果 6 1图像压缩结果 压缩前图像X的大小 Name Size Bytes Class X 256x256 double array Grand total is 65536 elements using bytes 第一次压缩图像的大小为 Name Size Bytes Class ca1 135x135 double array Grand total is 18225 elements using bytes 第二次压缩图像的大小为 Name S ize Bytes Class ca2 75x75 45000 double array Grand total is 5625 elements using 45000 bytes 运行结果如图所示 一 一 一 一 50100 150 200 250 50 100 150 200 250 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 一 一 一 一 一 20 40 60 80 100120 20 40 60 80 100 120 一 一 一 一 一 204060 20 40 60 图 6 1 利用二维小波分析进行图像压缩 图像对比如图所示 可以看出 第一次压缩提取的是原始图像中小波分解 第一层的低频信息 此时压缩效果较好 压缩比较小 第二次压缩是提取第一 层分解低频部分的低频部分 即小波分解第二层的低频部分 其压缩比较大 压缩效果在视觉上也基本过的去 这是一种最简单的压缩方法 只保留原始图 像中低频信息 不经过其他处理即可获得较好的压缩效果 在上面的例子中 我们还可以只提取小波分解第 3 4 层的低频信息 从理论上说 我们可以 获得任意压缩比的压缩图像 MATLAB 中实现图像压缩 还可利用现有的函数来实现 这种方法主要包 括获取压缩阈值和进行图像压缩两反面 实现获取压缩阈值的函数有 ddencmp 和 wdcbm2 两个 实现图像压缩的函数有 wdencmp wpdencm 和 wthcoef2 三个 6 2 图像去噪结果 输出结果从图中 5 个图像的比较可以看出 Matlab 中的 ddencmp 和 wdencmp 函数可以有效地进行去噪处理 一 一 一 一 X 50 100 150 200 50 100 150 200 一 一 一 一 一 一 Xnoise 50 100 150 200 50 100 150 200 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 50 100 150 200 50 100 150 200 一 一 一 一 一 一 一 一 一 50 100 150 200 50 100 150 200 一 一 一 一 一 一 一 一 一 50 100 150 200 50 100 150 200 图 6 2 图像去噪比较 小波阈值法去噪 主要适用于信号中混有白噪声的情况 其优点是噪声几 乎完全得到抑制 且反映原始信号的特征尖峰点得到很好的保留 用软阈值法 去噪可以使去噪信号是原始信号的近似最优估计 且估计信号至少和原始信号 同样光滑而不会产生附加振荡 参考文献 1 张德丰 数字图像处理 M 北京 人民邮电出版社 2009 186 220 2 周伟 MATLAB小波分析高级技术 M 西安 西安电子科技大学出版社 2005 129 154 3 高成 MATLAB小波分析与应用 M 北京 国防工业出版社 2007 4 张志勇 彭玉青 小波分析在图像处理中的应用 J 常州工学院学报 2005 12 附录 压缩图像 zhangyuazhu 2010 12 jiyuxiaobofenxidetuxiangyasuo 装入图像 load wbarb subplot 221 image X colormap map title 原始图像 axis square disp 压缩前图像X的大小 whos X c s wavedec2 X 2 bior3 7 ca1 appcoef2 c s bior3 7 1 ch1 detcoef2 h c s 1 cv1 detcoef2 v c s 1 cd1 detcoef2 d c s 1 a1 wrcoef2 a c s bior3 7 1 h1 wrcoef2 h c s bior3 7 1 v1 wrcoef2 v c s bior3 7 1 d1 wrcoef2 d c s bior3 7 1 c1 a1 h1 v1 d1 subplot 222 image c1 axis square title 分解后低频和高频信息 下面进行图像压缩处理 ca1 appcoef2 c s bior3 7 1 ca1 wcodemat ca1 440 mat 0 ca1 0 5 ca1 subplot