广东省梅州市2012-2013学年高二数学上学期12月月考试卷 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年广东省梅州市高二 上 学年广东省梅州市高二 上 1212 月月考数学试卷 理科 月月考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 1 5 分 2002 北京 在 ABC 中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 若使绕直线 BC 旋转一 周 则所形成的几何体的体积是 A B C D 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 专题 计算题 分析 所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD 为轴截面的小圆锥后 剩余的部分 故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积 即为所求 解答 解 如图 ABC 中 绕直线 BC 旋转一周 则所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD 为轴截面的小圆锥 后剩余的部分 AB 2 BC 1 5 ABC 120 AE ABsin60 BE ABcos60 1 V1 V2 V V1 V2 故选 A 点评 本题考查圆锥的体积公式的应用 判断旋转体的形状是解题的关键 2 5 分 垂直于同一条直线的两条直线一定 A 平行 B 相交 C 异面 D 以上都有可能 考点 空间中直线与直线之间的位置关系 专题 分类讨论 2 分析 根据在同一平面内两直线平行或相交 在空间内两直线平行 相交或异面判断 解答 解 分两种情况 在同一平面内 垂直于同一条直线的两条直线平行 在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行 相交或异面 故选 D 点评 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系 3 5 分 2005 陕西 已知过点 A 2 m 和 B m 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 则 m 的值为 A 0B 8C 2D 10 考点 斜率的计算公式 专题 计算题 分析 因为过点 A 2 m 和 B m 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 所以 两直线的 斜率相等 解答 解 直线 2x y 1 0 的斜率等于 2 过点 A 2 m 和 B m 4 的直线的斜率 K 也是 2 2 解得 故选 B 点评 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等 以及斜率公式的应用 4 5 分 2004 陕西 圆 x2 y2 4x 0 在点 P 1 处的切线方程为 A x y 2 0B x y 4 0C x y 4 0D x y 2 0 考点 圆的切线方程 专题 计算题 分析 本题考查的知识点为圆的切线方程 1 我们可设出直线的点斜式方程 联立直线 和圆的方程 根据一元二次方程根与图象交点间的关系 得到对应的方程有且只有 一个实根 即 0 求出 k 值后 进而求出直线方程 2 由于点在圆上 我们也 可以切线的性质定理 即此时切线与过切点的半径垂直 进行求出切线的方程 解答 解 法一 x2 y2 4x 0 y kx k x2 4x kx k 2 0 3 该二次方程应有两相等实根 即 0 解得 k y x 1 即 x y 2 0 法二 点 1 在圆 x2 y2 4x 0 上 点 P 为切点 从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 又 圆心为 2 0 k 1 解得 k 切线方程为 x y 2 0 故选 D 点评 求过一定点的圆的切线方程 首先必须判断这点是否在圆上 若在圆上 则该点为 切点 若点 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 上 则 过点 P 的切线 方程为 x a x0 a y b y0 b r2 r 0 若在圆外 切线应有两 条 一般用 圆心到切线的距离等于半径长 来解较为简单 若求出的斜率只有一 个 应找出过这一点与 x 轴垂直的另一条切线 5 5 分 2013 广元二模 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几何体的全面积为 A B 2 C 3 D 4 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 几何体是一个圆柱 圆柱的底面是一个直径为 1 的圆 圆柱的高是 1 圆柱的表面积 包括三部分 两个圆的面积和一个矩形的面积 写出表示式 得到结果 解答 解 由三视图知几何体是一个圆柱 圆柱的底面是一个直径为 1 的圆 圆柱的高是 1 圆柱的全面积是 2 2 4 故选 A 点评 本题考查由三视图求几何体的表面积 考查有三视图还原直观图 本题是一个基础 题 题目的条件比较简单 是一个送分题目 6 5 分 在四面体 ABCD 中 已知棱 AC 的长为 其余各棱的长都为 1 则二面角 A CD B 的余弦值是 A B C D 考点 二面角的平面角及求法 专题 计算题 空间角 分析 先作出二面角 A CD B 的平面角 再利用余弦定理求解即可 解答 解 由已知可得 AD DC 又由其余各棱长都为 1 得正三角形 BCD 取 CD 得中点 E 连 BE 则 BE CD 在平面 ADC 中 过 E 作 AD 的平行线交 AC 于点 F 则 BEF 为二面角 A CD B 的平 面角 EF 三角形 ACD 的中位线 BE 正三角形 BCD 的高 BF 等腰 RT 三 角形 ABC F 是斜边中点 cos BEF 故选 C 点评 本题考查二面角的平面角 考查余弦定理 正确作出二面角的平面角是关键 7 5 分 若动点 P 到点 F 1 1 和直线 3x y 4 0 的距离相等 则点 P 的轨迹方程为 A 3x y 6 0B x 3y 2 0C x 3y 2 0D 3x y 2 0 考点 与直线有关的动点轨迹方程 两点间距离公式的应用 点到直线的距离公式 5 专题 计算题 分析 因为点 F 1 1 在直线 3x y 4 0 所以点 P 的轨迹是过点 F 1 1 且垂直于已 知直线的直线 由点斜法写出即可 解答 解 点 F 1 1 在直线 3x y 4 0 上 则点 P 的轨迹是过点 F 1 1 且垂直于已 知直线的直线 因为直线 3x y 4 0 的斜率为 3 所以所求直线的斜率为 由点斜式知点 P 的轨 迹方程为 y 1 x 1 即 x 3y 2 0 故选 B 点评 本题考查轨迹方程的求法 两条直线垂直的应用 直线的点斜式方程等 注意点 P 的轨迹不是抛物线 8 5 分 方程表示的曲线是 A 一个圆 B 两个半圆 C 两个圆 D 半圆 考点 曲线与方程 专题 计算题 数形结合 分析 方程两边平方后可整理出圆的方程 推断出方程表示的曲线为一个圆 解答 解 两边平方 可变为 x 1 2 y 1 2 1 表示的 曲线为以 1 1 为圆心 1 为半径的圆 故选 A 点评 本题主要考查了曲线与方程 解题的过程中注意 x 的范围 注意数形结合的思想 二 填空题二 填空题 9 5 分 图 1 为长方体积木块堆成的几何体的三视图 此几何体共由 4 块木块堆 成 图 2 中的三视图表示的实物为 圆锥 6 考点 由三视图还原实物图 专题 作图题 分析 求解本问题需要正确由三视图还原实物图 由图 1 可以看出此几何体由两排两列 前排有一个方块 后排有三个 故可得 由图 2 可知 此几何体主视图与侧视图相同 俯视图是一个圆中间有一点 此特 征说明此几何体是一个圆锥 解答 解 1 由图 1 可以看出此几何体由两排两列 前排有一个方块 后排左面一 列有两个木块右面一列有一个 故后排有三个 故此几何体共有 4 个木块组成 2 中几何体主视图与侧视图相同 俯视图是一个圆中间有一点 此特征只有圆锥 具有 故此几何体是一个圆锥 故答案为 1 4 2 圆锥 点评 本题考点是由三视图还原实物图 考查利用三视图的作图规则 由三视图还原实物 图的能力 这是三视图的一个重要应用 也是三视图在实际问题中的主要运用 10 5 分 下列命题中 1 平行于同一直线的两个平面平行 2 平行于同一平面的两个平面平行 3 垂直于同一直线的两直线平行 4 垂直于同一平面的两直线平行 其中正确的个数有 2 考点 平面与平面之间的位置关系 专题 空间位置关系与距离 分析 1 反例为 把一支笔放在打开的课本之间 一支笔平行于两平面的交线 2 利用平行平面的传递性即可判断出 3 反例 正方体的棱长所在的直线可能平行 相交或为异面直线 4 根据线面垂直的性质可得 垂直于同一平面的两直线平行 解答 解 1 不正确 反例 把一支笔放在打开的课本之间 一支笔平行于两平面的交 线 2 正确 此结论为平行平面的传递性 3 不正确 反例 正方体的棱长所在的直线可能平行 相交或为异面直线 4 根据线面垂直的性质可得 垂直于同一平面的两直线平行 因此正确 综上可知 只有 2 4 正确 故答案为 2 点评 熟练空间中的线线 线面 面面的位置关系是解题的关键 7 11 5 分 已知 A 2 3 B 3 2 两点 直线 l 过定点 P 1 1 且与线段 AB 相交 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 或 k 4 考点 恒过定点的直线 专题 数形结合 分析 画出图形 由题意得 所求直线 l 的斜率 k 满足 k kPB 或 k kPA 用直线的斜率公 式求出 kPB 和 kPA 的值 解不等式求出直线 l 的斜率 k 的取值范围 解答 解 如图所示 由题意得 所求直线 l 的斜率 k 满足 k kPB 或 k kPA 即 k 或 k 4 k 或 k 4 故答案为 k 或 k 4 点评 本题考查直线的斜率公式的应用 体现了数形结合的数学思想 12 5 分 已知点 M a b 在直线 3x 4y 15 上 则的最小值为 3 考点 点到直线的距离公式 专题 计算题 转化思想 分析 考虑的几何意义 利用转化思想 求出原点到直线 3x 4y 15 的距离即可 解答 解 的几何意义是到原点的距离 它的最小值转化为原点到直线 3x 4y 15 的距离 3 8 故答案为 3 点评 本题考查点到直线的距离公式 考查计算能力 是基础题 13 5 分 2004 福建 直线 x 2y 0 被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 4 考点 直线与圆的位置关系 专题 综合题 数形结合 分析 根据圆的方程找出圆心坐标和半径 过点 A 作 AC 弦 BD 可得 C 为 BD 的中点 根 据勾股定理求出 BC 即可求出弦长 BD 的长 解答 解 过点 A 作 AC 弦 BD 垂足为 C 连接 AB 可得 C 为 BD 的中点 由 x2 y2 6x 2y 15 0 得 x 3 2 y 1 2 25 知圆心 A 为 3 1 r 5 由点 A 3 1 到直线 x 2y 0 的距离 AC 在直角三角形 ABC 中 AB 5 AC 根据勾股定理可得 BC 2 则弦长 BD 2BC 4 故答案为 4 点评 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力 灵活运用点到直线的距离公 式及勾股定理化简求值 会利用数形结合的数学思想解决数学问题 是一道综合 题 14 5 分 动圆 x2 y2 4m 2 x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0 x 1 考点 圆的标准方程 轨迹方程 9 专题 计算题 分析 把圆化为标准方程后得到 圆心为 2m 1 m r m m 0 令 x 2m 1 y m 消去 m 即可得到 y 与 x 的解析式 解答 解 把圆的方程化为标准方程得 x 2m 1 2 y m 2 m2 m 0 则圆心坐标为 因为 m 0 得到 x 1 所以消去 m 可得 x 2y 1 即 x 2y 1 0 故答案为 x 2y 1 0 x 1 点评 此题考查学生会将圆的方程变为标准方程 会把直线的参数方程化为一般方程 做 题时注意 m 的范围 三 解答题三 解答题 15 12 分 过点 5 4 作一直线 l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形 面积为 5 考点 直线的截距式方程 专题 待定系数法 分析 如果设 a b 分别表示 l 在 x 轴 y 轴上的截距 则有 a b 5 设出直线 l 的方 程 点斜式 求出 a b 的值 利用 a b 5 求得斜率 从而得到所求的直 线方程 解答 解 设直线 l 的方程为 y 4 k x 5 分别令 y 0 x 0 得 l 在 x 轴 y 轴上的截距为 b 5k 4 由条件得 ab 10 得 25k2 30k 16 0 无实数解 或 25k2 50k 16 0 解得 故所求的直线方程为 8x 5y 20 0 或 2x 5y 10 0 点评 本题考查用待定系数法求直线方程 以及直线方程的一般式 直线在坐标轴上的截 距的定义 16 13 分 如图 在四边形 ABCD 中 DAB 90 ADC 135 AB 5 CD AD 2 求四边形绕 AD 旋转一周所围成几何体的表面积及体积 10 考点 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 专题 计算题 分析 旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥 根据题目所给数据 求出圆台的侧面 积 圆锥的侧面积 圆台的底面积 即可求出几何体的表面积 求出圆台体积减去 圆锥体积 即可得到几何体的体积 解答 解 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的 几何体 如右图 S表面 S圆台下底面 S圆台侧面 S圆锥侧面 r22 r1 r2 l2 r1l1 体积 V V圆台 V圆锥 25 4 4 2 2 2 39 4 8 所求表面积为 体积为 点评 本题是基础题 考查旋转体的表面积与体积 转化思想的应用 计算能力的考查 都是为本题设置的障碍 仔细分析旋转体的结构特征 为顺利解题创造依据 11 17 13 分 已知点 A 1 1 B 2 2 点 P 在直线上 求 PA 2 PB 2取得最小 值时 P 点的坐标 考点 两点间距离公式的应用 专题 应用题 转化思想 综合法 分析 先设出点 P 的坐标 设 P 2t t 由两点间距离公式表示出 PA 2 PB 2的关于参 数 t 的表达式 再利用函数的相关知识求解出函数的最小值 即得出 PA 2 PB 2取 得最小值与坐标 解答 解 设 P 2t t 则 PA 2 PB 2 2t 1 2 t 1 2 2t 2 2 t 2 2 10t2 18t 10 当时 PA 2 PB 2取得最小值 此时有 PA 2 PB 2取得最小值时 P 点的坐标为 点评 本题考点是两点间距离公式 考查用两点间距离公式建立起相关量的函数关系 转 化为求函数的最值 转化思想是数学中的重要思想 由未知向已知转化是解决问题 的一个实用的技巧 18 14 分 已知两圆 x2 y2 10 x 10y 0 x2 y2 6x 2y 40 0 求 1 它们的公共弦所在直线的方程 2 公共弦长 考点 相交弦所在直线的方程 专题 计算题 分析 1 利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程 2 通过半弦长 半径 弦心 距的直角三角形 求出半弦长 即可得到公共弦长 解答 解 1 x2 y2 10 x 10y 0 x2 y2 6x 2y 40 0 得 2x y 5 0 为公共弦所在直线的方程 2 弦心距为 弦长的一半为 公共弦长为 点评 本题是中档题 考查两个圆的位置关系 相交弦所在的直线方程 公共弦长的求法 考查计算能力 高考作为小题出现 19 14 分 已知圆 C x 1 2 y2 9 内有一点 P 2 2 过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A B 两点 1 当 l 经过圆心 C 时 求直线 l 的方程 2 当弦 AB 被点 P 平分时 写出直线 l 的方程 3 当直线 l 的倾斜角为 45 时 求弦 AB 的长 12 考点 直线和圆的方程的应用 直线的一般式方程 专题 计算题 综合题 分析 1 求出圆的圆心 代入直线方程 求出直线的斜率 即可求直线 l 的方程 2 当弦 AB 被点 P 平分时 求出直线的斜率 即可写出直线 l 的方程 3 当直线 l 的倾斜角为 45 时 求出直线的斜率 然后求出直线的方程 利用点 到直线的距离 半径 半弦长的关系求弦 AB 的长 解答 解 1 已知圆 C x 1 2 y2 9 的圆心为 C 1 0 因直线过点 P C 所以直 线 l 的斜率为 2 直线 l 的方程为 y 2 x 1 即 2x y 2 0 2 当弦 AB 被点 P 平分时 l PC 直线 l 的方程为 y 2 x 2 即 x 2y 6 0 3 当直线 l 的倾斜角为 45 时 斜率为 1 直线 l 的方程为 y 2 x 2 即 x y 0 圆心到直线 l 的距离为 圆的半径为 3 弦 AB 的长为 点评 本题是基础题 考查直线与圆的位置关系 计算直线的斜率 点到直线的距离 直 线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键 20 14 分 2012 汕头一模 如图 直角 BCD 所在的平面垂直于正 ABC 所在的平面 PA 平面 ABC DC BC 2PA E 为 DB 的中点 证明 AE BC 若点 F 是线段 BC 上的动点 设平面 PFE 与平面 PBE 所成的平面角大小为 当 在 0 内取值时 直线 PF 与平面 DBC 所成的角为 求 tan 的取值范围 考点 用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面垂直的性质 专题 计算题 证明题 空间角 空间向量及应用 分析 I 取 BC 得中点 M 连接 EM AM 根据题意证出 MA MB ME 两两互相垂直 从而 以 MA MB ME 为 x y z 轴 建立如图所示空间直角坐标系 设 AB BC AC DC 2 可得 A B C D E P M 各点的坐标 从而算出向量的坐标 计算它们 13 的数量积得到 0 即可