第八章第三节抛物线

1 第八章第八章 第三节第三节 抛物线抛物线 题组一抛物线的定义及应用 1 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 在抛物线 上 且 2x2 x1 x3 则有 A FP1 FP2 FP3 B FP1 2 FP2 2 FP3 2 C 2 FP2 FP1 FP3 D FP2 2 FP1 FP3 解析 由抛物线的定义知 FP1 x1 p 2 FP2 x2 FP3 x3 p 2 p 2 2x2 x1 x3 2 FP2 FP1 FP3 答案 C 2 已知抛物线的顶点在原点 焦点在 y 轴上 抛物线上的点 P m 2 到焦点的距离 为 4 则 m 的值为 A 4 B 2 C 4 或 4 D 12 或 2 解析 设标准方程为 x2 2px p 0 由定义知 p 到准线距离为 4 故 2 4 p 4 p 2 方程为 x2 8y 代入 P 点坐标得 m 4 答案 C 题组二抛物线的标准方程及几何性质 3 抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 到 x 轴的距离是 A B 17 16 7 8 C 1 D 15 16 解析 抛物线化标准方程为 x2 y 准线方程为 y M 到准线的距离为 1 所 1 4 1 16 2 以到 x 轴的距离等于 1 1 16 15 16 答案 D 4 2009 山东高考 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax a 0 的焦点 F 且和 y 轴交 于 点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 不论 a 值正负 抛物线的焦点坐标都是 0 故直线 l 的方程为 y 2 x a 4 a 4 令 x 0 得 y 故 OAF 的面积为 4 故 a 8 a 2 1 2 a 4 a 2 a2 16 答案 B 5 2010 湛江模拟 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛 物线 C 交于 A B 两点 若 P 2 2 为 AB 的中点 则抛物线 C 的方程为 解析 设抛物线方程为 y2 ax A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 y ax1 2 1 y ax2 2 2 得 y y a x1 x2 2 12 2 y1 y2 a y1 y2 x1 x2 a 4 1 4 y2 4x 答案 y2 4x 题组三直线与抛物线的位置关系 6 已知过抛物线 y2 6x 焦点的弦长为 12 则此弦所在直线的倾斜角是 A 或 B 或 6 5 6 4 3 4 C 或 D 3 2 3 2 解析 抛物线焦点是 0 3 2 3 设直线方程为 y k x 3 2 代入抛物线方程 得 k2x2 3k2 6 x k2 0 9 4 设弦两端点 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 3k2 6 k2 AB x1 x2 p 3 12 解得 k 1 3k2 6 k2 直线的倾斜角为 或 4 3 4 答案 B 7 已知 M a 2 是抛物线 y2 2x 上的一定点 直线 MP MQ 的倾斜角之和为 且分 别与抛物线交于 P Q 两点 则直线 PQ 的斜率为 A B 1 4 1 2 C D 1 4 1 2 解析 由题意得 M 2 2 设 P y1 Q y2 y2 1 2 y2 2 2 由 kMP kMQ 得 y1 2 y2 1 2 2 y2 2 y2 2 2 2 得 y1 y2 4 故 kPQ y2 y1 y2 2 2 y2 1 2 2 y1 y2 1 2 答案 B 8 已知抛物线 C 的方程为 x2 y 过点 A 0 1 和点 B t 3 的直线与抛物线 C 没有 1 2 公共点 则实数 t 的取值范围是 A 1 1 B 2 2 2 2 C 2 2 22 D 22 4 解析 过点 A 0 1 和点 B t 3 的直线方程为 即 4x ty t 0 y 1 3 1 x 0 t 0 由Error 得 2tx2 4x t 0 16 4 2t2 0 t 22 答案 D 题组四抛物线的综合问题 9 如图 F 为抛物线 y2 2px 的焦点 A 4 2 为抛物线内 一定点 P 为抛物线上一动点 且 PA PF 的最小值 为 8 1 求该抛物线的方程 2 如果过 F 的直线 l 交抛物线于 M N 两点 且 MN 32 求直线 l 的倾斜角的取值范围 解 1 设 P 点到抛物线的准线 x 的距离为 d 由抛物线的定义知 d PF p 2 PA PF min PA d min 4 p 2 4 8 p 8 p 2 抛物线的方程为 y2 16x 2 由 1 得 F 4 0 设直线 l 的方程为 y k x 4 显然 k 0 设 M x1 y1 N x2 y2 把直线方程代入抛物线 得 k2x2 8k2 16 x 16k2 0 x1 x2 x1 x2 16 8k2 16 k2 MN 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 8k2 16 k2 2 64 1 k2 64k4 162k2 162 64k4 k2 16 32 1 k2 k21 k2 16 1 k2 k2 k2 1 即 1 k 1 5 直线 l 斜率的取值范围为 1 0 0 1 直线 l 倾斜角的取值范围为 0 4 3 4 10 2009 江苏高考 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 拋物线 C 的顶 点在原点 经过点 A 2 2 其焦点 F 在 x 轴上 1 求拋物线 C 的标准方程 2 求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程 3 设过点 M m 0 m 0 的直线交拋物线 C 于 D E 两点 ME 2DM 设 D 和 E 两点间的距离为 f m 求 f m 关于 m 的表达式 解 1 由题意 可设拋物线 C 的标准方程为 y2 2px 因为点 A 2 2 在拋物线 C 上 所以 p 1 因此 拋物线 C 的标准方程为 y2 2x 2 由 1 可得焦点 F 的坐标是 0 1 2 又直线 OA 的斜率为 1 2 2 故与直线 OA 垂直的直线的斜率为 1 因此 所求直线的方程是 x y 0 1 2 3 法一 设点 D 和 E 的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 直线 DE 的方程是 y k x m k 0 将 x m 代入 y2 2x 有 ky2 2y 2km 0 y k 解得 y1 2 1 1 2mk2 k 由 ME 2DM 知 1 2 1 1 2mk21 2mk2 化简得 k2 4 m 因此 DE2 x1 x2 2 y1 y2 2 1 y1 y2 2 1 k2 1 1 k2 4 1 2mk2 k2 m2 4m 9 4 6 所