第六章第五节含绝对值的不等式

1 第九章第九章 第五节第五节 含绝对值的不等式含绝对值的不等式 题组一绝对值不等式的性质及应用 1 a b R 给出四个命题 a2 b2的充要条件是 a b a2 b2的充要条件是 a 2 b 2 a2 b2的充要条件是 a b 与 a b 异号 a2 b2的充要条件是 a b 与 a b 异号 以上四个命题中正确的命题个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 解析 a2 b2 a 2 b 2 a b a b 0 故 均正确 a2 b2 a2 b2 0 a b a b 0 故 也正确 答案 A 2 2010 黄冈模拟 关于 x 的不等式 cosx lg 1 x2 cosx lg 1 x2 的解集为 A 1 1 B 1 1 2 2 C D 0 1 2 2 解析 由题意得 cosxlg 1 x2 0 1 x0 的解集为 A x 2 x 2 B x x 2 C x x 3 D x x 2 或 1 x0 当 x 0 时 2 x x 1 0 即 x 2 x 1 0 1 x 2 又 x 0 0 x 2 当 x0 x 1 或 x 2 又 x 0 1 x 0 或 x 2 综上 原不等式的解集为 x x 2 或 1 x 2 2 答案 D 4 2009 安徽高考 若集合 A x 2x 1 3 B x 0 则 A B 是 2x 1 3 x A x 1 x 或 2 x 3 1 2 B x 2 x 3 C x x 2 1 2 D x 1 x 1 2 解析 2x 1 3 3 2x 1 3 1 x 2 A x 1 x 2 0 2x 1 2x 1 3 x 3 x 0 x3 1 2 B x x3 1 2 结合数轴 A B x 1 x x 3 解 法一 x 1 x 3 两边平方得 x 1 2 x 3 2 8x 8 x 1 原不等式的解集为 x x 1 法二 分段讨论 当 x 1 时 有 x 1 x 3 此时 x 当 1 x 3 此时 13 时 有 x 1 x 3 成立 x 3 原不等式解集为 x x 1 题组三绝对值不等式的证明 6 若 a b 和 均不成立 1 a 1 b 1 a 1 b B 不等式 和 均不成立 1 a b 1 a 1 a 1 b 3 C 不等式 和 a 2 b 2均不成立 1 a b 1 a 1 b 1 a D 不等式 和 a 2 b 2均不成立 1 a 1 b 1 b 1 a 解析 令 a 2 b 1 验证即可 答案 B 7 若 a b R 则使 a b 1 成立的一个充分不必要条件是 A a b 1 B a 且 b 1 2 1 2 C b1 成立的非充分条件 不满足题意 对 B 选项 因 a 且 b 1 2 1 2 故 a b 1 即 a 且 b 是 a b 1 成立的非充分条件 不满足题意 1 2 1 2 对 C 选项可知 b 1 故 a b 1 即 b1 成立的充分条件 而显然由 a b 1 推不出 b1 成立的非充分条件 不满足 题意 答案 C 题组四绝对值不等式的综合应用 8 2010 福州模拟 已知不等式 a 2x x 1 对任意 x 0 2 恒成立 则 a 的取值范围 为 A 1 5 B 2 5 C 1 5 D 2 5 解析 当 0 xx 1 a R 当 1 x 2 时 不等式 a 2x x 1 即 a 2xx 1 x a 1 或 3xa 1 或 6 1 a a5 综上所述 则 a 的取值范围为 2 5 答案 B 4 9 若关于 x 的不等式 x 2 x a a 在 R 上恒成立 则 a 的最大值是 A 0 B 1 C 1 D 2 解析 由数形结合知 x 2 x a a 2 a 2 a 即 a 1 a 的最大值为 1 答案 B 10 已知二次函数 f x x2 ax b a b R 的定义域为 1 1 且 f x 的最大值为 M 1 试证明 1 b M 2 试证明 M 1 2 3 当 M 时 试求出 f x 的解析式 1 2 解 1 M f 1 1 a b M f 1 1 a b 2M 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 2 1 b M 1 b 2 依题意 M f 1 M f 0 M f 1 又 f 1 1 a b f 1 1 a b f 0 b 4M f 1 2 f 0 f 1 1 a b 2 b 1 a b 1 a b 2b 1 a b 2 M 1 2 3 当 M 时 f 0 b b 1 2 1 2 1 2