2014年中考数学分类汇编-锐角三角函数

20142014 年中考数学分类汇编年中考数学分类汇编 锐角三角函数锐角三角函数 一 选择题一 选择题 1 2014 年广东汕尾 第 7 题 4 分 在 Rt ABC 中 C 90 若 sinA 则 cosB 的值 是 A B C D 分析 根据互余两角的三角函数关系进行解答 解 C 90 A B 90 cosB sinA sinA cosB 故选 B 点评 本题考查了互余两角的三角函数关系 熟记关系式是解题的关键 2 2014 毕节地区 第 15 题 3 分 如图是以 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O 点 C 恰好 在半圆上 过 C 作 CD AB 交 AB 于 D 已知 cos ACD BC 4 则 AC 的长为 A 1B C 3D 考点 圆周角定理 解直角三角形 分析 由以 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O 点 C 恰好在半圆上 过 C 作 CD AB 交 AB 于 D 易得 ACD B 又由 cos ACD BC 4 即可求得答案 解答 解 AB 为直径 ACB 90 ACD BCD 90 CD AB BCD B 90 B ACD cos ACD cos B tan B BC 4 tan B AC 故选 D 点评 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质 此题难度适中 注意掌握数形结合思想的应用 3 2014 年天津市 第 2 题 3 分 cos60 的值等于 A B C D 考点 特殊角的三角函数值 分析 根据特殊角的三角函数值解题即可 解答 解 cos60 故选 A 点评 本题考查特殊角的三角函数值 准确掌握特殊角的函数值是解题关键 4 2014 四川自贡 第 10 题 4 分 如图 在半径为 1 的 O 中 AOB 45 则 sinC 的 值为 A B C D 考点 圆周角定理 勾股定理 锐角三角函数的定义 专题 压轴题 分析 首先过点 A 作 AD OB 于点 D 由在 Rt AOD 中 AOB 45 可求得 AD 与 OD 的长 继而可得 BD 的长 然后由勾股定理求得 AB 的长 继而可求得 sinC 的值 解答 解 过点 A 作 AD OB 于点 D 在 Rt AOD 中 AOB 45 OD AD OA cos45 1 BD OB OD 1 AB AC 是 O 的直径 ABC 90 AC 2 sinC 故选 B 点评 此题考查了圆周角定理 三角函数以及勾股定理 此题难度适中 注意掌握辅助线 的作法 注意数形结合思想的应用 5 2014 浙江湖州 第 6 题 3 分 如图 已知 Rt ABC 中 C 90 AC 4 tanA 则 BC 的长是 A 2B 8C 2D 4 分析 根据锐角三角函数定义得出 tanA 代入求出即可 解 tanA AC 4 BC 2 故选 A 点评 本题考查了锐角三角函数定义的应用 注意 在 Rt ACB 中 C 90 sinA cosA tanA 6 2014 浙江金华 第 6 题 4 分 如图 点 A t 3 在第一象限 OA 与 x 轴所夹的锐角 为 则 t 的值是 3 tan 2 A 1 B 1 5 C 2 D 3 答案 C 解析 7 2014 滨州 第 11 题 3 分 在 Rt ACB 中 C 90 AB 10 sinA cosA tanA 则 BC 的长为 A 6B 7 5C 8D 12 5 考点 解直角三角形 分析 根据三角函数的定义来解决 由 sinA 得到 BC 解答 解 C 90 AB 10 sinA BC AB 10 6 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用 注意 在 Rt ACB 中 C 90 则 sinA cosA tanA 8 2014 扬州 第 7 题 3 分 如图 已知 AOB 60 点 P 在边 OA 上 OP 12 点 M N 在边 OB 上 PM PN 若 MN 2 则 OM A 3B 4C 5D 6 第 1 题图 考点 含 30 度角的直角三角形 等腰三角形的性质 分析 过 P 作 PD OB 交 OB 于点 D 在直角三角形 POD 中 利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长 再由 PM PN 利用三线合一得到 D 为 MN 中点 根据 MN 求出 MD 的 长 由 OD MD 即可求出 OM 的长 解答 解 过 P 作 PD OB 交 OB 于点 D 在 Rt OPD 中 cos60 OP 12 OD 6 PM PN PD MN MN 2 MD ND MN 1 OM OD MD 6 1 5 故选 C 点评 此题考查了含 30 度直角三角形的性质 等腰三角形的性质 熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键 二二 填空题填空题 1 2014 广西贺州 第 18 题 3 分 网格中的每个小正方形的边长都是 1 ABC 每个顶 点都在网格的交点处 则 sinA 考点 锐角三角函数的定义 三角形的面积 勾股定理 分析 根据正弦是角的对边比斜边 可得答案 解答 解 如图 作 AD BC 于 D CE AB 于 E 由勾股定理得 AB AC 2 BC 2 AD 3 由 BC AD AB CE 即 CE sinA 故答案为 点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 2 2014 广西玉林市 防城港市 第 16 题 3 分 如图 直线 MN 与 O 相切于点 M ME EF 且 EF MN 则 cos E 考点 切线的性质 等边三角形的判定与性质 特殊角的三角函数值 专题 计算题 分析 连结 OM OM 的反向延长线交 EF 与 C 由直线 MN 与 O 相切于点 M 根据切线 的性质得 OM MF 而 EF MN 根据平行线的性质得到 MC EF 于是根据垂径 定理有 CE CF 再利用等腰三角形的判定得到 ME MF 易证得 MEF 为等边三角 形 所以 E 60 然后根据特殊角的三角函数值求解 解答 解 连结 OM OM 的反向延长线交 EF 与 C 如图 直线 MN 与 O 相切于点 M OM MF EF MN MC EF CE CF ME MF 而 ME EF ME EF MF MEF 为等边三角形 E 60 cos E cos60 故答案为 点评 本题考查了切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 也考查了垂径定理 等 边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值 3 2014 温州 第 14 题 5 分 如图 在 ABC 中 C 90 AC 2 BC 1 则 tanA 的 值是 考点 锐角三角函数的定义 分析 根据锐角三角函数的定义 tanA 求出即可 解答 解 tanA 故答案为 点评 本题考查了锐角三角函数定义的应用 注意 在 Rt ACB 中 C 90 sinA cosA tanA 4 2014 株洲 第 13 题 3 分 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处 看塔顶 的仰角为 20 不考虑身高因素 则此塔高约为 182 米 结果保留整数 参考数据 sin20 0 3420 sin70 0 9397 tan20 0 3640 tan70 2 7475 第 1 题图 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 作出图形 可得 AB 500 米 A 20 在 Rt ABC 中 利用三角函数即可求得 BC 的长度 解答 解 在 Rt ABC 中 AB 500 米 BAC 20 tan20 BC ACtan20 500 0 3640 182 米 故答案为 182 点评 本题考查了解直角三角形的应用 关键是根据仰角构造直角三角形 利用三角函数 求解 三三 解答题解答题 1 2014 湘潭 第 25 题 ABC 为等边三角形 边长为 a DF AB EF AC 1 求证 BDF CEF 2 若 a 4 设 BF m 四边形 ADFE 面积为 S 求出 S 与 m 之间的函数关系 并探究当 m 为何值时 S 取最大值 3 已知 A D F E 四点共圆 已知 tan EDF 求此圆直径 第 1 题图 考点 相似形综合题 二次函数的最值 等边三角形的性质 圆周角定理 解直角三角形 分析 1 只需找到两组对应角相等即可 2 四边形 ADFE 面积 S 可以看成 ADF 与 AEF 的面积之和 借助三角函数用 m 表 示出 AD DF AE EF 的长 进而可以用含 m 的代数式表示 S 然后通过配方 转化 为二次函数的最值问题 就可以解决问题 3 易知 AF 就是圆的直径 利用圆周角定理将 EDF 转化为 EAF 在 AFC 中 知道 tan EAF C AC 通过解直角三角形就可求出 AF 长 解答 解 1 DF AB EF AC BDF CEF 90 ABC 为等边三角形 B C 60 BDF CEF B C BDF CEF 2 BDF 90 B 60 sin60 cos60 BF m DF m BD AB 4 AD 4 S ADF AD DF 4 m m2 m 同理 S AEF AE EF 4 4 m m2 2 S S ADF S AEF m2 m 2 m2 4m 8 m 2 2 3 其中 0 m 4 0 0 2 4 当 m 2 时 S 取最大值 最大值为 3 S 与 m 之间的函数关系为 S m 2 2 3 其中 0 m 4 当 m 2 时 S 取到最大值 最大值为 3 3 如图 2 A D F E 四点共圆 EDF EAF ADF AEF 90 AF 是此圆的直径 tan EDF tan EAF C 60 tan60 设 EC x 则 EF x EA 2x AC a 2x x A x EF AE AEF 90 AF 此圆直径长为 点评 本题考查了相似三角形的判定 二次函数的最值 三角函数 解直角三角形 圆周角定 理 等边三角形的性质等知识 综合性强 利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合 适的位置是解决最后一小题的关键 2 2014 益阳 第 18 题 8 分 中国 益阳 网上消息 益阳市为了改善市区交通状况 计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥 如图 新大桥的两端位于 A B 两点 小张为了测量 A B 之间的河宽 在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据 BAD 76 1 BCA 68 2 CD 82 米 求 AB 的长 精确到 0 1 米 参考数据 sin76 1 0 97 cos76 1 0 24 tan76 1 4 0 sin68 2 0 93 cos68 2 0 37 tan68 2 2 5 第 2 题图 考点 解直角三角形的应用 分析 设 AD x 米 则 AC x 82 米 在 Rt ABC 中 根据三角函数得到 AB 2 5 x 82 在 Rt ABD 中 根据三角函数得到 AB 4x 依此得到关于 x 的方 程 进一步即可求解 解答 解 设 AD x 米 则 AC x 82 米 在 Rt ABC 中 tan BCA AB AC tan BCA 2 5 x 82 在 Rt ABD 中 tan BDA AB AD tan BDA 4x 2 5 x 82 4x 解得 x AB 4x 4 546 7 答 AB 的长约为 546 7 米 点评 此题考查了解直角三角形的应用 主要是三角函数的基本概念及运算 关键是用数 学知识解决实际问题 3 2014 株洲 第 17 题 4 分 计算 3 0 tan45 考点 实数的运算 零指数幂 特殊角的三角函数值 分析 原式第一项利用平方根定义化简 第二项利用零指数幂法则计算 最后一项利用特 殊角的三角函数值计算即可得到结果 解答 解 原式 4 1 1 4 点评 此题考查了实数的运算 熟练掌握运算法则是解本题的关键 4 2014 年江苏南京 第 23 题 如图 梯子斜靠在与地面垂直 垂足为 O 的墙上 当梯 子位于 AB 位置时 它与地面所成的角 ABO 60 当梯子底端向右滑动 1m 即 BD 1m 到达 CD 位置时 它与地面所成的角 CDO 51 18 求梯子的长 参考数据 sin51 18 0 780 cos51 18 0 625 tan51 18 1 248 第 4 题图 考点 解直角三角形的应用 分析 设梯子的长为 xm 在 Rt ABO 中 根据三角函数得到 OB 在 Rt CDO 中 根 据三角函数得到 OD 再根据 BD OD OB 得到关于 x 的方程 解方程即可求解 解答 设梯子的长为 xm 在 Rt ABO 中 cos ABO OB AB cos ABO x cos60 x 在 Rt CDO 中 cos CDO OD CD cos CDO x cos51 18 0 625x BD OD OB 0 625x x 1 解得 x 8 故梯子的长是 8 米 点评 此题考查了解直角三角形的应用 主要是三角函数的基本概念及运算 关键把 实际问题转化为数学问题加以计算 5 2014 泰州 16 题 3 分 如图 正方向 ABCD 的边长为 3cm E 为 CD 边上一点 DAE 30 M 为 AE 的中点 过点 M 作直线分别与 AD BC 相交于点 P Q 若 PQ AE 则 AP 等于 1 或 2 cm 第 5 题图 考点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 解直角三角形 分析 根据题意画出图形 过 P 作 PN BC 交 BC 于点 N 由 ABCD 为正方形 得到 AD DC PN 在直角三角形 ADE 中 利用锐角三角函数定义求出 DE 的长 进而利 用勾股定理求出 AE 的长 根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长 利用 HL 得到三角形 ADE 与三角形 PQN 全等 利用全等三角形对应边 对应角相等得到 DE NQ DAE NPQ 30 再由 PN 与 DC 平行 得到 PFA DEA 60 进而 得到 PM 垂直于 AE 在直角三角形 APM 中 根据 AM 的长 利用锐角三角函数定 义求出 AP 的长 再利用对称性确定出 AP 的长即可 解答 解 根据题意画出图形 过 P 作 PN BC 交 BC 于点 N 四边形 ABCD 为正方形 AD DC PN 在 Rt ADE 中 DAE 30 AD 3cm tan30 即 DE cm 根据勾股定理得 AE 2cm M 为 AE 的中点 AM AE cm 在 Rt ADE 和 Rt PNQ 中 Rt ADE Rt PNQ HL DE NQ DAE NPQ 30 PN DC PFA DEA 60 PMF 90 即 PM AF 在 Rt AMP 中 MAP 30 cos30 AP 2cm 由对称性得到 AP DP AD AP 3 2 1cm 综上 AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为 1 或 2 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 正方形的性质 熟练掌握全等三角形的判定 与性质是解本题的关键 6 2014 泰州 第 22 题 10 分 图 分别是某种型号跑步机的实物图与示意图 已 知踏板 CD 长为 1 6m CD 与地面 DE 的夹角 CDE 为 12 支架 AC 长为 0 8m ACD 为 80 求跑步机手柄的一端 A 的高度 h 精确到 0 1m 参考数据 sin12 cos78 0 21 sin68 cos22 0 93 tan68 2 48 第 6 题图 考点 解直角三角形的应用 分析 过 C 点作 FG AB 于 F 交 DE 于 G 在 Rt ACF 中 根据三角函数可求 CF 在 Rt CDG 中 根据三角函数可求 CG 再根据 FG FC CG 即可求解 解答 解 过 C 点作 FG AB 于 F 交 DE 于 G CD 与地面 DE 的夹角 CDE 为 12 ACD 为 80 ACF 90 12 80 22 CAF 68 在 Rt ACF 中 CF AC sin CAF 0 744m 在 Rt CDG 中 CG CD sin CDE 0 336m FG FC CG 1 1m 故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1 1m 点评 此题考查了解直角三角形的应用 主要是三角函数的基本概念及运算 关键是用数 学知识解决实际问题 7 2014 福建泉州 第 26 题 14 分 如图 直线 y x 3 与 x y 轴分别交于点 A B 与反比例函数的图象交于点 P 2 1 1 求该反比例函数的关系式 2 设 PC y 轴于点 C 点 A 关于 y 轴的对称点为 A 求 A BC 的周长和 sin BA C 的值 对大于 1 的常数 m 求 x 轴上的点 M 的坐标 使得 sin BMC 考点 反比例函数综合题 待定系数法求反比例函数解析式 勾股定理 矩形的判定与性 质 垂径定理 直线与圆的位置关系 锐角三角函数的定义 专题 压轴题 探究型 分析 1 设反比例函数的关系式 y 然后把点 P 的坐标 2 1 代入即可 2 先求出直线 y x 3 与 x y 轴交点坐标 然后运用勾股定理即可求出 A BC 的周长 过点 C 作 CD AB 垂足为 D 运用面积法可以求出 CD 长 从而求 出 sin BA C 的值 由于 BC 2 sin BMC 因此点 M 在以 BC 为弦 半径为 m 的 E 上 因而点 M 应是 E 与 x 轴的交点 然后对 E 与 x 轴的位置关系进行讨论 只需运用矩形的 判定与性质 勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标 解答 解 1 设反比例函数的关系式 y 点 P 2 1 在反比例函数 y 的图象上 k 2 1 2 反比例函数的关系式 y 2 过点 C 作 CD AB 垂足为 D 如图 1 所示 当 x 0 时 y 0 3 3 则点 B 的坐标为 0 3 OB 3 当 y 0 时 0 x 3 解得 x 3 则点 A 的坐标为 3 0 OA 3 点 A 关于 y 轴的对称点为 A OA OA 3 PC y 轴 点 P 2 1 OC 1 PC 2 BC 2 AOB 90 OA OB 3 OC 1 A B 3 A C A BC 的周长为 3 2 S ABC BC A O A B CD BC A O A B CD 2 3 3 CD CD CD A B sin BA C A BC 的周长为 3 2 sin BA C 的值为 当 1 m 2 时 作经过点 B C 且半径为 m 的 E 连接 CE 并延长 交 E 于点 P 连接 BP 过点 E 作 EG OB 垂足为 G 过点 E 作 EH x 轴 垂足为 H 如图 2 所示 CP 是 E 的直径 PBC 90 sin BPC sin BMC BMC BPC 点 M 在 E 上 点 M 在 x 轴上 点 M 是 E 与 x 轴的交点 EG BC BG GC 1 OG 2 EHO GOH OGE 90 四边形 OGEH 是矩形 EH OG 2 EG OH 1 m 2 EH EC E 与 x 轴相离 x 轴上不存在点 M 使得 sin BMC 当 m 2 时 EH EC E 与 x 轴相切 切点在 x 轴的正半轴上时 如图 2 所示 点 M 与点 H 重合 EG OG GC 1 EC m EG OM OH EG 点 M 的坐标为 0 切点在 x 轴的负半轴上时 同理可得 点 M 的坐标为 0 当 m 2 时 EH EC E 与 x 轴相交 交点在 x 轴的正半轴上时 设交点为 M M 连接 EM 如图 2 所示 EHM 90 EM m EH 2 MH EH MM MH M H M H EGC 90 GC 1 EC m EG OH EG OM OH MH OM OH HM M 0 M 0 交点在 x 轴的负半轴上时 同理可得 M 0 M 0 综上所述 当 1 m 2 时 满足要求的点 M 不存在 当 m 2 时 满足要求的点 M 的坐标为 0 和 0 当 m 2 时 满足要求的点 M 的坐标为 0 0 0 0 点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式 勾股定理 三角函数的定义 矩 形的判定与性质 直线与圆的位置关系 垂径定理等知识 考查了用面积法求三角 形的高 考查了通过构造辅助圆解决问题 综合性比较强 难度系数比较大 由 BC 2 sin BMC 联想到点