河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《数列的综合应用》专题训练

用心 爱心 专心 1 河南省卢氏一中河南省卢氏一中 20122012 届高考数学二轮届高考数学二轮 数列的综合应用数列的综合应用 专题训练专题训练 一 选择题 1 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 则a6 A 3 44 B 3 44 1 C 43 D 43 1 解析 由an 1 3Sn Sn 1 Sn 3Sn 即Sn 1 4Sn 又S1 a1 1 可知Sn 4n 1 于是 a6 S6 S5 45 44 3 44 答案 A 2 命题甲 x 21 x 成等比数列 命题乙 lgx lg x 1 lg x 3 成等差数 1 2 2 2x 列 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 命题甲 21 x 2 2 x 2 2x 即 2 1 x x x2 得 x 2 或x 1 命题乙 2lg x 1 lgx lg x 3 即 x 1 2 x x 3 得 x 1 故甲乙 乙 甲 故甲是乙的必要不充分条件 答案 B 3 已知 an 是等差数列 Sn为其前n项和 若S21 S4 000 O为坐标原点 点P 1 an 点Q 2 011 a2 011 则 OP OQ A 2 011 B 2 011 C 0 D 1 解析 设Sn An2 Bn 当n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 A B 由S21 S4 000 知 4 021A B 0 所以a2 011 0 2 011 an a2 011 2 011 OP OQ 答案 A 4 2011 日照模拟 已知函数f x x2 bx的图像在点A 1 f 1 处的切线l与直线 3x y 2 0 平行 若数列 的前n项和为Sn 则S2 011的值为 1 f n A B 2 009 2 010 2 011 2 012 用心 爱心 专心 2 C D 2 008 2 009 2 010 2 011 解析 函数f x x2 bx的图像的切线的斜率为f x 2x b 函数f x x2 bx的图像在点A 1 f 1 处的切线l的斜率为k 2 b 切线l与直线 3x y 2 0 平行 2 b 3 即b 1 f x x2 x 1 f n 1 n2 n 1 n n 1 1 n 1 n 1 S2 011 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 011 1 2 012 1 2 012 2 011 2 012 答案 B 5 已知函数f x 满足f x 1 f x x R 且f 1 则数列 f n n N 前 3 2 5 2 20 项的和为 A 305 B 315 C 325 D 335 解析 因为f 1 f 2 5 2 3 2 5 2 f 3 f n f n 1 3 2 3 2 5 2 3 2 所以 f n 是以 为首项 为公差的等差数列 5 2 3 2 所以S20 20 335 5 2 20 20 1 2 3 2 答案 D 6 等差数列 an 中 a1 0 公差d 0 Sn为其前n项和 对任意自然数n 若点 n Sn 在以下 4 条曲线中的某一条上 则这条曲线应是 解析 Sn na1 d Sn n2 a1 n 又a1 0 公差d 0 所以点 n Sn 所 n n 1 2 d 2 d 2 在抛物线开口向下 对称轴在y轴右侧 答案 C 二 填空题 用心 爱心 专心 3 7 2011 枣庄模拟 已知函数f x x x n x n 1 n N 其中 x 表示不超过 x的最大整数 如 2 1 3 3 3 2 5 2 定义an是函数f x 的值域中的元 素个数 数列 an 的前n项和为Sn 则满足anSn 500 的最大正整数n 解析 由n x n 1 知 x n 所以n2 x x n n 1 故n2 f x x x n n 1 1 从而函数f x 的值域中的元素个数为an n n 1 1 n2 1 n 故由anSn 500 得n 9 所以最大正整数n 9 n2 n 1 2 答案 9 8 设 1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公 差为 1 的等差数列 则q的最小值是 解析 设a2 t 则 1 t q t 1 q2 t 2 q3 由于t 1 所以 q max t 故q的最小值是 t 1 3 t 2 3 3 答案 3 3 9 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价a 最高销售限价b b a 以及实数x 0 x 1 确定实际销售价格c a x b a 这里 x被 称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数x恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数x的值等于 解析 根据题目条件可知 c a x b a b c b a c a 1 x b a 最 佳乐观系数满足 c a是b c和b a的等比中项 所以有 x b a 2 1 x b a b a 又因为 b a 0 所以x2 1 x 即x2 x 1 0 解得x 1 5 2 又 0 x 1 所以x 1 5 2 答案 1 5 2 三 解答题 10 2011 烟台模拟 将函数f x sinx sin x 2 sin x 3 在区间 1 4 1 4 1 2 0 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 an n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 2nan 数列 bn 的前n项和为Tn 求Tn的表达式 解 1 f x sinx sin x 2 sin x 3 sinx 其极值点为 1 4 1 4 1 2 1 4 x k k Z 2 用心 爱心 专心 4 它在 0 内的全部极值点构成以为首项 为公差的等差数列 2 an n 1 n N 2 2n 1 2 2 bn 2nan 2n 1 2n 2 Tn 1 2 3 22 2n 3 2n 1 2n 1 2n 2 2Tn 1 22 3 23 2n 3 2n 2n 1 2n 1 2 两式相减 得 Tn 1 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n 1 2 Tn 2n 3 2n 3 11 设C1 C2 Cn 是坐标平面上的一系列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上 且都与直线y x相切 对每一个正整数n 圆Cn都与圆Cn 1相互外切 以rn表示Cn的半 3 3 径 已知数列 rn 为递增数列 1 证明 数列 rn 为等比数列 2 设r1 1 求数列 的前n项和 n rn 解 1 证明 将直线y x的倾斜角记为 则有 tan sin 3 3 3 3 1 2 设Cn的圆心为 n 0 n N 则由题意知 sin 得 n 2rn rn n 1 2 同理 n 1 2rn 1 依题意知 n 1 n rn rn 1 2rn 1 将 n 2rn代入 解得rn 1 3rn 故数列 rn 是以 3 为公比的等比数列 2 由于r1 1 q 3 故rn 3n 1 从而 n 31 n n rn 记Sn 1 r1 2 r2 n rn 则有Sn 1 2 3 1 3 3 2 n 31 n 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n n 3 n Sn 3 得 1 3 1 3 2 31 n n 3 n 2Sn 3 用心 爱心 专心 5 n 3 n n 3 n 1 3 n 2 3 3 2 3 2 Sn n 31 n 9 4 1 2 3 2 12 已知数列 an 与 bn 满足bn 1an bnan 1 2 n 1 bn n N 3 1 n 1 2 且a1 2 1 求a2 a3的值 2 设cn a2n 1 a2n 1 n N 证明 cn 是等比数列 3 设Sn为 an 的前n项和 证明 n n N S1 a1 S2 a2 S2n 1 a2n 1 S2n a2n 1 3 解 1 由bn n N 3 1 n 1 2 可得bn Error 又bn 1an bnan 1 2 n 1 当n 1 时 a1 2a2 1 由a1 2 可得a2 3 2 当n 2 时 2a2 a3 5 可得a3 8 2 证明 对任意n N a2n 1 2a2n 22n 1 1 2a2n a2n 1 22n 1 得a2n 1 a2n 1 3 22n 1 即cn 3 22n 1 于是 4 cn 1 cn 所以 cn 是等比数列 3 证明 a1 2 由 2 知 当k N 且k 2 时 a2k 1 a1 a3 a1 a5 a3 a7 a5 a2k 1 a2k 3 2 3 2 23 25 22k 3 2 3 22k 1 2 1 4k 1 1 4 故对任意k N a2k 1 22k 1 由 得 22k 1 2a2k 22k 1 1 所以a2k 22k 1 k N 1 2 因此 S2k a1 a2 a3 a4 a2k 1 a2k k 2 于是 S2k 1 S2k a2k 22k 1 k 1 2 用心 爱心 专心 6 故 1 S2k 1 a2k 1 S2k a2k k 1 2 22k 1 22k 1 k 2 1 2 22k 1 k 1 22k 22k k 22k 1 1 4k k