湖南省2011年高考数学 必考点题型热点预测与分析(2) 数列与不等式

用心 爱心 专心1 20112011 年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析 命题热点二命题热点二 数列与不等式数列与不等式 高考对该部分主要从以下几个方面考查 数列的概念 等差数列和等比数列 一元二 次不等式 一元二次不等式组和简单的线性规划问题 基本不等式的应用等 高考在解答 题中一般有一道数列题 各地高考的试题不尽相同 但总的趋势是难度在下降 试卷中没 有不等式解答题 选做题除外 通常会在小题中设置 1 到 2 道 而对不等式的深层考查则 在数列解答题 解析几何解答题 函数导数解答题中考查 预测 1 数列是首项为 2 公差为 1 的等差数列 其前项的和为 n an n S 求数列的通项公式及前项和 n a n an n S 设 求数列的通项公式及前项和2 n a n b n b n bn n T 解 依题意 2 分2 1 1 n ann 4 分 1 21 2 n n n Sn 2 3 2 2 nn 由 知 5 分42 1 1 a b 7 分 1 11 222 nn aan n n b b b 是首项为4 公比为2的等比数列 9 分 11 4 22 nn n b 12 分 2 4 1 2 24 1 2 n n n T 预测 2 数列的前项和为 等差数列满足 n an n S 1 1a 1 21 nn aS n b 35 3 9bb 1 分别求数列 的通项公式 n a n b 2 若对任意的 恒成立 求实数的取值范围 nN 1 2 nn Skb k 解析 1 由 得 1 21 nn aS 1 21 nn aS 得 11 2 nnnn aaSS 1 1 3 3n nnn aaa 用心 爱心 专心2 53 26 3 3 3 336 n bbddbnn 2 对恒成立 1 1 1 331 11 32 nnn n aq S q 311 36 22 n kn nN 即对恒成立 36 3n n k nN 令 36 3 n n n c 1 1 363927 333 nn nnn nnn cc 当时 当时 3n 1nn cc 4n 1nn cc max3 2 9 n cc 2 9 k 预测 3 设数列是首项为 公差为的等差数列 其前项和为 n a a a 2n n S 且成等差数列 123 SSS 求数列的通项公式 n a 记的前项和为 求 2 n n n a b n n T n T 解 解 11 Sa 2121 22Saaa 31231 36Saaaa 由成等差数列得 即 123 SSS 213 2 SSS 111 2 2236aaa 解得 故 1 1a 21 n an 211 21 222 n n n nn an bn 法法 1 1 123 1111 1 3 5 21 2222 n n Tn 得 1 2 2341 111111 1 3 5 23 21 222222 nn n Tnn 得 231 111111 2 2 2 21 222222 nn n Tn 1 11 11 1 113121 22 2 21 1 22222 1 2 n n nn n n 42123 33 222 n nnn nn T 法法 2 2 1 2111 2222 n n nnnn an bn 设 记 1 12 n n k k k F 1 1 n k k f xkx 用心 爱心 专心3 则 1 11 1 1 1 1 nn nn kk n kk xxnnx x f xxx xx 1 1 4 2 2 n n Fn 故 1 11 1 1123 22 4 2 13 1 222 1 2 n nn nnn n TFn 预测 4 已知数列 1 11 7 328 n nnn aaaan nN 满足 I 李四同学欲求的通项公式 他想 如能找到一个函数 n a A B C 是常数 把递推关系变成 1 2nf nAB nC 后 就容易求出 的通项了 请问 他设想的 1 1 3 nn af naf n n a 的通项公式是什么 n f na存在吗 II 记都成 2 123 23n nnn SaaaaSnpnN 若不等式对任意 立 求实数 p 的取值范围 解 1 1 3 nn af naf n 1 3 1 3 nn aaf nf n 所以只需 1 1 3 28 n f nf nn 1 1 3 22 2 n f nf nABnBC 1 28 20ABBC 故李四设想的存在 1 4 2ABC f n 1 242 n f nn 111 1 3 1 3 75 2 3 nnn n af naf 5 分 1 2 3 n n af n 11 2 322 21 nn n 211 2 1 333 122 nn n S 2 2 35 21 3224 nn nnn 用心 爱心 专心4 7 分 2 2324 nn n Snn 由 得 2 23n n Snp 32424 1 33 nnn nn nn p 设 则 324 3 nn n n n b 1 1 1 24 1 24 11 33 nn nn nn nn bb 11 28424 21 33 nn nn nn 当时 6n 221232 2222 2 1 1 1 nnnn nnnn CCCC 用数学归纳法证 2 3 2 12 222 3 4821 2 nn nnnnn 也行 时 容易验证 时 6n 1nn bb 15n 1nn bb min n pb 6 689 729 b 的取值范围为 13 分p 689 729 预测 5 已知公差大于零的等差数列的前项和 且满足 n an n S65 42 aa 18 51 aa 1 求数列的通项公式 n a n a 2 若 是某等比数列的连续三项 求 值 121i 211 aaa i i 3 是否存在常数 使得数列为等差数列 若存在 求出常数 若不存k n Skn k 在 请说明理由 1 1 解 为等差数列 n a18 4251 aaaa 又 是方程的两个根65 42 aa 2 a 4 a06518 2 xx 又公差 0 d 42 aa 5 2 a13 4 a 1 1 5 313 ad ad 1 1 4 ad 用心 爱心 专心5 5 分34 nan 2 2 由 是某等比数列的连续三项 121i 211 aaa i 2 211i aaa 即 2 34 811 i 解得 3 i 3 由 1 知 nn nn nSn 2 24 2 1 1 假设存在常数 使数列为等差数列 k n Skn 法一 由 2231 231 kSkSkS 得 26231511 kkk 解得 1 k 易知数列为等差数列 nnknSn22 2 n Skn 法二 假设存在常数 使数列为等差数列 由等差数列通项公式可知k n Skn n Sknanb 设 得恒成立 可得 22 2 1 2nknanabnb 2 0 1abk 易知数列为等差数列 nnknSn22 2 n Skn 说明 本题考查等差 等比数列的性质 等差数列的判定 方程思想 特殊与一般思 想 待定系数法 高考资源网 预测 6 已知函数 为常数 2 1 axb f x cx abc0a 若时 数列满足条件 点在函数的图象上 0c n a n n a 2 1 axb f x cx 求的前项和 n an n S 在 的条件下 若 3 7a 4 24S p qN pq 证明 22 1 2 p qpq SSS 若时 是奇函数 数列满足 1c f x 1 1f n x 1 1 2 x 1 nn xf x 用心 爱心 专心6 求证 222 23112 12231 5 16 nn nn xxxxxx x xx xx x 解 依条件有 f xaxb 因为点在函数的图象上 所以 n n a f xaxb n af nanb 因为 1 1 nn aaa nbanba 所以是首项是 公差为的等差数列 1 分 n a 1 aab da 所以 1 2 n n n Sn aba 1 2 n n nba 即数列的前项和 2 分 n an n S 1 2 n n nba 证明 依条件有 即解得 27 4 3 4 24 2 aba aba 37 10424 ab ab 2 1 a b 所以 21 n an 所以 3 分 2 2 21 nn aan S n n 因为 22 2 p qpq SSS 222 2 2 44 44 pqpqppqq 2 2 pq 又 所以 pq 22 2 0 p qpq SSS 即 5 分 22 1 2 p qpq SSS 依条件 2 1 axb f x x 因为为奇函数 所以 f x 0fxf x 即 解得 所以 22 0 11 axbaxb xx 0b 2 1 ax f x x 又 所以 1 1f 2a 故 6 分 2 2 1 x f x x 用心 爱心 专心7 因为 所以 所以时 有 1 nn xf x 1 2 2 1 n n n x x x 1 1 0 2 x 1 0 n x nN 又 1 2 22 1 12 nn nn nn xx xf x xx 若 则 从而 这与矛盾 1 1 n x 1 n x 1 1x 1 1 2 x 所以 8 分 1 01 n x 所以 1 2 1 1 1 k kkkk k x xxxx x 11 2 4 12 1 k k x x 1121 482 22 所以 10 分 2 11 1 111 21 11 8 kkkk kk kkkkkk xxxx xx x xx xxx 所以 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 12231 21111111 8 nn xxxxxx 12 分 111 21 11211 2 88 nn xxx 因为 所以 所以 1 1 2 x 1nn xx 1 1 1 2 n x 1 1 12 n x 所以 14 分 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 3 1 215 2 2 1 8816 预测7 过点作曲线的切线 切点为 过作轴的垂 0 1 0 P 3 0 C yxx 1 Q 1 Qx 线交 轴于点 又过作曲线C的 切点为 过作轴的垂线交轴于点 x 1 P 1 P 2 Q 2 Qxx 2 P 依次下去得到一系列点 设点的横坐标为 123 Q Q Q n Q n a 1 求数列的通项公式 n a 2 求和 1 n i i i a 用心 爱心 专心8 3 求证 1 2 2 n n annN 本小题主要考查数列 本小题主要考查数列 导数导数 不等式不等式 数学归纳法等知识 考查化归与转化数学归纳法等知识 考查化归与转化的数学思想方的数学思想方 法 以及抽象概括能力法 以及抽象概括能力 运算求解能力和创新意识运算求解能力和创新意识 解 1 3 yx 2 3yx 若切点是 3 nnn Q a a 则切线方程为 1 分 32 3 nnn yaaxa 当时 切线过点 1n 0 1 0 P 即 32 111 03 1 aaa 依题意 所以 2 分 1 0a 1 3 2 a 当时 切线过点 1n 11 0 nn Pa 即 32 1 03 nnnn aaaa 依题意 所以 3 分0 n a 1 3 1 2 nn aan 所以数列是首项为 n a 3 2 公比为的等比数列 所以 4 分 3 2 3 2 n n a 2 记 121 121 n nn nn S aaaa 因为 1 121 3 nn aa 所以 5 分 231 2121 3 n nn nn S aaaa 两式相减 得 121 1111 3 n nn n S aaaa 21 2222 3333 nn n 用心 爱心 专心9 1 22 1 33 2 2 3 1 3 n n n 7 分 1 22 2 1 33 nn n 1 n n i i i S a 1 22 6 13 33 nn n 9 分 2 62 3 3 n n 3 证法 1 1 1 2 n n a 2 012 111 222 n n nnnn CCCC 01 1 1 2 22 nn n CCn 14 分 证法 2 当时 2n 10 分 2 2 3952 11 2442 a 假设时 结论成立 nk 即 1 2 k k a 则 1 331311 1111 22222 2222 kk kkkk aa 即时 1nk 13 分 1 1 1 2 k k a 用心 爱心 专心10 综上 1 2 n n a 对都成立 14分2 nnN 预测 8 平面直角坐标系平面直角坐标系中 已知中 已知 是是 直线直线上的上的个点 个点 均为非零常数 均为非零常数 1 1 若数列 若数列成等差数列 求证 数列成等差数列 求证 数列也成等差数列 也成等差数列 2 2 若点 若点是直线是直线 上一点 且上一点 且 求 求的值 的值 3 3 若点 若点满足满足 我们称 我们称是向量是向量 的线性组合的线性组合 是该线性组合的系数数列是该线性组合的系数数列 当当是向量是向量 的线性组合时 请参考以下线索 的线性组合时 请参考以下线索 系数数列系数数列需满足怎样的条件 点需满足怎样的条件 点会落在直线会落在直线 上 上 若点若点落在直线落在直线 上 系数数列上 系数数列会满足怎样的结论 会满足怎样的结论 能否根据你给出的系数数列能否根据你给出的系数数列满足的条件 确定在直线满足的条件 确定在直线 上的点上的点的个数或坐的个数或坐 标 标 试提出一个相关命题 或猜想 并开展研究 写出你的研究过程试提出一个相关命题 或猜想 并开展研究 写出你的研究过程 本小题将根据你提本小题将根据你提 出的命题 或猜想 的完备程度和研究过程中体现的思维层次 给予不同的评分出的命题 或猜想 的完备程度和研究过程中体现的思维层次 给予不同的评分 解 解 1 1 证 设等差数列 证 设等差数列的公差为