复变函数 留数和留数定理.ppt

1 5 2留数和留数定理 一 留数的定义和计算二 留数定理三 函数在无穷远点的留数 2 的某去心邻域 一 留数的定义和计算 3 0 高阶导数公式 0 柯西积分定理 4 1 定义 记作 任意一条简单闭曲线C的积分 的值 Residue 则沿 内 除 称为 5 2 计算留数的一般公式 由Laurent级数展开定理 定义留数的积分值是f z 在环域内Laurent级数的负一次幂系数c 1 1 若z0为函数f z 的可去奇点 负幂项的项数为零个 则它在点z0的留数为零 注 当z0为f z g z z0 的孤立奇点时 若为偶函数 则f z 在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z z0的偶次幂 其奇次幂系数都为0 得 6 如果为的一级极点 那么 规则1 成Laurent级数求 7 规则2若z0为f z 的m级极点 则对任意整数有 说明将函数的零阶导数看作它本身 规则1可看作规则2当n m 1时的特殊情形 且规则2可取m 1 8 规则3 如果 的一级极点 且有 9 为的一级极点 证 10 3 典型例题 解 11 分析 由规则2得 计算较麻烦 12 解 13 注意 如为m级极点 当m较大而导数又难以计算时 2 在应用规则2时 取得比实际的级数高 级数高反而使计算方便 1 在实际计算中应灵活运用计算规则 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 14 例3 求下列函数在指定点处的留数 1 解 是函数的一级零点 又是函数的五级零点 于是它是的四级极点 可用规则计算其留数 其中 为了计算简便应当取其中 这时有 15 另解 在点的去心邻域内的Laurent级数为 其中的项的系数为 从而也有 例3 求下列函数在指定点处的留数 1 16 2 解 在点的去心邻域内的Laurent级数为 显然为它的本性奇点 其中的项的系数为 于是得 17 3 解 显然是的一级极点 可是不能用规则求其留数 由规则得 18 思考 有关因式分解问题 1 2 19 二 留数定理 定理1若函数f z 在正向简单闭曲线C上处处解析 在C的内部除有限个孤立奇点z1 z2 zn外解析 则有 留数概念的重要性在于下面的留数定理 它使得一些积分的计算变得十分容易 20 例4 计算下列积分 1 解 被积函数的奇点和都在圆的内部 由规则1 2可得以下结果 于是由留数定理得积分值为 21 2 解 在圆的内部有一个二级极点和两个一级极点 于是利用留数的计算规则和得 22 2 最后由留数定理得积分值为 23 解 由规则3 24 例6计算积分 C为正向圆周 解 除 被积函数 点外 无其他奇点 在圆外 所以 25 因此 26 1若z0为函数f z 的可去奇点 负幂项的项数为零个 则它在点z0的留数为零 2当z0为f z g z z0 的孤立奇点时 若为偶函数 则f z 在点z0的留数为零 小结 留数的计算 3若z0为f z 的一级极点 则有 4若z0为f z 的m级极点 则对任意整数有 27 5设f z P z Q z 其中P z 和Q z 在点z0都解析 若 Q z0 0且 则z0为f z 的一级极点 且有 6由Laurent级数展开定理 留数等于f z 在环域内Laurent级数的负一次幂系数c 1 28 第五章作业 P1831 1 2