导学案023正弦定理和余弦定理

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 正弦定理 余弦定理正弦定理 余弦定理 考纲要求 考纲要求 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 考情分析 考情分析 1 利用正 余弦定理求三角形中的边 角及其面积问题是高考考查的热点 2 常与三角恒等变换相结合 综合考查三角形中的边与角 三角形形状的判断 等 教学过程 教学过程 基础梳理基础梳理 一 正 余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 变 形 形 式 a b c sinA sinB sinC 其中R是 ABC外接圆半径 a b c asinB bsinA bsinC csinB asinC csinA cosA cosB cosC 解决的问题 已知两角和任一边 求另一 角和其他两条边 已知两边和其中一边的对角 求另一边和其他两角 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求第 三边和其他两个角 二 三角形常用面积公式 1 S a ha ha表示边a上的高 1 2 济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 2 S absin C 1 2 3 S r a b c r为内切圆半径 1 2 双基自测双基自测 1 教材习题改编 在 ABC中 A 60 a 4 b 4 则B 32 A 45 或 135 B 135 C 45 D 60 2 在 ABC中 a b 1 c 2 则A等于 3 A 30 B 45 C 60 D 75 3 在 ABC 中 若 a 18 b 24 A 45 则此三角形有 A 无解 B 两解 C 一解 D 解的个数不确定 4 2011 北京高考 在 ABC中 若b 5 B sin A 则 4 1 3 a 5 2011 新课标全国卷 ABC 中 B 120 AC 7 AB 5 则 ABC 的面 积为 关键点点拨 在 ABC 中 已知 a b 和 A 时 解的情况如下 A为锐角A为钝角或直角 图 形 关 系 式 a bsin Absin A a b a b a b a b 解 的 个 数 一解两解一解一解无解 济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 典例分析典例分析 考点一 利用正弦 余弦定理解三角形考点一 利用正弦 余弦定理解三角形 例 1 2011 辽宁高考 ABC的三个内角A B C所对的边分别为 a b c asin Asin B bcos2A a 2 1 求 b a 2 若c2 b2 a2 求B 3 变式 11 本例条件不变 求角 A 变式 2 2012 长沙模拟 在 ABC中 A B C的对边分别为a b c 已知 A a b 1 则c等于 33 A 1 B 2 C 1 D 33 1 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 也可 用余弦定理 应注意用哪一个 定理更方便 简捷 2 已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的 对角 该三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定 理进行判断 考点二 利用正余弦定理判断三角形的形状考点二 利用正余弦定理判断三角形的形状 例 2 2010 辽宁高考 在 ABC中a b c分别为内角A B C的对边 且 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 1 求A的大小 2 若 sin B sin C 1 试判断 ABC的形状 变式 3 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 则 cos A cos B a b ABC一定是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出 边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函 数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用 A B C 这个结论 注意 在上述两种方法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取 公因式 以免漏解 考点三 与三角形面积有关的问题考点三 与三角形面积有关的问题 例 3 2011 山东高考 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 cos A 2cos C cos B 2c a b 1 求的值 sin C sin A 2 若 cos B b 2 求 ABC的面积S 1 4 1 利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化 2 除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 S p r p是周长的一半 即p p p a p b p c r为内切圆半径 a b c 2 S R为外接圆半径 abc 4R 考题范例考题范例 能 2011 浙江高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 sin A sin C psin B p R 且ac b2 1 4 1 当p b 1 时 求a c的值 2 若角B为锐角 求p的取值范围 5 4 解 1 由题设并利用正弦定理 得 Error 解得Error 或Error 2 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accos B a c 2 2ac 2accos B p2b2 b2 b2cos B 1 2 1 2 济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 即p2 cos B 3 2 1 2 因为 0 cos B 1 得p2 3 2 2 由题设知p 0 所以 p 12 6 22 一条规律 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的 角也较大 即在 ABC中 A B a b sin A sin B 两类问题 在解三角形时 正弦定理可解决两类问题 1 已知两角及任一边 求其它边或 角 2 已知两边及一边的对角 求其它边或角 情况 2 中结果可能有一解 两解 无解 应注意区分 余弦定理可解决两类问题 1 已知两边及夹角求第 三边和其他两角 2 已知三边 求各角 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 本节检测本节检测 1 在 ABC中 a b分别是角A B所对的边 条件 acos B 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且a b 0 3 A 45 则满足此条件的三角形个数是 济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案 编号 022 班级 高三 姓名 A 0 B 1 C 2 D 无数个 3 已知圆的半径为 4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若abc 16 2 则三角形的面积为 A 2 B 8 C D 222 2 2 4 在 ABC中 角A B C所对的边长分别为a b c 若C 120 c a 则 2 A a b B a b C a b D a与b的大小关系不能确定 5 ABC中 AB AC 1 B 3