安徽省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（8）立体几何

1 第第 8 8 部分部分 立体几何立体几何 一 选择题 一 选择题 7 安徽省安徽省 江南十校江南十校 2012 2012 年年 3 3 月高三联考理科月高三联考理科 沿一个正方体三个面的对角线截得的 几何体如图所示 则该几何体的左视图为 7 7 B B 解析解析 由三视图可知 9 安徽省安徽省 江南十校江南十校 2012 2012 年年 3 3 月高三联考文科月高三联考文科 已知定直线 l 与平面 a 成 60 角 点 P 是平面 a 内的一动点 且点 p 到直线 l 的距离为 3 则动点P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆的一部分 C 抛物线的一部分 D 椭圆 9 解析 到直线l的距离为3的点的轨迹是以直线l为旋转轴 以3为半径的无限延伸的 圆柱面 此处只不过把这个圆柱面与平面 成60 角摆放 用一个水平的平面去切它 不难想象 它应该是一个椭圆 所以选 D 图为 9 安徽省皖南八校 安徽省皖南八校 20122012 届高三第二次联考理科 届高三第二次联考理科 已知某几何体的三视 图如右图所示 其中 正 主 视图 侧 左 视图均是由三角形与半圆构成 俯视图由圆与内接三 角形构成 根据图中的数据可得此几何体的体积为 A B C D 21 32 41 36 21 66 21 32 9 C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥 下部分是半球 所以根据三 视图中的数据可得 6 1 6 2 111 2 1 3 1 2 2 3 4 2 1 3 V 安徽省合肥一中安徽省合肥一中 20122012 届高三下学期第二次质量检测文届高三下学期第二次质量检测文 科科 已知某几何体的三视图如右图所示 其中 正 主 视 11 正 主 视图 1 1 侧 左 视图 俯视图 2 图 侧 左 视图均是由三角形与半圆构成 俯视图由圆与内接三角形构成 根据图中的 数据可得此几何体的体积为 C A B 21 32 41 36 C D 21 66 21 32 7 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次模拟文科 月高三第二次模拟文科 如右图 是某几何体的三视图 其 中正视图是正方形 侧视图是矩形 俯视图是半径为 2 的半 圆 则该几何体的表面积是 A 16 12 B 24 C 16 4 D 12 答案 A 7 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次模拟理科 月高三第二次模拟理科 一空间几何体的三视图如图所 示 正 侧视图是两全等图形 俯视图是圆及圆的内接正方形 则该几何体的表面积是 A 7cm2 B 5 4 cm2 3 C 5 2 cm27 3 D 6 2 2 cm2 7 答案 D 7 安徽省马鞍山市安徽省马鞍山市 20122012 年年 4 4 月高三第二次质量检测文科 月高三第二次质量检测文科 如图是一个几何体的三视 则它的表面为 A 4 B C 5 D 15 4 17 4 答案 D 3 安徽省马鞍山市安徽省马鞍山市 20122012 年年 4 4 月高三第二次质量检测理科 月高三第二次质量检测理科 己知 为两个平面 l为直线 若 l 则 A 垂直于平面 的平面一定平行于平面 3 B 垂直于直线I的直线一定垂直于平面 C 垂直于平面 的平面一定平行于直线l D 垂直于直线l的平面一定与平面 a 都垂直 二 填空题 二 填空题 15 安徽省安徽省 江南十校江南十校 2012 2012 年年 3 3 月高三联考理科月高三联考理科 如图是一副直角三角板 现将两三 角板拼成直二面角 得到四面体 ABCD 则下列叙述 正确的是 平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直 异面直线 BC 与 AD 所 成的角为 60 四面体有外接球 直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 300 15 15 12 安徽省安徽省 江南十校江南十校 2012 2012 年年 3 3 月高三联考文科月高三联考文科 若某多面体的三视图 单位 cm 如 图所示 其中正视图与俯视图均为等腰三角形 则此多面体的表面积为 cm2 v 4 12 解析 由三视图知 多面体为右图所示 其表面积为 2 111 6 45 4 26 4 2 32 12 2 222 Scm 15 安徽省安徽省 江南十校江南十校 2012 2012 年年 3 3 月高三联考文科月高三联考文科 如图 正方体棱 长为 1 点 且 有以下四个 结论 MN 与 是异面直线 其中正确结论的序号是 注 把你认为 正确命题的序号都填上 15 解析 过N作 1 NPBB 于点P 连接MP 可证 1 AA 面 MNP 对 过M N分别作 11 MRAB 11 NSBC 于点R S 则当M N不是 1 AB 1 BC 的中点时 11 AC与RS相交 当M N是 1 AB 1 BC 的中点时 11 AC RS 11C A与MN可以异面 也可以平行 故 错 由 正确知 面MNP 面 111 ABC D 故 对 故选 15 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次模拟文科 月高三第二次模拟文科 如图是一个正方体的平面展开图 则在正方体中 CV 与 BE 是异面直线 平面 DEM 平面 ACF DE BM AF 与 BM 所成角为 60 BN 平面 AFC 在以上的五个结论中 正确的是 2 3 4 5 写出所有正确结论的序号 12 安徽省蚌埠市 安徽省蚌埠市 20122012 年年 3 3 月高三第二次质检文科 月高三第二次质检文科 平面 截球 O 所得截面的面积为 9 已知球心 O 到 平面 的距离为 4 则球的表面积为 100 15 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次模拟理科 月高三第二次模拟理科 如图正方形 BCDE 的边长为 a 已知 AB BC 将直角 ABE 沿 BE 边折起 A 点在面 BCDE3 5 上的射影为 D 点 则翻折后的几何体中有如下描述 1 ADE 所成角的正切值是 2 2 的体积是 B ACE V 2 1 6 a 3 AB CD 4 平面 EAB 平面 ADEB 5 直线 PA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 3 3 15 安徽省马鞍山市安徽省马鞍山市 20122012 年年 4 4 月高三第二次质量检测文科 月高三第二次质量检测文科 下面命题 函数 f x 的定义域是 0 2 lg 1 x x 在空间中 若四点不共面 则每三个点一定不共线 若数列 n a 为等比数列 则 16 是 4 的充分不必要条件 35 a a 4 a 直线l1经过点 3 a B a 2 3 直线l2经过点 C 2 3 D 1 a 2 若 12 ll 则 a 0 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 15 答案 命题意图 本题考查基本概念理解的综合能力 难题 三 解答题 三 解答题 19 安徽省 江南十校 2012 年 3 月高三联考理科 本小题满分 12 分 如图 在多面体 ABCDEFG 中 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 平面 ABG 平面 ADF 平 面 CDE 都与平面 ABCD 垂直 且 ABG ADF CDE 都是正三角形 I 求求证证 AC EF II 求多面体 ABCDEFG 的体积 19 19 解解 证明 方法一 证明 方法一 如图 分别取 AD CD 的中点 P Q 连接 FP EQ ADF和 CDE是为 2 的正三角形 FP AD EQ CD 且 FP EQ 3 又 平面ADF 平面CDE都与平面ABCD垂直 FP 平面ABCD EQ 平面ABCD FP QE 且 FP EQ 四边形 EQPF 是平行四边形 EF PQ 6 分 PQ 是 ACD 的中位线 PQ AC EF AC 6 分 方法二方法二 以 A 点作为坐标原点 以 AB 所在直线为 x 轴 以 AD 所在直线为 y 轴 过点 A 垂直于 xOy平面的直线为 z 轴 建立空间直角坐标系 如图所示 根据题意可得 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 E 1 2 3 F 0 1 3 G 1 0 3 分 AC 2 2 0 FE 1 1 0 则AC FE2 AC FE 即有AC FE 6 分 3 38 3 32 32 ADEGFCDEABGABCDEFG VVV 四棱锥三棱柱多面体 12 分 18 安徽省 江南十校 2012 年 3 月高三联考文科 本小题满分 12 分 如图 1 所示 在边长为 12 的正方形中 点 B C 在线段 AD 上 且 AB 3 BC 4 作分别交于点 B P 作分别交于点 将该正方形沿折叠 使得与重合 构成如图 2 所示的三棱柱 I 求证 平面 II 求多面体的体积 7 18 证明 由题知 3AB 4BC 5CA ABBC 2 分 又 1 ABBB AB 平面 11 BCC B 5 分 解析 由题知 三棱柱 111 ABCABC 的体积 1 3 4 1272 2 6 分 ABP 和ACQ 都是等腰直角三角形 3ABBP 7ACCQ 7 分 1 3 A CQPB VS 四边形 11 37 4 320 32 CQPB AB 10 分 多面体 111 ABCAPQ 的体积 1 1 1 ABC A B C V A CQPB V 722052 12 分 17 安徽省合肥一中安徽省合肥一中 20122012 届高三下学期第二次质量检测文科届高三下学期第二次质量检测文科 12 分 将边长为 2 的正 方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠 使得平面 ABD 平面 CBD AE 平面 ABD 且 AE 2 1 求证 DE AC 2 直线 BE 上是否存在一点 M 使得 CM 平面 ADE 若存在 求点 M 的位置 不存在请 说明理由 8 解析 第一问 6 分 第二问 6 分 详解略 17 安徽省合肥一中安徽省合肥一中 20122012 届高三下学期第二次质量检测理科届高三下学期第二次质量检测理科 12 分 将边长为 2 的正 方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠 使得平面 ABD 平面 CBD AE 平面 ABD 且 AE 2 求证 DE AC 求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦 值 直线 BE 上是否存在一点 M 使得 CM 平面 ADE 若存在 求点 M 的位置 不存在请 说明理由 解法一 坐标法 以 A 为坐标原点 AB AD AE 所在的直线分别为 x y z 轴建立空间 直角坐标系 则 0 0 2 E 2 0 0 B 0 2 0 D 0 22 DE 1 12 AC 0 22 1 1 2 0DE AC 故 DE AC 4 分 设平面 BCE 的法向量为 nx yz 则 0 0 n EB n CB 即 220 20 xz xyz 2zx yx 令 x 1 得 1 12 n 又 0 22 DE 设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 则 9 sincos n DE n DE n DE 6 3 8 分 因为 CM 面 ADE 则CMAB 即0CM AB 得21 0 1 2 故 点 M 为 BE 的中点时 CM 面 ADE 12 分 解法二 综合法 略 18 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次月高三第二次 模拟文科 模拟文科 本小题满分 12 分 如图 几何体 ABC 一 EFD 是由直三棱柱截 得的 EF AB ABC 90 AC 2AB 2 CD 2AE 6 I 求三棱锥 D BES 的体积 B 求证 CE DB 18 本小题满分 12 分 解 2 分33 222 BCABACBC 可证 EF 平面 BCD 5 分 2 2 163 2 1 3 1 3 1 EFSVV BCDBCDEBCED 证明 连接 CF 依题意 ABBF ABBC BFBCB I 10 8 分BDEF ABEF BDAB BFDBD BFDAB 平面 平面 又在中 和CDBRtBCFRt 10 分CDBRtBCFRt CD BC BC BF CD BC BC BF 2 2 6 3 2 2 3 2 6 BDCFDCFBCFDCFBDCBCFBDC 90 12 分CEFBD平面 CEFCE平面又 CEBD 所以 19 安徽省安庆市 安徽省安庆市 20122012 年年 3 3 月高三第二次模拟理科 月高三第二次模拟理科 本题满分 12 分 如图所示 多面体 FE ABCD 中 ABCD 和 ACFE 都是直角梯形 DC AB AE CF 平面 ACFE 平面 ABCD AD DC CF 2AE ACF ADC 1 2 AB 2 I 求证 BC 平面 ACFE II 求二面角 B FE D 的平面角的余弦值 解 在直角梯形 ABCD 中 又 2 ADC AD DC AB 可证 BC AC 1 2 2 分 又 平面 ACFE 平面 ABCD 且平面 ACFE 平面 ABCD AC BC 平面 ACFE 4 分 第 18 题图 11 18 安徽省马鞍山市安徽省马鞍山市 20122012 年年 4 4 月高三第二次质量检测文科 月高三第二次质量检测文科 本小题满分 12 分 如图 平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 1AB 2AD 60ADC 3 2 AF 求证 ACBF 求多面体ABCDEF的体积 证明 1AB 2AD 60ADC 由余弦定理 222 2cos60ACCDADCD AD 1 142 1 23 2 于是 222 ADCDAC 90ACD ABCD ACAB 2 分 又 四边形ACEF是矩形 所以FAAC 12 于是 ACAF ACAB AFABA 6 ACAFB ACBF BFAFB 平面 分 又平面 令多面体ABCDEF的体积为V 2 DACEFBACEFDACEF VVVV 8 分 又 平面ABCD 平面ACEF DCAC 根据两平面垂直的性质定理 DCAFEC 平面 所以DC为四棱锥DAFEC 的高 10 分 33 3 3 22 AFEC S 矩形 所以 13 33 1 322 DAFEC V 23 DAFEC VV 即多面体ABCDEF的体积为3 12 分 命题意图 本题考查空间几何体的线 面位置关系用相关量的运算 中等题 18 安徽省马鞍山市安徽省马鞍山市 20122012 年年 4 4 月高三第二次质量检测理科 月高三第二次质量检测理科 本小 题满分 13 分 如图 在正三棱柱ABCDEF 中 2 1ABAD P是CF的延长线上一点 过 A B P 三点的平面交FD于M 交 EF于N 求证 MN 平面CDE 当平面PAB 平面CDE时 求三棱台MNFABC 的体积 证明 因为AB DE AB在平面FDE外 所以AB 平面FDE 2 分 MN是平面PAB与平面FDE的交线 所以AB MN 故MN DE 4 分 而MN在平面CDE外 所以MN 平 面CDE 6 分 解 解法一 取AB中点G DE中点H则 由GH PC知 P C G H在同一平面上 并且 由PAPB 知PGAB 而与 同理可证 AB平行于平面PAB与平面CDE的交线 因此 13 PG也垂直于该交线 但平面PAB 平面CDE 所以PG 平面CDE PGCH 于是 CGH PCG PCCG CGGH 8 分 设PFt 则 13 2 13 t t 10 分 从而 4