第八章第八节抛物线

1 第八章第八章 第八节第八节 抛物线抛物线 题组一抛物线的定义及应用 1 已知抛物线的顶点在原点 焦点在 y 轴上 抛物线上的点 P m 2 到焦点的距离为 4 则 m 的值为 A 4 B 2 C 4 或 4 D 12 或 2 解析 设标准方程为 x2 2px p 0 由定义知 p 到准线距离为 4 故 2 4 p 4 p 2 方程为 x2 8y 代入 P 点坐标得 m 4 答案 C 2 2010 洛阳模拟 过点 M 1 0 作直线与抛物线 y2 4x 交于 A B 两点 则 1 AM 1 BM 解析 设直线方程为 y k x 1 代入 y2 4x 得 k2x2 2k2 4 x k2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 1 2k2 4 k2 1 1 AM 1 BM 1 x1 1 1 x2 1 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 1 答案 1 题组二抛物线的标准方程及几何性质 3 抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 到 x 轴的距离是 A B 17 16 7 8 C 1 D 15 16 解析 抛物线化标准方程为 x2 y 1 4 准线方程为 y M 到准线的距离为 1 1 16 2 所以到 x 轴的距离等于 1 1 16 15 16 答案 D 4 2009 山东高考 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax a 0 的焦点 F 且和 y 轴交 于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 不论 a 值正负 抛物线的焦点坐标都是 0 a 4 故直线 l 的方程为 y 2 x a 4 令 x 0 得 y a 2 故 OAF 的面积为 4 故 a 8 1 2 a 4 a 2 a2 16 答案 B 5 2009 宁夏 海南高考 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 C 交于 A B 两点 若 P 2 2 为 AB 的中点 则抛物线 C 的方程为 解析 设抛物线方程为 y2 ax A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 ax1 2 1 y y ax2 2 2 得 a x1 x2 2 1 y 2 2 y y1 y2 a y1 y2 x1 x2 a 4 1 4 y2 4x 答案 y2 4x 题组三直线与抛物线的位置关系 6 已知过抛物线 y2 6x 焦点的弦长为 12 则此弦所在直线的倾斜角是 A 或 B 或 6 5 6 4 3 4 C 或 D 3 2 3 2 3 解析 抛物线焦点是 0 3 2 设直线方程为 y k x 3 2 代入抛物线方程 得 k2x2 3k2 6 x k2 0 9 4 设弦两端点 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 3k2 6 k2 AB x1 x2 p 3 12 解得 k 1 3k2 6 k2 直线的倾斜角为 或 4 3 4 答案 B 7 已知 M a 2 是抛物线 y2 2x 上的一定点 直线 MP MQ 的倾斜角之和为 且分 别与抛物线交于 P Q 两点 则直线 PQ 的斜率为 A B 1 4 1 2 C D 1 4 1 2 解析 由题意得 M 2 2 设 P y1 Q y2 2 1 2 y 2 2 2 y 由 kMP kMQ 得 1 2 1 2 2 y y 2 2 2 2 2 y y 推得 y1 y2 4 故 kPQ 21 22 21 22 yy yy 2 y1 y2 1 2 答案 B 8 已知抛物线 C 的方程为 x2 y 过点 A 0 1 和点 B t 3 的直线与抛物线 C 没有 1 2 公共点 则实数 t 的取值范围是 A 1 1 4 B 2 2 2 2 C 2 2 22 D 22 解析 过点 A 0 1 和点 B t 3 的直线方程为 即 4x ty t 0 y 1 3 1 x 0 t 0 由Error Error 得 2tx2 4x t 0 16 4 2t2 0 t 22 答案 D 题组四抛物线的综合问题 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y2 2px 上横坐标为 4 的点到该抛物线的焦 点的距离为 5 1 求抛物线的标准方程 2 设点 C 是抛物线上的动点 若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4 求证 圆 C 过定点 解 1 依题意 得 4 5 p 2 p 2 抛物线标准方程为 y2 4x 2 证明 设圆心 C 的坐标为 半径为 r 2 0 0 4 y y 圆心 C 在 y 轴上截得的弦长为 4 r2 4 2 2 0 4 y 故圆心 C 的方程为 2 y y0 2 4 2 2 0 4 y x 2 0 4 y 从而变为 2yy0 x2 y2 4 0 1 x 2 2 0 y 对于任意的 y0 R 方程 均成立 故有Error Error 解得Error Error 所以 圆 C 过定点 2 0 10 2010 淄博模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 与抛物线 y2 4x 相交于不同的 A B 两点 5 1 如果直线 l 过抛物线的焦点 求 的值 OA OB 2 如果 4 证明直线 l 必过一定点 并求出该定点 OA OB 解 1 由题意 抛物线焦点为 1 0 设 l x ty 1 代入抛物线 y2 4x 消去 x 得 y2 4ty 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4t y1y2 4 x1x2 y1y2 ty1 1 ty2 1 y1y2OA OB t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3 2 设 l x ty b 代入抛物线 y2 4x 消去 x 得 y2 4ty 4b 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4t y1y2 4b x1x2 y1y2 ty1 b ty2 b y1y2OA OB t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 令 b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线 l 过定点 2 0 11 2009 江苏高考 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 拋物线 C 的顶点在原点 经过点 A 2 2 其焦点 F 在 x 轴上 1 求拋物线 C 的标准方程 2 求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程 3 设过点 M m 0 m 0 的直线交拋物线 C 于 D E 两点 ME 2DM 设 D 和 E 两点间的距离为 f m 求 f m 关于 m 的表达式 解 1 由题意 可设拋物线 C 的标准方程为 y2 2px 因为点 A 2 2 在拋物线 C 上 所以 p 1 因此 拋物线 C 的标准方程为 y2 2x 2 由 1 可得焦点 F 的坐标是 0 1 2 又直线 OA 的斜率为 1 2 2 故与直线 OA 垂直的直线的斜率为 1 6 因此 所求直线的方程是 x y 0 1 2 3 法一 设点 D 和 E 的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 直线 DE 的方程是 y k x m k 0 将 x m 代入 y2 2x 有 ky2 2y 2km 0 y k 解得 y1 2 1 1 2mk2 k 由 ME 2DM 知 1 2 1 1 2mk21 2mk2 化简得 k2 4 m 因此 DE2 x1 x2 2 y1 y2 2 1 y1 y2 2 1 k2 1 m2 4m 1 k2 4