与圆的切线有关的计算与证明

与圆的切线有关的计算与证明 1 类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 经典母题 如图 Z12 1 O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P C 为切点 若 P 30 O 的半径为 1 则 PB 的长为 1 图 Z12 1 经典母题答图 解析 如答图 连结 OC PC 为 O 的切线 PCO 90 在 Rt OCP 中 OC 1 P 30 OP 2OC 2 PB OP OB 2 1 1 思想方法 1 已知圆的切线 可得切线垂直于过切点的半径 2 已知 圆的切线 常作过切点的半径 得到切线与半径垂直 中考变形 2017 天津 已知 AB 是 O 的直径 AT 是 O 的切线 ABT 50 BT 交 O 于点 C E 是 AB 上一点 延长 CE 交 O 于点 D 1 如图 Z12 2 求 T 和 CDB 的大小 2 如图 当 BE BC 时 求 CDO 的大小 图 Z12 2 解 1 如答图 连结 AC AT 是 O 的切线 AB 是 O 的直径 AT AB 即 TAB 90 ABT 50 T 90 ABT 40 由 AB 是 O 的直径 得 ACB 90 CAB 90 ABC 40 CDB CAB 40 中考变形答图 中考变形答图 2 如答图 连结 AD 在 BCE 中 BE BC EBC 50 BCE BEC 65 BAD BCD 65 OA OD ODA OAD 65 ADC ABC 50 CDO ODA ADC 65 50 15 中考预测 2017 宿迁 如图 Z12 3 AB 与 O 相切于点 B BC 为 O 的弦 OC OA OA 与 BC 相交于点 P 1 求证 AP AB 2 若 OB 4 AB 3 求线段 BP 的长 图 Z12 3 中考预测答图 解 1 证明 OC OB OCB OBC AB 是 O 的切线 OB AB OBA 90 ABP OBC 90 OC AO AOC 90 OCB CPO 90 APB CPO APB ABP AP AB 2 如答图 作 OH BC 于 H 在 Rt OAB 中 OB 4 AB 3 OA 5 AP AB 3 32 42 PO 2 在 Rt POC 中 PC 2 OC2 OP25 PC OH OC OP 1 2 1 2 OH OP OC PC 4 5 5 CH OC2 OH2 8 5 5 OH BC CH BH BC 2CH 16 5 5 BP BC PC 2 16 5 55 6 5 5 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 经典母题 已知 如图 Z12 4 A 是 O 外一点 AO 的延长线交 O 于点 C 点 B 在 圆上 且 AB BC A 30 求证 直线 AB 是 O 的切线 图 Z12 4 经典母题答图 证明 如答图 连结 OB OB OC AB BC A 30 OBC C A 30 AOB C OBC 60 ABO 180 AOB A 180 60 30 90 AB OB 又 OB 为 O 半径 AB 是 O 的切线 思想方法 证明圆的切线常用两种方法 作半径 证垂直 或者 作垂 直 证半径 中考变形 1 2016 黄石 如图 Z12 5 O 的直径为 AB 点 C 在圆周上 异于 A B AD CD 1 若 BC 3 AB 5 求 AC 的值 2 若 AC 是 DAB 的平分线 求证 直线 CD 是 O 的切线 图 Z12 5 中考变形 1 答图 解 1 AB 是 O 直径 C 在 O 上 ACB 90 又 BC 3 AB 5 由勾股定理 得 AC 4 2 证明 如答图 连结 OC AC 是 DAB 的平分线 DAC BAC 又 AD DC ADC ACB 90 ADC ACB DCA CBA 又 OA OC OAC OCA OAC OBC 90 OCA ACD OCD 90 直线 CD 是 O 的切线 2 2017 南充 如图 Z12 6 在 Rt ACB 中 ACB 90 以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D E 为 BC 的中点 连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 CF 2 DF 4 求 O 直径的长 图 Z12 6 中考变形 2 答图 解析 1 连结 OD 欲证 DE 是 O 的切线 需证 OD DE 即需证 ODE 90 而 ACB 90 连结 CD 根据 等边对等角 可知 ODE OCE 90 从而得证 2 在 Rt ODF 中 利用勾股定理建立关于半径的方程求解 解 1 证明 如答图 连结 OD CD AC 是 O 的直径 ADC 90 BDC 90 又 E 为 BC 的中点 DE BC CE EDC ECD 1 2 OD OC ODC OCD EDC ODC ECD OCD ACB 90 ODE 90 DE 是 O 的切线 2 设 O 的半径为 x 在 Rt ODF 中 OD2 DF2 OF2 即 x2 42 x 2 2 解得 x 3 O 的直径为 6 中考预测 如图 Z12 7 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 A 2 BCD 点 E 在 AB 的延长线上 AED ABC 1 求证 DE 与 O 相切 2 若 BF 2 DF 求 O 的半径 10 图 Z12 7 中考预测答图 解 1 证明 如答图 连结 OD AB 是 O 的直径 ACB 90 A ABC 90 BOD 2 BCD A 2 BCD BOD A AED ABC BOD AED 90 ODE 90 即 OD DE DE 与 O 相切 B O A E F C D 2 如答图 连结 BD 过点 D 作 DH BF 于点 H DE 与 O 相切 ACD BCD ODB BDE 90 ACD OBD OBD ODB BDE BCD AED ABC AFC DBF AFC DFB ACF 与 FDB 都是等腰三角形 FH BH BF 1 HD 3 1 2DF2 FH2 在 Rt ODH 中 OH2 DH2 OD2 即 OD 1 2 32 OD2 OD 5 即 O 的半径是 5 与圆的切线有关的计算与证明 2 1 如图8 CD是 0的切线 切点为A AB是 0的直径 E F 0上的点 1 求证 DAE FDE A B 2 若EF CD 求证 AEF是等腰三角形 2 如图 7 0 的半径为 1 过点 A 2 0 的直线切 0 于点 B 交 y 轴于点 C 1 求线段 AB 的长 2 求以直线 AC 为图象的一次函数的解析式 3 在 ABC 中 AB AC 内切圆 O 与边 BC AC AB 分别切于 D E F 1 求证 BF CE 2 若 C 30 2 3CE 求 AC 4 如图 10 在 O 中 ACB BDC 60 AC cm32 1 求 BAC 的度数 2 求 O 的周长 5 已知 如图 AB 是 O 的直径 AD 是弦 OC 垂直 AD 于 F 交 O 于 E 连结 DE BE 且 C BED 1 求证 AC 是 O 的切线 2 若 OA 10 AD 16 求 AC 的长 C E D A F O B M P A O C B A O B M N C 6 如图 切于点直线交于点 弦MPO M POO ABACMP 1 求证 MOBC 2 补充 连结 CM 当四边形 BCMO 为菱形时 求 P 的度数 或反过来问 当时 判断四边形 BCMO 的形状 并说明理由 30P 7 如图 在中 以为直径的交于点 于ABC ABAC ABO BCMMNAC 点 N 1 求证是的切线 MNO 2 若 求图中阴影部分的面积 1202BACAB 8 如图 ABC 内接于半圆 AB 是直径 过 A 作直线 MN 若 MAC ABC 1 求证 MN 是半圆的切线 2 设 D 是弧 AC 的中点 连结 BD 交 AC 于 G 过 D 作 DE AB 于 E 交 AC 于 F 求证 FD FG M N A E D C G B F 9 如图 半圆的直径 点 C 在半圆上 10AB 6BC 1 求弦的长 AC 2 若 P 为 AB 的中点 交于点 E 求的长 PEAB ACPE 10 已知 如图 为的直径 交于点 交于点ABO ABACBC O DACO 45EBAC 1 求的度数 EBC 2 求证 BDCD 11 如图 在中 是角平分线 平分交于点 ABC ABAC AEBMABC AEM 经过两