高中数学教学论文 圆锥曲线“孪生”变式题探究

第 页 共 9 页1 圆锥曲线圆锥曲线 孪生孪生 变式题探究变式题探究 教学过程中 注重对题目的变式探究 如条件的探究 增加 减少或变更条件 结论的探究 结论 是否唯一 数形探究 引申探究 命题是否可以推广 类比探究等 可使学生形成知识网络化 方法 系统化 做到举一反三 培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力 探究创新的能力以 及灵活多变的思维能力 在圆锥曲线的教学中 可作如下 孪生 变式问题的探究 孪生孪生 问题之一 焦点三角形面积 问题之一 焦点三角形面积 1 1 若椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点 P 对两焦点 12 FF 的张角为 则 12 PF F 有面积为 P c y 2 2 b b t t a an n 2 2 12 PF F S 的最大值 bc 2 2 若双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 一点 P 对两焦点 12 FF 的张角为 则 12 PF F 有面积为 P c y 2 2 b b c co ot t 2 2 推导方法提示 联立方程组 22 12 222 1212 PFPF 2 1 PF PF2PFPFcos 4 2 a c A 两式相减整理即可 例 例 1 设 12 FF 为椭圆 2 2 1 4 x y 的两个焦点 P在椭圆上 当 12 F PF 的面积为 1 时 12 PFPF 的值是 2 设 12 FF 为双曲线 2 2 1 4 x y 的两个焦点 P在双曲线上 当 12 0PFPF 时 12 F PF 的面积为 孪生孪生 问题之二 焦半径夹角 问题之二 焦半径夹角 1 1 若椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点 P 设 1122 PFrPFr P对两焦点 12 FF 的张角为 则 2 1 2 2 1 b cos r r 2 1 2 2 1 b arccos r r 当且仅当 12 rr 时 22 2max bc arccos a 2 2 若双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 上一点 P 设 1122 PFrPFr P对两焦点 12 FF 的张角为 则 2 1 2 2 1 b cos r r 2 1 2 2 1 b arccos r r 孪生孪生 问题之三 焦半径公式 问题之三 焦半径公式 1 1 若椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点 00 P x y 设 1122 PFrPFr 则 10 raex 20 raex 2 2 若若双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 上一点 00 P x y 设 1122 PFrPFr 若P在右支上 则 10 rexa 20 rexa 若P在左支上 则 10 rexa 20 rexa 第 页 共 9 页2 3 若抛物线 2 20ypx p C C 上一点 00 P x y 则 0 2 p PFx 孪生孪生 问题之四 焦点弦长 问题之四 焦点弦长 1 1 若AB是椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 的焦点弦 1122 A x y B x y 弦中点 00 M x y 则左焦点弦长 120 222lae xx aex 右焦点弦长 120 222lae xx aex min l 通径 2 2b a 2 2 若AB是双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 的焦点弦 1122 A x y B x y 弦中点 00 M x y 则左焦 点弦长 120 222l ae xx aex 右焦点弦长 120 222l ae xx aex 通径 2 2b a 3 若AB是过抛物线 2 20ypx p 焦点的弦 1122 A x y B x y 则 12 ABxxp 或 2 2 p AB sin 为AB的倾斜角 2 12 4 p x x 2 12 y yp 孪生孪生 问题之五 中点弦 弦长公式 问题之五 中点弦 弦长公式 1 若AB是椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 的弦 1122 A x y B x y 弦中点 00 M x y 则 1 弦长 2 12122 1 110lk xx l yy k k 2 2 0 2 0 AB b x k a y 3 直线AB的方程 2 0 002 0 b x yy xx a y 4 直线AB中垂线的方程 2 0 002 0 a y yy xx b x 2 2 若AB是双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 的弦 1122 A x y B x y 弦中点 00 M x y 则 1 弦长 2 12122 1 110lk xx l yy k k 2 2 0 2 0 AB b x k a y 3 直线AB的方程 2 0 002 0 b x yy xx a y 4 直线AB中垂线的方程 2 0 002 0 a y yy xx b x 3 若AB是抛物线 2 20ypx p 的弦 112212 A x y B x y xx 弦中点 00 M x y 则 第 页 共 9 页3 1 弦长 2 12122 1 110lk xx l yy k k 2 0 AB p k y 3 直线AB的方程 00 0 p yy xx y 4 直线AB中垂线的方程 0 00 y yy xx p 孪生孪生 问题之六 问题之六 1 1 与两定点 2 00a a 1 1 A A A A连线的斜率之积为 01 的动点 P 的轨迹为椭圆 除去两定点 2 与两定点 2 00a a 1 1 A A A A连线的斜率之积为 0 的动点 P 的轨迹为双曲线 除去两定点 变式 与两定点 2 00a a 1 1 A A A A的距离之比为定值0 1 的动点的轨迹是圆 孪生孪生 问题之七 问题之七 1 1 设P为椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上不重合于短轴两端点 12 B B的一点 直线 12 PB PB与x轴分别相交于 点 M N 则 OMONA为定值 2 a 变式 变式 设P为椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上不重合于长轴两端点 12 A A的一点 直线 12 PA PA与y轴分别 相交于点 M N 则 OMONA为定值 2 b 2 2 设P为双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 上不重合于实轴两端点 12 A A的一点 直线 12 PA PA与y轴分别相 交于点 M N 则 OMONA为定值 2 b 孪生孪生 问题之八 问题之八 1 1 已知长轴为 1 12 2 A AA A的椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上有一动点P 不与 1 12 2 A A A A重合 直线 1 12 2 P PA A P PA A分别与椭圆 的右准线l交于点MM N N 椭圆的右焦点为F 则 MM F FN N 2 2 2 已知长轴为 1 12 2 A AA A的双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 上有一动点P 不与 1 12 2 A A A A重合 直线 1 12 2 P PA A P PA A分别与 双曲线的右准线l交于点MM N N 双曲线的右焦点为F 则 MM F FN N 2 2 孪生孪生 问题之九 问题之九 1 1 设P为椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点 2 F 1 1 F F 为椭圆的左右焦点 若 12 PF F 21 PF F 则椭圆 的离心率 s si i n n e e s si i n n s si i n n 2 设P为双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 上一点 2 F 1 1 F F 为双曲线的左右焦点 若 12 PF F 21 PF F 第 页 共 9 页4 则双曲线的离心率 s si i n n e e s si i n ns si i n n 孪生孪生 问题之十 问题之十 1 1 若椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点P与左右焦点 2 F 1 1 F F 构成的 12 PF F 的内心为I PI的延长线交直线 2 F F 1 1 于Q则 QI e IP 其中e椭圆的离心率 2 若双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 右支上一点P与左右焦点 2 F 1 1 F F 构成的 12 PF F 的旁心为I 位于 12 PF F 内 PI的延长线交直线 2 F F 1 1 于Q则 IQ e PI 其中e双曲线的离心率 推导提示 运用三角形内 外角平分线定理及等比定理 孪生孪生 问题之十一 问题之十一 1 1 设P为椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 上一点 2 FF 1 1 为椭圆的左右焦点 线段 2 A A 1 1 为椭圆的长轴 则以 2 PF 或 1 PF 为直径的圆与以 2 A A 1 1 为直径的圆内切 2 设P为双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 右支上一点 2 FF 1 1 为双曲线的左右焦点 线段 2 A A 1 1 为双曲线的 实轴 则以 2 PF 较短焦半径 为直径的圆与以 2 A A 1 1 为直径的圆外切 以 1 PF 较长焦半径 为直径的 圆与以 2 A A 1 1 为直径的圆内切 孪生孪生 问题之十二 问题之十二 1 1 设直线l过椭圆 2 2 x C a 2 2 2 2 y y 1 1 a a b b 0 0 b b 的一个焦点F 且与椭圆C相交于 P Q两点 若 PFm FQn 则 2 112a mnb 推导提示 联立过焦点的直线方程与椭圆方程 求出 12 xx 12 x x 并将 12 maex naex 一起 代入 12 22 1212 2 11 ae xx mnaae xxe x x 整理即得 验证斜率不存在的情况 2 设直线l过双曲线 2 2 x C a 2 2 2 2 y y 1 1 a a 0 0 b b 0 0 b b 的一个焦点F 且与双曲线C的右支相交于 P Q两点 若 PFm FQn 则 2 112a mnb 3 设直线l过抛物线 2 20C ypx p 的焦点F 且与抛物线C相交于 P Q两点 若 第 页 共 9 页5 PFm FQn 则 112 mnp 例 1 已知椭圆的焦点为 2 3 03 0F 1 1 F F 点 1 1 F F到相应准线的距离为 3 3 过 2 F且倾斜角锐角的直 线l与椭圆相交于A A B B两点 使得 22 3FF A B B 求椭圆和直线l的方程 2 已知双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 的实轴长为 4 过其右焦点F的直线l交双曲线C的右支于P Q两点 且 62QF P PF F 求双曲线C和直线l的方程 孪生孪生 问题之十三 圆锥曲线第二定义 问题之十三 圆锥曲线第二定义 当当0AaBbC 时 时 1 1 方程方程 22 22 01 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是椭圆 表示的曲线是椭圆 2 2 方程方程 22 22 1 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是双曲线 表示的曲线是双曲线 3 3 方程方程 22 22 1 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是抛物线 表示的曲线是抛物线 当当0AaBbC 时 时 1 1 方程方程 22 22 01 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是点表示的曲线是点 a b 2 2 方程方程 22 22 1 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是两条相交直线 表示的曲线是两条相交直线 3 3 方程方程 22 22 1 e xa yb AxByC e AB 表示的曲线是过点表示的曲线是过点 a b且垂直于直且垂直于直 线线0AxByC 的一条直线 即 的一条直线 即 0B xaA yb 孪生孪生 问题之十四 问题之十四 1 已知点 2 3 A 设 2 F是椭圆 2 16 x 2 2 y y 1 1 1 12 2 的右焦点 在椭圆上求一点M 使 2 2 MAMF 最小 2 已知点 9 2 A 设 2 F是双曲线 2 9 x 2 2 y y C C 1 1 1 16 6 的右焦点 在双曲线C上求一点M 使 3 5 MAMF 最小 3 已知点 2 3 A 设F是抛物线 2 yx 8 8的焦点 在抛物线上求一点M 使 MAMF 最小 孪生孪生 问题之十五 问题之十五 第 页 共 9 页6 1 已知点 2 3 A 设 2 F是椭圆 2 16 x 2 2 y y 1 1 1 12 2 的右焦点 M是椭圆上的点 求 2 MAMF 的范围 2 已知点 9 2 A 设 2 F是双曲线 2 16 x 2 2 y y 1 1 9 9 的右焦点 M是双曲线上的点 求 2 MAMF 的最小 值 孪生孪生 问题之十六 问题之十六 1 已知椭圆 2 4 x 2 2 y y C C 1 1 3 3 能否在椭圆上找一点P 使点P到左 右 准线l的距离 PQ是点P到左 右焦点 2 FF 1 1 的距离 12 PFPF 的等比中项 若能 求出点P的坐标 若不能 说明理由 2 已知双曲线 2 25 x 2 2 y y C C 1 1 1 14 44 4 能否在双曲线C的左 右 支上找一点P 使点P到左 右 准线l的距 离 PQ是P到左 右 焦点 1 F距离 1 PF 2 PF 与点P到右 左 焦点 2 F的距离 2 PF 1 PF 的等比中项 若能 求出点P的坐标 若不能 说明理由 孪生孪生 问题之十七 问题之十七 1 已知椭圆 2 2 x a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 上的一点P到左 右 焦点 2 FF 1 1 的距离 12 PFPF是点P到左 右 准 线l的距离 PQ与点P到右 左 焦点 2 F F1 1 的距离 21 PFPF的等比中项 求离心率的取值范 围 2 已知双曲线 2 2 x a 2 2 2 2 y y 1 1 b b 左 右 支上的一点P到左 右 焦点 1 F距离 1 PF 2 PF 是P到左 右 准线l的距离 PQ与点P到右 左 焦点 2 F的距离 2 PF 1 PF 的等比中项 求离心率的取值范 围 孪生孪生 问题之十八 问题之十八 1 1 同焦点的椭圆系 同焦点的椭圆系 22 2 22 0 0 xx bakk aakk A A 2 22 2 2 2 2 22 2 y yy y 1 1 a a 1 1 b b b bb b 2 2 同焦点的双曲线系 同焦点的双曲线系 22 2 22 00 00 xx bak k aakk A A 2 22 2 2 2 2 22 2 y yy y 1 1 a a 1 1 b b b bb b 3 3 同焦距的椭圆系 同焦距的椭圆系 222 2 222 0 0 xxx bakk aakkakk A A 2 22 22 2 2 2 2 22 22 2 y yy yy y 1 1 a a 1 1或或 1 1 b b b bb bb b 4 4 同焦距的双曲线系 同焦距的双曲线系 22 2 22 00 00 xx bak k aakk A A 2 22 2 2 2 2 22 2 y yy y 1 1 a a 1 1 b b b bb b 5 5 同离心率的椭圆系 同离心率的椭圆系 222 222 0 00 00 xxx bb b aaa A A 2 22 22 2 2 22 22 2 y yy yy y 1 1 a a a a或或 a a b bb bb b 6 6 同离心率的双曲线系 同离心率的双曲线系 222 222 00 000 xxx b b aaa A A 2 22 22 2 2 22 22 2 y yy yy y 1 1 a a 或或 a a b bb bb b 孪生孪生 问题之十九 问题之十九 1 1 已知直线 1 b lyx a 2 b lyx a 上分别有两点AB 满足AB m 常数 则AB的中点 M的轨迹方程是 2222 2 22 44b xa y m ab 第 页 共 9 页7 推导提示 设 1122 A B at btatbt 则 00 1212 22 xy tttt ab 代入两点间距离公式得 22222 1212 a ttb ttm 整理即得 2 2 已知直线 1 b lyx a 2 b lyx a 上分别有两点AB 满足 AOB S m A 常数 则AB的中点 M的轨迹方程是 22 22 xym ab ab AB 两点横坐标同号 22 22 yxm ab ba AB 两点纵坐标同号 推导提示 AB 两点纵坐标同号时 设 1122 A B at btatbt 则 00 1212 22 xy tttt ab 00 1 00 2 xy t ab xy t ab 表示出直线AB的方程 12 11 12 btbt ybtxat atat 令0 x 得 1 2 12 2 abt t y a tt 则 1 2 12 12 21 2 AOB S abt t a ttm a tt A AA即 1 21 2 m abt tmt t ab 代入整理即可 孪生孪生 问题之二十 问题之二十 1 1 过定点 P m n的直线与椭圆 2 2 00 x a b a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 恒有交点的充要条件是 2 2 mn a 2 2 2 2 1 1 b b 2 2 过定点 P m n的直线与双曲线 2 2 00 x a b a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 恒有交点的充要条件是 2 2 mn a 2 2 2 2 1 1 b b 3 3 过定点 P m n的直线与抛物线 2 20ypx p C C 恒有交点的充要条件是 2 2npm 孪生孪生 问题之二十一 问题之二十一 1 1 过椭圆 2 2 0 x ab a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 一焦点的弦长为l的直线 1 弦长 2 2b l a 的直线有且仅有一条 2 弦长l满足 2 2 2 b la a 的直线有两条 3 弦长2la 的直线有且仅有一条 2 2 过双线 2 2 00 x a b a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 一焦点的弦长为l的直线 1 弦长 2 2 2 b la a 或 2 2 2 b la a 的 直线有且仅有一条 2 弦长 2 2 2 b la a 或 2 2 2 b la a 的直线有两条 3 弦长 2 2 2 b la a 或 2 2 2 b la a 的直线有三条 4 弦长 2 2 2 b lla a 的直线有四条 3 3 过抛物线 2 20ypx p C C 焦点的弦长为l的直线 1 弦长2lp 的直线有且仅有一条 2 弦长 2lp 的直线有两条 孪生孪生 问题之二十二 问题之二十二 1 1 已知直线 l ykxm 椭圆 2 2 0 x ab a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 椭圆上存在两点AB 关于直线l对称 若 第 页 共 9 页8 m为常数 求k的取值范围 若k为常数 求m的取值范围 常见解题方法一 在k存在且不为零时 设直线AB的方程为 1 yxn k 联立方程组 2 2 1 yxn k x a 2 2 2 2 y y 1 1 b b 0 含 k n的不等式 表示出 1212 xx yy 根据对称性得 1212 22 yyxx km 用k的代数 式表示n 代入0 中解出k的取值范围 对于k不存在或为零时特殊讨论 同理求m的取值范围 常见解题方法二 在k存在且不为零时 运用点差法求出AB中点的轨迹方程 22 22 AB bkb yxx kaa 与 l ykxm 联立求中点坐标 00 x y 由不等式 2 0 2 x a 2 2 0 0 2 2 y y 1 1 b b 解出k的取值范围 对于k不存在或为零时特殊讨论 同理求m的取值范围 方法二略简单 2 2 已知直线 l ykxm 双曲线 2 2 00 x a b a 2 2 2 2 y y C C 1 1 b b 双曲线上存在两点AB 关于直线l对称 若m为常数 求k的取值范围 若k为常数 求m的取值范围 常见解题方法 在k存在且不为零时 设直线AB的方程为 1 yxn