第六章第七节 数学 归纳法（理）

1 第六章第六章 第七章第七章 数学数学 归纳法 理 归纳法 理 题组一证明等式问题 1 某个与正整数 n 有关的命题 如果当 n k k N k 1 时 该命题成立 则一定可 推得当 n k 1 时 该命题也成立 现已知 n 5 时 该命题不成立 则有 A 当 n 4 时 该命题成立 B 当 n 6 时 该命题成立 C 当 n 4 时 该命题不成立 D 当 n 6 时 该命题不成立 解析 因为当 n k k N k 1 时 该命题成立 则一定可推得当 n k 1 时 该 命题也成立 所以当 n 5 时 该命题不成立 则一定有 n 4 时 该命题不成立 答案 C 2 已知 f n 则 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n2 A f n 中共有 n 项 当 n 2 时 f 2 1 2 1 3 B f n 中共有 n 1 项 当 n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 C f n 中共有 n2 n 项 当 n 2 时 f 2 1 2 1 3 D f n 中共有 n2 n 1 项 当 n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 解析 项数为 n2 n 1 n2 n 1 答案 D 3 用数学归纳法证明 1 2 3 n2 则当 n k 1 时左端应在 n k 的基 n4 n2 2 础上加上 A k2 1 B k 1 2 C k 1 4 k 1 2 2 D k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 解析 当 n k 时 等式左端 1 2 k2 当 n k 1 时 等式左端 1 2 k2 增加了 2k 1 项 22 21 1 k kk 个个 1 1 2 答案 D 4 设 f n 1 n N 1 2 1 3 1 n 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N 证明 当 n 2 时 左边 f 1 1 右边 2 1 1 1 1 2 左边 右边 等式成立 假设 n k 时 结论成立 即 f 1 f 2 f k 1 k f k 1 那么 当 n k 1 时 f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k k 1 f k 1 k 1 k 1 k 1 f k 1 k 1 k 1 f k 1 1 当 n k 1 时结论仍然成立 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N 题组二证明不等式问题 5 设 f x 是定义在正整数集上的函数 且 f k 满足 当 f k k2成立时 总可推出 f k 1 k 1 2成立 那么下列命题总成立的是 A 若 f 3 9 成立 则当 k 1 均有 f k k2成立 B 若 f 5 25 成立 则当 k 5 均有 f k k2成立 C 若 f 7 49 成立 则当 k 8 均有 f k k2成立 D 若 f 4 25 成立 则当 k 4 均有 f k k2成立 解析 由题意设 f x 满足 当 f k k2成立时 总可推出 f k 1 k 1 2成立 因此 对于 A 不一定有 k 1 2 时成立 对于 B C 显然错误 对于 D f 4 25 42 因此对于任意的 k 4 有 f k k2成立 答案 D 6 对于不等式 n 1 n N 某同学的证明过程如下 n2 n 1 当 n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 3 2 假设当 n k k N 时 不等式成立 即 k 1 k2 k 则当 n k 1 时 k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 1 1 k 2 2 当 n k 1 时 不等式成立 则上述证法 A 过程全部正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从 n k 到 n k 1 的推理不正确 解析 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设 答案 D 7 2010 昆明模拟 已知数列 an 满足 a1 a an 1 2 an 2an 1 1 0 1 22 n 求证 1 1 an 0 2 a2n a2n 1对一切 n N 都成立 3 数列 a2n 1 为递增数列 证明 已知条件可化为 an 1 an an 2 1 0 即 an 1 an 1 an 2 1 当 n 1 时已成立 假设当 n k 时结论成立 即 1 ak 0 那么当 n k 1 时 ak 1 ak 2 2 1 ak 2 1 ak 2 2 又 y t 在 t 1 2 内为增函数 1 t ak 2 2 1 ak 2 5 2 ak 1 0 则 1 ak 1 0 1 2 当 n k 1 时结论成立 由 知 对一切 n N 均有 1 an 0 2 当 n 1 时 a2 a1 成立 1 6 1 2 4 假设当 n k k 1 且 k N 时结论成立 即 a2k a2k 1 1 a2k 1 2 a2k 2 2 a2k 1 2 a2k 2 1 a2k 1 2 1 a2k 2 a2k 1 a2k 即 a2k a2k 1 1 a2k 1 2 1 a2k 2 同上法可得 a2k 2 a2k 1 当 n k 1 时结论成立 由 知对一切 n N 均有 a2n a2n 1成立 3 an 1 an 则 an 2 an 1 1 an 2 1 an 1 2 两式相减得 an 2 an 1 an 2 1 an 1 2 an 1 an an 2 an 1 2 若把上式中的 n 换成 2n 1 则 a2n 1 a2n 1 0 a2n a2n 1 a2n 1 2 a2n 2 数列 a2n 1 为递增数列 题组三证明几何问题 8 如图 这是一个正六边形的序列 1 2 3 则第 n 个图形的边数为 解析 第 1 图共 6 条边 第 2 图共 11 条边 第 3 图共 16 条边 其边数构成等 差数列 则第 n 图的边数为 an 6 n 1 5 5n 1 答案 5n 1 9 如图 第 n 个图形是由正 n 2 边形 扩展 而来的 n 1 2 3 则第 n 2 个图 形中共有 个顶点 5 解析 观察规律 第一个图形的顶点个数为 32 3 1 2 2 1 2 第二个图形的 顶点个数为 2 2 2 2 2 42 4 第三个图形的顶点个数为 3 2 2 3 2 52 5 第 n 2 个图形的顶点个数为 n 2 2 2 n 2 2 n2 n 答案 n2 n 题组四数学归纳法的综合应用 10 满足 1 2 2 3 3 4 n n 1 3n2 3n 2 的自然数 n 等于 A 1 B 1 或 2 C 1 2 3 D 1 2 3 4 解析 当 n 1 时 左端 1 2 2 右端 3 12 3 1 2 2 命题成立 当 n 2 时 左端 1 2 2 3 8 右端 3 22 3 2 2 8 命题成立 当 n 3 时 左端 1 2 2 3 3 4 20 右端 3 32 3 3 2 20 命题成立 当 n 4 时 左端 1 2 2 3 3 4 4 5 40 右端 3 42 3 4 2 38 命题不成立 答案 C 11 设函数 f n 2n 9 3n 1 9 当 n N 时 f n 能被 m m N 整除 猜想 m 的最 大值为 A 9 B 18 C 27 D 36 解析 由 f n 1 f n 36 3n 1 n 6 知 m 的最大值为 36 答案 D 12 是否存在常数 a b c 使得等式 1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对 n n 1 12 于一切正整数 n 都成立 并证明你的结论 证明 假设存在符合题意的常数 a b c 在等式 1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 中 n n 1 12 令 n 1 得 4 a b c 1 6 令 n 2 得 22 4a 2b c 1 2 令 n 3 得 70 9a 3b c 6 由 解得 a 3 b 11 c 10 于是 对于 n 1 2 3 都有 1 22 2 32 n n 1 2 3n2 11n 10 成立 n n 1 12 下面用数学归纳法证明 对于一切正整数 n 式都成立 1 当 n 1 时 由上述知 成立 2 假设 n k k 1 时 成立 即 1 22 2 32 k k 1 2 3k2 11k 10 k k 1 12 那么当 n