第十一章（理）第2节排列与组合

1 第十一章第十一章 第二节第二节 排列与组合排列与组合 题组一排 列 问 题 1 将 A B C D E 排成一列 要求 A B C 在排列中顺序为 A B C 或 C B A 可以不相邻 这样的排列数有多少种 A 12 B 20 C 40 D 60 解析 五个字母排成一列 先从中选三个位置给 A B C 且 A B C 有两种排法 即 2 然后让 D E 排在剩余两个位置上 有种排法 由分步乘法计数原 3 5 C 2 2 A 理所求排列数为 2 40 3 5 C 2 2 A 答案 C 2 2010 桂林模拟 四张卡片上分别标有数字 2 0 0 9 其中 9 可当 6 用 则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 A 6 B 12 C 18 D 24 解析 特殊元素优先处理 先在后三位中选两个位置填两个数字 0 有种填法 2 3 C 再决定用 9 还是 6 有两种可能 最后排另两个卡片有种排法 所以共可排 2 2 A 成 2 12 个四位数 2 3 C 2 2 A 答案 B 3 从 1 3 5 7 中任取 2 个数字 从 2 4 6 8 中任取 2 个数字组成没有重复数字的四位数 其中能被 5 整除的四位数的个数有 A 120 个 B 300 个 C 240 个 D 108 个 解析 第一步 把 5 放到四位数的末位上 第二步 从 1 3 7 中任取 1 个 有种方法 1 3 C 第三步 从 2 4 6 8 中任取 2 个数字 有种方法 2 4 C 第四步 把选出的 3 个数字分别放在四位数的千位 百位与十位上 有种方法 3 3 A 故共有 108 种方法 1 3 C 2 4 C 3 3 A 答案 D 4 某电视台连续播放 6 个广告 其中有 3 个不同的商业广告 2 个不同的奥运宣传广 告 1 个公益广告 要求最后播放的不能是商业广告 且奥运宣传广告与公益广告不 能连续播放 2 个奥运宣传广告也不能连续播放 则不同的播放方法有 种 解析 分三步 第一步 安排 3 个商业广告 有种不同的方法 第二步 从奥运 3 3 A 2 宣传广告与公益广告中选择 1 个安排在最后一个播放 有种不同的方法 第三步 1 3 A 把剩下的两个广告安排到 3 个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的 3 个空位 中 有种不同方法 所以共有 108 种方法 2 3 A 3 3 A 1 3 A 2 3 A 答案 108 题组二组 合 问 题 5 2009 全国卷 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 A 6 种 B 12 种 C 30 种 D 36 种 解析 从反面考虑 6 6 6 30 2 4 C 2 4 C 2 4 C 答案 C 6 已知有穷数列 an n 1 2 3 6 满足 an 1 2 3 10 且当 i j i j 1 2 3 6 时 ai aj 若 a1 a2 a3 a4 a5 a6 则符合条件的数列 an 的 个数是 A B C D 3 10 C 3 7 C 3 10 C 3 10 C 3 10 C 3 7 C 6 10 C 3 6 C 解析 先从 10 个数中任意选出 3 个 最大的数为 a1 最小的为 a3 另一数为 a2 这 样的选法有种 同理 从剩余的 7 个数中任选 3 个 有种选法 由分步计数 3 10 C 3 7 C 原理知共有种选法 3 10 C 3 7 C 答案 A 7 2009 海南 宁夏高考 7 名志愿者中安排 6 人在周六 周日两天参加社区公益活 动 若每天安排 3 人 则不同的安排方案共有 种 用数字作答 解析 法一 先从 7 人中任取 6 人 共有种不同的取法 再把 6 人分成两部分 6 7 C 每部分 3 人 共有种分法 最后排在周六和周日两天 有种排法 33 63 2 2 C C A 2 2 A 140 种 6 7 C 33 63 2 2 C C A 2 2 A 法二 先从 7 人中选取 3 人排在周六 共有种排法 再从剩余 4 人中选取 3 人排 3 7 C 在周日 共有种排法 共有 140 种 3 4 C 3 7 C 3 4 C 答案 140 8 某班级要从 4 名男生 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求至少有 1 3 名女生 那么不同的选派方案种数为 解析 法一 4 人中至少有 1 名女生包括 1 女 3 男及 2 女 2 男两种情况 故不同的选 派方案种数为 2 4 1 6 14 1 2 C 3 4 C 2 2 C 2 4 C 法二 从 4 男 2 女中选 4 人共有种选法 4 名都是男生的选法有种 故至少有 4 6 C 4 4 C 1 名女生的选派方案种数为 15 1 14 4 6 C 4 4 C 答案 14 题组三排列与组合的综合应用 9 2010 西宁模拟 用三种不同的颜色填涂右图 3 3 方格中的 9 个区域 要求每行 每列的三个区域都不同色 则不同的填涂方法种数共有 A 48 B 24 C 12 D 6 解析 可将 9 个区域标号如图 用三种不同颜色为 9 个区域涂色 可分步解决 第一步 为第一行涂色 有 6 种方法 第二步 用与 1 号区 3 3 A 域不同色的两种颜色为 4 7 两个区域涂色 有 2 种 2 2 A 方法 剩余区域只有一种涂法 综上由分步乘法计数原理可 知共有 6 2 12 种涂法 答案 C 10 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 则其中数字 2 3 相邻的偶数有 个 用数字作答 解析 个位数字是 2 或 4 若个位是 2 则十位数字必须是 3 共有个 3 3 A 若个位是 4 则将 2 3 作为一个整体 与 1 5 进行排列 共有 2个 3 3 A 所以总共有 2 18 个 3 3 A 3 3 A 答案 18 11 已知 10 件不同产品中有 4 件是次品 现对它们进行一一测试 直至找出所有 4 件 次品为止 1 若恰在第 5 次测试 才测试到第一件次品 第十次才找到最后一件次品 则这样 的不同测试方法数是多少 123 456 789 4 2 若恰在第 5 次测试后 就找出了所有 4 件次品 则这样的不同测试方法数是多少 解 1 先排前 4 次测试 只能取正品 有种不同测试方法 再从 4 件次品中选 2 4 6 A 件排在第 5 和第 10 的位置上测试 有 种测法 再排余下 4 件的测试位 2 4 C 2 2 A 2 4 A 置 有 A 种测法 4 4 所以共有不同排法 103 680 种 4 5 C 4 6 A 2 4 A 4 4 A 2 第 5 次测试恰为最后一件次品 另 3 件在前 4 次中出现 从而前 4 次有一件正品 出现 所以共有不同测试方法 576 种 1 4 A 1 6 C 3 3 C 4 4 A 12 男运动员 6 名 女运动员 4 名 其中男女队长各 1 名 选派 5 人外出比赛 在下列 情形中各有多少种选派方法 1 男运动员 3 名 女运动员 2 名 2 至少有 1 名女运动员 3 队长中至少有 1 人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 解 1 第一步 选 3 名男运动员 有种选法 3 6 C 第二步 选 2 名女运动员 有种选法 2 4 C 共有 120 种选法 3 6 C 2 4 C 2 法一 直接法 至少 1 名女运动员 包括以下几种情况 1 女 4 男 2 女 3 男 3 女 2 男 4 女 1 男 由分类加法计数原理可得有 246 种选法 1 4 C 4 6 C 2 4 C 3 6 C 3 4 C 2 6 C 4 4 C 1 6 C 法二 间接法 至少 1 名女运动员 的反面为 全是男运动员 从 10 人中任选 5 人 有种选法 其中全是男运动员的选法有种 5 10 C 5 6 C 所以 至少有 1 名女运动员 的选法有 246 种 5 10 C 5 6 C 3 法一 直接法 只有男队长 的选法为种 4 8 C 只有女队长 的选法为种 4 8 C 男 女队长都入选 的选法为种 3 8 C 所以共有 2 196 种 4 8 C 3 8 C 法二 间接法 5 从 10 人中任选 5 人 有种选法 5 10 C 其中不选队长的方法有种 5 8 C 所以