湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第15至17课时《三角函数》专题教师用书

用心 爱心 专心1 湖北省公安县博雅高三数学二轮复习安县博雅高三数学二轮复习 第第 1515 至至 1717 课时课时 三角函数三角函数 专题教师用书专题教师用书 高考趋势高考趋势 本课时重点复习三角函数的图象和性质 该部分在高考中多以填空题形式考察 有时也会 在前两道解答题中出现 有界性 单调性 奇偶性 周期性等都是考察的重点 图象的性 质与变换应是复习的重点 另外 三角函数的导数可能也会涉及 一一 基础再现基础再现 考点 12 三角函数的有关概念 1 若角 的终边经过点 4 3 0 Paa a 则sin 3 5 考点 13 同角三角函数的基本关系式 2 已知 sin cos 1 attbtab 则 2 11 cos21tt 的值 解析 ab 0a b sincos0ttt cossinttt 2 11 cos21tt 2222 1 2cos12cos2 cos 1ttttt 22 2cos2sin12 11tt 11 考点 14 正弦 余弦的诱导公式 3 山东省博兴二中高三第三次月考 已知xxf2cos cos 则 f 15sin 的值等于 解析 f 15sin cos75 f 3 cos150cos30 2 考点 15 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 4 函数 2 0 cossin 在与xyxy 内的交点为 P 它们在点 P 处的两条切线与 x 轴所围 成的三角形的面积为 2 2 5 函数 tan 4 f xx 的单调递减区间为 3 44 kkkZ 点评 当 为负值时 要先化为正的 考点 16 函数 sin xAy的图象和性质 6 已知 sin 0 363 f xxff 且 f x在区间 6 3 有最小值 无最大值 则 用心 爱心 专心2 解析 本小题主要考查三角函数图像对称性及周期性 依题意 sin 0 363 f xxff 且 f x在区间 6 3 有最小值 无最大值 区间 6 3 为 f x的一个半周期的子区间 且知 f x的图像关于 63 24 x 对 称 3 2 432 kkZ 取0K 得 14 3 答案 14 3 7 若 sin 1 0 0 在区间 0 4 上是单调函数 且f 3 8 0 则 4 3 4 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm 秒针均匀地绕点O旋转 当时间0t 时 点A与钟面上标12的点B重合 将 A B两点的距离 d cm 表示成 t s的函数 则d 其中 0 60 t 解 t 秒后转过的弧度为 60 2 t 过 O 作 AB 作高 三角形 OAB 为等腰三角形 所以 d 2 5sin 60 2 2 1t 10sin 60 t 5 若直线 6 x 是函数sincosyaxbx 图像的一条对称轴 则直线0axbyc 的 倾斜角为 120 6 2007 盐城 已知函数 13 sincos 22 f xxx xa b 的值域是 1 1 2 设 ba 的最大值为 M 最小值为m 则Mm 2 第 16 课时 三角函数 二 高考趋势高考趋势 三角恒等变换主要考察运用各种公式特别是和差角及倍角公式进行恒等变形 也包括对 sincosaxbx 的问题处理 常以填空题形式出现 三角函数的解答题一般都要考察三角 恒等变换 多是融图象与性质 正弦和余弦定理 平面向量等于一体的综合性较强的问题 一一 基础再现基础再现 考点 17 两角和 差 的正弦 余弦和正切 1 在ABC 中 3sin4cos6 3cos4sin1ABAB 则C 等于 6 2 2 若 2tan 3 tan 2tan 则的值为 解析 321 tan 2 tan 1 3 27 用心 爱心 专心7 3 求值 2cos10sin20 cos20 3 解析 103020 4 已知A B C是 ABC的三个内角 向量 1 sin sin cos sin 222 ABC AB aba b 则tantanAB 1 3 5 变式 07 江苏 11 若 13 cos cos 55 则tantan A 1 2 6 已知 cos 6 sin 的值是则 6 7 sin 3 5 4 解析 334 cos sincossin3 6225 134 cossin 225 7314 sin sin sincos 66225 考点 18 二倍角的正弦 余弦和正切 7 求值 cos20 cos40 cos80 1 8 8 若 cos22 2 sin 4 则cossin 1 9 0 20 3sin70 2cos 10 2 解 2 222 3sin703cos203 2cos 101 2 2cos 102cos 102cos 10 10 已知关于x的方程 2 2 31 0 xxm 的两根为sin 和cos 0 2 则m的值为 解析 由题意 42 380 31 sincos 2 sincos 2 m m 2 sincos 12sincos 42 3 1 4 m 所以 3 2 m 用心 爱心 专心8 点评 本题考察sin cos 与sin cos 的关系 三三 范例剖析范例剖析 例 1 已知向量 22 sin cos bxxa 若 5 8 ba 且 I 试求出和的值 II 求的 值 解析 I 5 8 sin2cos2 5 8 xxba 即 II 又 变题 已知 tan A 与 tan A 是方程 x2 px q 0 的两根 若 3tan A 2tan A 求 4 4 用心 爱心 专心9 p 与 q 的值 解析 设 t tan A 则 tan 4 一 A t1 t1 由已知得 3t 2 t1 t1 解得 t 3 1 或 t 2 1 当 t 3 1 时 tan 4 一 A 2 1 此时 p tan A tan 4 一 A 6 5 q tan A tan 4 一 A 6 1 2 当 t 2 时 tan 4 A 3 此时 p 5 q 6 由以上讨论知 p 6 5 q 6 1 或 p 5 q 6 例 2 已知 113 cos cos 714 且0 2 求 2tan的值 求 解 由 1 cos 0 72 得 2 2 14 3 sin1 cos1 77 sin4 37 tan4 3 cos71 于是 22 2tan2 4 38 3 tan2 1tan47 14 3 由0 2 得0 2 又 13 cos 14 2 2 133 3 sin1 cos1 1414 由 得 coscoscoscossinsin 1134 33 31 7147142 所以 3 变题 已知 4 2 10 2 4 cos xx 求xsin的值 求 3 2sin x的值 解 因为 4 3 2 x 所以 2 44 x 于是 用心 爱心 专心10 10 27 4 cos1 4 sin 2 xx 5 4 2 2 10 2 2 2 10 27 4 sin 4 cos 4 cos 4 sin 44 sinsin xxxx 因为 4 3 2 x 故 5 3 5 4 1sin1cos 2 2 xx 25 7 1cos22cos 25 24 cossin22sin 2 xxxxx 所以 50 3724 3 sin2cos 3 cos2sin 3 2sin xxx 例 3 求值 3tan1 3tan2 3tan3 3tan28 3tan29 解析 法 1 sin60sin1 3tan1tan60tan1 cos60cos1 sin60 cos1cos60 sin1sin61 cos60 cos1cos60 cos1 同理 sin89 3tan29 cos60 cos29 sin61sin89 3tan1 3tan29 cos60 cos1cos60 cos29 A 2 2同理 22 3tan2 3tan28 2 3tan14 3tan16 2 3tan152 3tan1 3tan2 3tan3 3tan28 3tan29 29 2 法 2 当30 时 tantan 3tan 1 31 1tantan 即3 tantan tantan1 3tan 3tan 4 3tan1 3tan2 3tan3 3tan28 3tan29 29 2 变题 求值 1tan1 1tan2 1tan43 1tan44 提示 同理可证45 时 1tan 1tan 2 故原式 22 2 引申 设 1 21tan f x x 试求 1 2 3 44 ffff 的值 用心 爱心 专心11 解析 11 45 2 1tan 2 1tan 45 f xfx xx 2 22tantan 45 2 1tan 1tan 45 2 2tantan 45 xx xxxx 2 22tantan 45 222 2tantan 45 xx xx 2 2 原式 11 2 四四 巩固训练巩固训练 1 化简 cossin 36 cossincoscossinsinsincoscossin 363366 1313 cossincossincos 2222 解析 2 化简tan70 cos103sin10 tan702cos40 2 3 已知 都是锐角 且 510 sin sin 510 则 4 提示 应通过求cos 的值求解 4 已知 22 coscosa 那么sin sin a 5 已知 都是锐角 且 cossin tan sincos 则tan 1 提示 条件即 1tan tan 1tan 即tantan1tantan 故tan 1 6 已知 0 2 2 1 cos 3 7 sin 9 则sin 1 3 第 17 课时 三角函数 三 高考趋势高考趋势 三角形中的三角函数问题常与其他数学知识相联系 既考察解三角形的知识和方法 又考 察运用三角公式进行恒等变形的技巧及三角函数的应用意识 高考中常以填空题形式出现 以化简求值或判断三角形形状为主 有时也以解答题形式出现 因其与实际问题的联系密切 故这部分仍可能是高考命题的一个热点 一一 基础再现基础再现 考点 17 正弦定理 余弦定理及其应用 用心 爱心 专心12 1 已知abcbacbaABC 222 且三边长分别为 则C 120 2 在 ABC中 若sin sin sin5 7 8ABC 则B 南通市 南通市 20082008 届高三届高三 第一次调研考试 答案 第一次调研考试 答案 3 3 在ABC 中 若60 3Aa 则 sinsinsin abc ABC 2 4 在ABC 中 已知2 coscaB 则ABC 为 三角形 等腰 5 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 若2 3 6 30cbC 则此三角形有 几解 两解 6 ABC 的三内角 A B C 所对边长分别是cba 设向量 sin Cbam sinsin 3 ABcan 若nm 则角B的大小为 6 5 7 在平面直角坐标系xOy中 已知ABC 的顶点 4 0 A 和 4 0 C 顶点B在椭圆 22 1 259 xy 上 则 sinsin sin AC B 5 4 8 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且 222 3 tan ac B acb 则角B的大小 是 解析 由余弦定理 得 Baccabcos2 222 则 222 333 tan 2cos2cos acac B acbacBB 即 2 3 sin B 所以B的大小是 3 或 3 2 9 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且满足 cosB cosC b 2a c 1 求角B的度数 2 若b a c 5 求a和c的值 19 解 1 由题设 可得 则 sinBcosC 2cosBsinA cosBsinC cosB cosC sinB 2sinA sinC sinBcosC cosBsinC 2cosBsinA 0 sin B C 2cosB sinA 0 sinA 2cosB sinA 0 因为 sinA 0 所以 cosB 所以B 120o 1 2 2 b2 a2 c2 2accosB 19 a c 2 2ac 2accos120o ac 6 又a c 5 可解得或 a 2 c 3 a 3 c 2 三三 范例剖析范例剖析 用心 爱心 专心13 例 1 在 ABC 中 a b c 依次是角 A B C 所对的边 且 4sinB sin2 cos2B 1 4 B 2 3 1 求角 B 的度数 6 分 2 若 B 为锐角 a 4 sinC sinB 求边 c 的长 8 分 1 2 解析 1 由 4sinB sin2 24 B cos2B 1 3 得 2sin 1cos cos213 2 BBB 2 2sin 1sin 12sin13BBB 3 sin 2 B 0B 3 B 或 2 3 2 法 1 B 为锐角 3 B 13 sinsin 24 CB 由已知得 1 2 cbb 角C为锐角 13 cos 4 C 可得 23 131 sinsin 38 AC 由正弦定理 sinsin ac AC 得 2 132 3 c 法 2 由 1 sinsin 2 CB 得 2bc 由余弦定理知 22 2 168 cos60ccc 即 2 34160cc 22 13 3 c 0c 2 132 3 c 点评 本题考察三角恒等变换和正弦 余弦定理的应用 变题 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a b 5 c 7 且 2 7 2cos 2 sin4 2 C BA 1 求角 C 的大小 2 求 ABC 的面积 解析 1 A B C 180 由 2 7 2cos 2 cos4 2 7 2cos 2 sin4 22 C C C BA 得 2 7 1cos2 2 cos1 4 2 C C 整理 得01cos4cos4 2 CC 解 得 2 1 cos C 1800C C 60 2 解 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 即 7 a2 b2 ab abba3 7 2 由条件 a b 5 得 7 25 3ab ab 6 2 33 2 3 6 2 1 sin 2 1 CabS ABC 例 在 ABC中 已知AB AC 9 sinB cosAsinC 面积 S ABC 6 1 求 ABC的三边的长 用心 爱心 专心14 2 设P是 ABC 含边界 内一点 P到三边AC BC AB的距离分别为 x y 和 z 求 x y z 的取值范围 解析 设aBCbACcAB 1 3 4 tan 12sin 9cos A Abc Abc 5 4 sin A 5 3 cos A 15 bc 5 3 cos sin sin c b A C B 由 5 3 5 3 15 c b c b bc 用余弦定理得4 a 2 2 5 1 5 12 125432yxzyxzyxS ABC 设yxt 2 0 0 1243 y x yx 由线性规划得80 t 4 5 12 zyx 例 如图 甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航行 乙船按固 定方向匀速直线 航行 当甲船位于A1处时 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的B1处 此时两船相距 20 海 里 当甲船航行 20 分钟到达A1处时 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的B1处 此时两 船相距 102海里 问乙船每小时航行多少海里 07 山东理 分析 本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理 余弦定理 解三角形的能力以及分 析解决问题的能力 解析 如图 连结 12 AB 22 10 2A B 12 20 30 210 2 60 A A 122 A A B 是等边 三角形 112 1056045B AB 在 121 AB B 中 由 余弦定理得 222 1211121112 2cos45B BABABABAB 22 2 20 10 2 2 20 10 2200 2 1