实数-知识点+题型归纳

第第 6 6 章章 实数实数 知识讲解知识讲解 题型归纳题型归纳 知识讲解知识讲解 一一 实数的组成实数的组成 1 实数又可分为正实数 零 负实数 2 数轴 数轴的三要素 原点 正方向和单位长度 数轴上的点与实 数一一对应 二二 相反数 绝对值 倒数 相反数 绝对值 倒数 1 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 数 a 的相反数是 a 正 数的相反数是负数 负数的相反数是正数 零的相反数是零 性质 互 为相反数的两个数之和为 0 2 绝对值 表示点到原点的距离 数 a 的绝对值为 3 倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数 非 0 实数 a 的倒数为 0 没有 1 a 倒数 4 相反数是它本身的数只有 0 绝对值是它本身的数是非负数 0 和正 数 倒数是它本身的数是 1 三 平方根与立方根三 平方根与立方根 1 平方根 如果一个数的平方等于 a 这个数叫做 a 的平方根 数 a 的 平方根记作 a 0 特性 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 零的平方根还是零 负数没有平方根 正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根 零的算术平方根还是零 开平方 求一个数的平方根的运算 叫做开平方 2 立方根 如果一个数的立方等于 a 则称这个数为 a 立方根 数 a 的 立方根用 3 a表示 任何数都有立方根 一个正数有一个正的立方根 一个负数有一个负的 立方根 零的立方根是零 开立方 求一个数的立方根 三次方根 的运算 叫做开立方 四四 实数的运算实数的运算 有理数的加法法则 a 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 b 异号两数相加 绝对值相等时和为 0 绝对值不相等时 取绝对值较 大的数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 任何数与零相 加等于原数 2 有理数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数 3 乘法法则 a a a 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 零乘以任何数 都得零 b 几个不为 0 的有理数相乘 积的符号由负因数的个数决定 当负因 数的个数为奇数时 积为负 为偶数 积为正 c 几个数相乘 只要有一个因数为 0 积就为 0 4 有理数除法法则 a 两个有理数相除 除数不为 0 同号得正 异号得负 并把绝对值 相除 0 除以任何非 0 实数都得 0 b 除以一个数等于乘以这个数的倒数 5 有理数的乘方 在 an中 a 叫底数 n 叫指数 a 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂是正数 奇次幂是负数 0 的任何次幂都是 0 b a0 1 a 不等于 0 6 有理数的运算顺序 a 同级运算 先左后右 b 混合运算 先算括号内的 再乘方 开方 接着算乘除 最后是加 减 五五 实数大小比较的方法实数大小比较的方法 1 数轴法 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2 比差法 若 a b 0 则 a b 若 a b 0 则 a1 则 a b a b 1 则 a1 则 a b a bb C 一正一负时 正数 负数 4 平方法 a b 均为正数时 若 a2 b2 则有 a b 均为负数时相反 5 倒数法 两个实数 倒数大的反而小 不论正负 题型归纳题型归纳 经典例题经典例题 类型一 有关概念的识别类型一 有关概念的识别 1 下面几个数 0 23 1 3 其中 无理数的个数有 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 本题主要考察对无理数概念的理解和应用 其中 1 3 是无理数 故选 C 举一反三 举一反三 变式 1 下列说法中正确的是 A 的平方根是 3 B 1 的立方根是 1 C 1 D 是 5 的平方根的相反数 答案 本题主要考察平方根 算术平方根 立方根的概念 9 9 的平方根是 3 A 正确 1 的立方根是 1 1 是 5 的平方根 B C D 都不正确 变式 2 如图 以数轴的单位长线段为边做一个正方形 以数轴的 原点为圆心 正方形对角线长为半径画弧 交数轴正半轴于点 A 则点 A 表示的数是 A 1 B 1 4 C D 答案 本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系 正 方形的边长为 1 对角线为 由圆的定义知 AO A 表示数为 故选 C 变式 3 答案 3 1415 9 3 10 因此 3 9 0 3 10 0 类型二 计算类型题类型二 计算类型题 2 设 则下列结论正确的是 A B C D 解析 估算 因为 所以选 B 举一反三 举一反三 变式 1 1 1 25 的算术平方根是 平方根是 2 27 立方根是 3 答案 1 2 3 3 变式 2 求下列各式中的 1 2 3 答案 1 2 x 4 或 x 2 3 x 4 类型三 数形结合类型三 数形结合 3 点 A 在数轴上表示的数为 点 B 在数轴上表示的数为 则 A B 两点的距离为 解析 在数轴上找到 A B 两点 举一反三 举一反三 变式 1 如图 数轴上表示 1 的对应点分别为 A B 点 B 关 于点 A 的对称点为 C 则点 C 表示的数是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 选 C 变式 2 已知实数 在数轴上的位置如图所示 化简 答案 类型四 实数绝对值的应用类型四 实数绝对值的应用 4 化简下列各式 1 1 4 2 3 142 3 4 x x 3 x 3 5 x2 6x 10 分析 要正确去掉绝对值符号 就要弄清绝对值符号内的数是正数 负数还是零 然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值 解 1 1 414 1 4 1 4 1 4 2 3 14159 3 142 3 142 3 142 3 4 x 3 x 3 0 x x 3 x 3 x 2x 3 说明 这里对 2x 3 的结果采取了分类讨论的方法 我们对 这个绝对值的基本概念要有清楚的认识 并能灵活运用 5 x2 6x 10 x2 6x 9 1 x 3 2 1 x 3 2 0 x 3 2 1 0 x2 6x 10 x2 6x 10 举一反三 举一反三 变式 1 化简 答案 类型五 实数非负性的应用类型五 实数非负性的应用 5 已知 0 求实数 a b 的值 分析 已知等式左边分母不能为 0 只能有 0 则要求 a 7 0 分子 a2 49 0 由非负数的和的性质知 3a b 0 且 a2 49 0 由此得不等式组 从而求出 a b 的值 解 由题意得 由 2 得 a2 49 a 7 由 3 得 a 7 a 7 不合题意舍去 只取 a 7 把 a 7 代入 1 得 b 3a 21 a 7 b 21 为所求 举一反三 举一反三 变式 1 已知 x 6 2 y 2z 0 求 x y 3 z3的值 解 x 6 2 y 2z 0 且 x 6 2 0 0 y 2z 0 几个非负数的和等于零 则必有每个加数都为 0 解这个方程组得 x y 3 z3 6 2 3 1 3 64 1 65 变式 2 已知那么 a b c 的值为 答案 初中阶段的三个非负数 a 2 b 5 c 1 a b c 2 类型六 实数应用题类型六 实数应用题 6 有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm 宽为 8cm 的矩 形 要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形 问边长应为多少 cm 解 设新正方形边长为 xcm 根据题意得 x2 112 13 8 x2 225 x 15 边长为正 x 15 不合题意舍去 只取 x 15 cm 答 新的正方形边长应取 15cm 举一反三 举一反三 变式 1 拼一拼 画一画 请你用 4 个长为 a 宽为 b 的矩形拼成一 个大正方形 并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形 4 个长方形 拼图时不重叠 1 计算中间的小正方形的面积 聪明的你能发现什么 2 当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时 大正方 形的面积就比小正方形的面积多 24cm2 求中间小正方形的边长 解析 1 如图 中间小正方形的边长是 所以面积为 大正方形的面积 一个长方形的面积 所以 答 中间的小正方形的面积 发现的规律是 或 2 大正方形的边长 小正方形的边长 即 又 大正方形的面积比小正方形的面积多 24 cm2 所以有 化简得 将代入 得 cm 答 中间小正方形的边长 2 5 cm 类型七 易错题类型七 易错题 7 判断下列说法是否正确 1 的算术平方根是 3 2 的平方根是 15 3 当 x 0 或 2 时 4 是分数 解析 1 错在对算术平方根的理解有误 算术平方根是非负数 故 2 表示 225 的算术平方根 即 15 实际上 本题是 求 15 的平方根 故的平方根是 3 注意到 当 x 0 时 显然此式无 意义 发生错误的原因是忽视了 负数没有平方根 故 x 0 所 以当 x 2 时 x 0 4 错在对实数的概念理解不清 形如分数 但不是分数 它 是无理数 类型八 引申提高类型八 引申提高 8 1 已知的整数部分为 a