高三数学高考基础知识复习：向量

用心 爱心 专心 高考数学基础知识复习 向量高考数学基础知识复习 向量 知识清单知识清单 一 向量的有关概念 1 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小叫向量的模 也就是用来表示向量的有向 线段的长度 2 向量的表示方法 字母表示法 如 a b c 等 几何表示法 用一条有向线段表示向量 如AB CD 等 坐标表示法 在平面直角坐标系中 设向量OA 的起点 O 为在坐标原点 终点 A 坐标为 x y 则 x y称为OA 的坐标 记为OA x y 注 向量既有代数特征 又有几何特征 它是数形兼备的好工具 3 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量可以自由平移 平移前后的向量相等 两向量a 与 b 相等 记为ab 注 向量不能比较大小 因为方向没有大小 4 零向量 长度为零的向量叫零向量 零向量只有一个 其方向是任意的 5 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 单位向量有无数个 每一个方向都有一个单位向量 6 共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫共线向量 任一组共线向量都可以移到同一直线上 规 定 0 与任一向量共线 注 共线向量又称为平行向量 7 相反向量 长度相等且方向相反的向量 二 向量的运算 一 运算定义 向量的加减法 实数与向量的乘积 两个向量的数量积 这些运算的定义都是 自然的 它们都有明显的物理学的意义及几何意义 其中向量的加减法运算结果仍是向量 两个向量数量积运算结果是数量 研究这些运 算 发现它们有很好地运算性质 这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础 向量确实是 一个好工具 特别是向量可以用坐标表示 且可以用坐标来运算 向量运算问题可以完全坐标化 刻划每一种运算都可以有三种表现形式 图形 符号 坐标语言 主要内容列表如下 运 算图形语言符号语言坐标语言 OA OB OC OB OA AB 记OA x1 y1 OB x1 y2 则OA OB x1 x2 y1 y2 OBOA x2 x1 y2 y1 加法与 减法 OA AB OB 用心 爱心 专心 实数与 向量的 乘积 AB a R 记a x y 则 a x y 两个向 量的数 量积 cos a ba ba b 记 1122 ax ybxy 则a b x1x2 y1y2 二 运算律 加法 abba 交换律 abcabc 结合律 实数与向量的乘积 abab aaa aa 两个向量的数量积 a b b a a b a b a b a b c a c b c 注 根据向量运算律可知 两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则 正确 迁移实数的运算性质可以简化向量的运算 例如 a b 2 2 2 2aa bb 三 运算性质及重要结论 平面向量基本定理 如果 12 e e 是同一平面内两个不共线的向量 那么对于这个平面内任一向 量a 有且只有一对实数 12 使 1 122 aee 称 1 122 ee 为 12 e e 的线性组合 其中 12 e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 12 e e 的方向分解为两个向量的和 并且这种分解 是唯一的 这说明如果 1 122 aee 且 1 122 aee 那么 1122 当基底 12 e e 是两个互相垂直的单位向量时 就建立了平面直角坐标系 因此平面向量基本定 理实际上是平面向量坐标表示的基础 向量坐标与点坐标的关系 当向量起点在原点时 定义向量坐标为终点坐标 即若 A x y 则 OA x y 当向量起点不在原点时 向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐 标 即若 A x1 y1 B x2 y2 则 AB x2 x1 y2 y1 两个向量平行的充要条件 符号语言 0 bbaba 坐标语言为 设非零向量 1122 abx yxy 则a b x1 y1 x2 y2 用心 爱心 专心 即 12 12 xx yy 或 x1y2 x2y1 0 在这里 实数 是唯一存在的 当a 与b 同向时 0 当a 与 b 异向时 0 b a 的大小由a 及b 的大小确定 因此 当a b 确定时 的符号 与大小就确定了 这就是实数乘向量中 的几何意义 两个向量垂直的充要条件 符号语言 ba0 ba 坐标语言 设非零向量 1122 abx yxy 则 ba0 2121 yyxx 两个向量数量积的重要性质 2 2 aa 即 2 aa 求线段的长度 ba0 ba 垂直的判断 cos a b ab 求角度 以上结论可以 从向量角度 有效地分析有关垂直 长度 角度等问题 由此可以看到向量 知识的重要价值 注 两向量a b 的数量积运算结果是一个数cosab 其中 a b 这个数的大小与两 个向量的长度及其夹角的余弦有关 cos b 叫做向量b 在a 方向上的投影 如图 数量积的几何意义是数量积a b A等于a 的模与b 在a 方向上的投影的积 如果 111 P x y 222 P xy 则 12 PP 2121 xx yy 22 122121 PPxxyy 这就是平面内两点间的距离公式 课前预习 1 在ABCDA中 BCCDBA BCA DAB ABC ACD 2 平面内三点 0 3 3 3 1 ABC x 若 AB BC 则 x 的值为 A 5 B 1 C 1 D 5 3 设a b c 是任意的非零平面向量 且相互不共线 则 a b c c a b 0 a b a b 用心 爱心 专心 b c a c a b 不与c 垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4b 2中 真命题是 A B C D 4 OAB 中 OA a OB b OP p 若p ab t ab t R 则点 P 在 A AOB 平分线所在直线上 B 线段 AB 中垂线上 C AB 边所在直线上 D AB 边的中线上 5 正方形P RSQ对角线交点为 M 坐标原点 O 不在正方形内部 且 OP 0 3 OS 4 0 则 RM A 2 1 2 7 B 2 1 2 7 C 7 4 D 2 7 2 7 6 已知 3 2 4 axbab 则实数 x 7 已知 2 8 6 4 abab 则a b a 与b 的夹角的余弦值是 8 在 OAB中 2cos 2sin OA 5cos 5sin OB 若5OA OB 则 OAB S 9 已知ABCA的三个顶点分别为 3 3 6 0 5 3 ABC 求ACB 的大小 10 已知 ABC 中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 BC 边上的高为 AD 求点 D 和向量 AD坐标 11 在 OAB 的边 OA OB 上分别取点 M N 使 OM OA 1 3 ON OB 1 4 设线段 AN 与 BM 交于点 P 记 OA a OB b 用 a b 表示向量OP 典型例题典型例题 一 平面向量的实际背景与基本概念一 平面向量的实际背景与基本概念 EG1 如图 1 设 O 是正六边形的中心 分别写出图中与OA OB OC 相等的向量 变式变式 1 如图 1 设 O 是正六边形的中心 分别写出 图中与OD DC 共线的向量 解 变式变式 2 如图 2 设 O 是正六边形的中心 分别写出图中与DA B A C O F D E 图 1 B A C O F D E 图 2 用心 爱心 专心 的模相等的向量以及方向相同的向量 解 二 平面向量的线性运算二 平面向量的线性运算 EG2 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB a AD b 你能用 a b 表示向量 AC DB 吗 变式变式 1 如图 在五边形 ABCDE 中 AB a BC b CD c EA d 试用 a b c d 表示向量CE 和DE 变式变式 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 若 OA a OB b 则下列各表述是正确的为 A OAOBAB B OCODAB C CD a b D BC a b 变式变式 3 已知OA a OB b OC c OD d 且四边形 ABCD 为平行四边形 则 A a b c d 0 B a b c d 0 C a b c d 0 D a b c d 0 变式变式 4 在四边形 ABCD 中 若 1 2 ABCD 则此四边形是 A 平行四边形 B 菱形 C 梯形 D 矩形 变式变式 5 已知 a b 是非零向量 则 a b 是 a b 与 a b 垂直的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 变式变式 6 在四边形 ABCD 中 AB a 2b BC 4a b CD 5a 3b 其中 a b 不共线 则四边形 ABCD 为 A 平行四边形B 矩形C 梯形D 菱形 D C A B D E C A B D C O A B 用心 爱心 专心 变式变式 7 已知菱形 ABCD 点 P 在对角线 AC 上 不包括端点 A C 则AP等 A AB AD 0 1 B AB BC 0 2 2 C AB AD 0 1 D BCAB 0 2 2 变式变式 8 已知D E F分别是 ABC的边BC CA AB的中点 且BC a CA b AB c 则下列各式 EF 2 1 c 2 1 b BE a 2 1 b CF 2 1 a 2 1 b AD BE CF 0 其中正确的等式的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 EG3 如图 已知任意两个非零向量 a b 试作OA a b OB a 2b OC a 3b 你能判断 A B C 三点之间的位置关系吗 为什么 变式变式 1 已知OA a 2b OB 2a 4b OC 3a 6b 其中 a b 是两个任意非零向量 证明 A B C 三点共线 证明 ABOBOA a 2b ACOCOA 2a 4b 2ACAB 所以 A B C 三点共线 变式变式 2 已知点 A B C 在同一直线上 并且OA a b 2 OBm a 2b 1 OCn a 3b 其中 a b 是两个任意非零向量 试求 m n 之间的关系 EG4 已知四边形 ABCD 点 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 求证 EFHG 变式变式 1 已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E F 求证 2ABDCEF 三 平面向量的基本定理及坐标表示三 平面向量的基本定理及坐标表示 EG4 已知 a 4 2 b 6 y 且 a b 求 y b a D C E F A B 用心 爱心 专心 O A P Q B a b 变式变式 1 与向量 a 12 5 平行的单位向量为 A 125 1313 B 125 1313 C 12 5 13 13 或 125 1313 D 12 5 13 13 或 125 1313 变式变式 2 已知 a 1 2 b 1x 当 a 2b 与 2a b 共线时 x值为 A 1 B 2 C 1 3 D 1 2 变式变式 3 已知 A 0 3 B 2 0 C 1 3 与ACAB2 方向相反的单位向量是 A 0 1 B 0 1 C 1 1 D 1 1 变式变式 4 已知 a 1 0 b 2 1 试问 当 k 为何实数时 ka b 与 a 3b 平行 平行时 它们是同向还是反向 EG5 设点 P 是线段 12 PP上的一点 1 P 2 P的坐标分别为 11 yx 22 yx 1 当点 P 是线段 12 PP上的中点时 求点 P 的坐标 2 当点 P 是线段 12 PP的一个三等分点时 求 P 的坐标 变式变式 1 已知两点 3 2M 5 5N 1 2 MPMN 则 P 点坐标是 A 8 1 B 3 1 2 C 3 1 2 D 8 1 变式变式 2 如图 设点 P Q 是线段 AB 的三等分点 若OA a OB b 则OP OQ 用 a b 表示 四 平面向量的数量积四 平面向量的数量积 EG6 已知 a 6 b 4 且 a 与 b 的夹角为60 求 a 2b a3 b 变式变式 1 已知 3 4 223 ababab A那么a 与b 夹角为 A 60 B 90 C 120 D 150 变式变式 2 已知向量 a 和 b 的夹角为 60 a 3 b 4 则 2a b a 等于 A 15 B 12 C 6 D 3 变式变式 3 在 ABC中 已知 AB 4 AC 1 S ABC 3 则AB AC等于 A 2B 2C 2D 4 用心 爱心 专心 变式变式 4 设向量 21 72ee t 与向量 21 e te 的夹角为钝角 求实数 t 的取值范围 EG7 已知 a 3 b 4 且 a 与 b 不共线 k 为何实数时 向量 a kb 与 ak b 互相垂直 变式变式 1 已知 a b a 2 b 3 且向量 3a 2b 与 ka b 互相垂直 则 k 的值为 A 3 2 B 3 2 C 3 2 D 1 变式变式 2 已知 a 1 b 2且 a b a 则 a 与 b 夹角的大小为 EG8 已知 a 4 2 求与向量 a 垂直的单位向量的坐标 变式变式 1 若 i 1 0 j 0 1 则与 2i 3j 垂直的向量是 A 3i 2j B 2i 3j C 3i 2j D 2i 3j 变式变式 2 已知向量 1 1 a 3 2 b 若bak2 与a垂直 则实数k A 1B 1C 0D 2 变式变式 3 若非零向量ba 互相垂直 则下列各式中一定成立的是 A baba B baba C 0 babaD 0 2 ba 变式变式 4 已知向量 a 3 4 b 2 x c 2 y 且 a b a c 求 b c 的 值 EG9 已知 A 1 2 B 2 3 C 2 5 试判断ABC 的形状 并给出证明 变式变式 1 O是ABC 所在的平面内的一点 且满足 0OBOCOCOA 则 ABC 一定为 A 正三角形 B 等腰直角三角形 C 直角三角形 D 斜三角形 变式变式 2 已知 A B C 三点不共线 O 是 ABC 内的一点 若OA OB OC 0 则 O 是 ABC 的 A 重心 B 垂心 C 内心D 外心 变式变式 3 已知0 2 ABBCAB 则 ABC 一定是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形 变式变式 4 四边形ABCD中 3 2 1 6 CDyxBCAB 用心 爱心 专心 1 若DABC 试求x与y满足的关系式 2 满足 1 的同时又有BDAC 求yx 的值及四边形ABCD的面积 五 平面向量应用举例五 平面向量应用举例 EG10 题目意图 用平面向量的方法证明平面几何命题 平行四边形两条对角线的平方和等于 其两条邻边的平方和的两倍 变式 1 如图 矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O 点 P 是圆周上任意一点 求证 PA2 PB2 PC2 PD2 8r2 变式 2 已知 ABC 中 cABbCAaBC 若accbba 求证 ABC 为 正三角形 变式 3 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E O 是任意一点 求证 OEODOCOBOA4 变式 4 四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E F 求证 2 1 DCABEF 实战训练 1 08 全国一 3 在ABC 中 AB c AC b 若点D满足2BDDC 则AD A 21 33 bcB 52 33 cbC 21 33 bcD 12 33 bc 2 08 安徽卷 3 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 AB 1 3 AC 则BD A 2 4 B 3 5 C 3 5 D 2 4 3 08 湖北卷 1 设 2 1 a 4 3 b 2 3 c则 cba 2 C A 15 12 B 0 C 3 D 11 用心 爱心 专心 4 08 湖南卷 7 设D E F分别是 ABC的三边BC CA AB上的点 且2 DCBD 2 CEEA 2 AFFB 则ADBECF 与BC A 反向平行B 同向平行 C 互相垂直D 既不平行也不垂直 5 08 陕西卷 15 关于平面向量 abc 有下列三个命题 若AAa b a c 则 bc 若 1 2 6 k ab ab 则3k 非零向量a和b满足 abab 则a与 ab的夹角为60 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 6 08 广东卷 8 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点OE 是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 若AC a BD b 则AF A 11 42 abB 21 33 abC 11 24 abD 12 33 ab 7 08 浙江卷 9 已知a b 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量c满足 0 cbca 则c的最大值是 A 1 B 2 C 2 D 2 2 8 08 辽宁卷 5 已知O A B是平面上的三个点 直线AB上有一点C 满足 20ACCB 则OC A 2OAOB B 2OAOB C 21 33 OAOB D 12 33 OAOB 9 08 海南卷 8 平面向量a b 共线的充要条件是 A a b 方向相同B a b 两向量中至少有一个为零向量 C R ba D 存在不全为零的实数 1 2 12 0ab 10 08 上海卷 5 若向量a b 满足12ab 且a 与b 的夹角为 3 则ab 11 08 全国二 13 设向量 12 2 3 ab 若向量 ab与向量 47 c共线 则 用心 爱心 专心 12 08 北京卷 10 已知向量a与b的夹角为120 且4 ab 那么 2 Abab的值为 13 08 天津卷 14 已知平面向量 2 4 a 1 2 b 若 caa b b 则 c 14 08 江苏卷 5 a b 的夹角为120 1a 3b 则5ab 15 08 江西卷 13 直角坐标平面上三点 1 2 3 2 9 7 ABC 若EF 为线段 BC的三等分点 则AE AF 16 08 海南卷 13 已