高三数学高考复习：高考导数应用大盘点

用心 爱心 专心 高考导数应用大盘点高考导数应用大盘点 高考对导数部分的要求一般有三个层次 第一个层次是导数的概念 求导的公式和求 导的法则 第二个层次是导数的简单应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明 函数的增减性等 第三个层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容中 有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起 设计综合试题 高 考 资 源 网 本文精选高考中的相关试题 进行分类导析 供老师 同学们复习参考 1 考查导函数的图象及其性质 例 1 江西卷 已知函数 yxfx 的图象 如图 所示 其中 fx 是函数 f x的导函数 下面四个图象中 yf x 的图象大致是 分析与解 由图 1 得 1 1 0ff 从而导出1x 是函数 f x的极值点是解 本题的关键 由1x 是函数 f x的极值点 又在 10 切上 0fx 在 01 切上 0fx 因此在 11 切上 f x单调递减 故选 C 点评 要注意 若 00 P xy切是函数 yf x 的极值点 则有 0 0fx 但若 0 0fx 则 00 P xy切不一定是函数 yf x 的极值点 要判断一个点是否为极值点 还要检验点P两侧的单调性是否不同 2 与函数交汇 考查导数的概念和计算 用心 爱心 专心 例 2 全国卷 已知a 0 函数 2 2 exf xxax 1 当x为何值时 f x取得最小值 证明你的结论 2 设 f x在 11 切上是单调函数 求a的取值范围 分析与解 1 对函数 f x求导数 得 2 222 exfxxxaxa 令 0fx 得 2 2 1 20 xa xa 解得 2 1 11xaa 2 2 11xaa 其中 12 xx 当x变化时 f x fx 的值变化如下表 x 1 x 切 1 x 12 xx切 2 x 2 x 切 fx 0 0 f x A 极大值A极小值A f x在 1 xx 处取得极大值 在 2 xx 处取得极小值 0a 1 1x 2 0 x f x在 12 xx切上为减函数 在 2 x 切上为增函 数 而当0 x 时 2 e0 x f xx xa 当0 x 时 0f x 所以当 2 11xaa 时 f x取得最小值 2 当0a 时 f x在 11 切上为单调函数的充要条件是 2 x 即 2 111aa 解得 3 4 a 于是 f x在 11 切上为单调函数的充要条件是 3 4 a 即a的取值范围 是 3 4 切 3 与解析几何交汇 考查导数的几何意义 切线的斜 率 例 3 福建卷 如图 2 P是抛物线 2 1 2 C yx 上一点 直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直 l与抛物线C相 交于另一点Q 用心 爱心 专心 1 当点P的横坐标为 2 时 求直线l的方程 2 当点P在抛物线C上移动时 求线段PQ中点M的轨迹方程 并求点M到 x轴的最短距离 分析与解 用导数求出直线的斜率 再用求轨迹的基本方法展开 注意直线 曲线的 弦中点问题 设而不求法 及求最值时的 重要不等式 的灵活使用 1 把2x 代入 2 1 2 yx 得2y 点P坐标为 2 2 切 由 2 1 2 yx 得yx 过点P的切线的斜率2k 切 直线l的斜率 11 2 l k k 切 直线l的方程为 1 2 2 2 yx 即260 xy 2 设 00 P xy切 则 2 00 1 2 yx 过点P的切线斜率 0 kx 切 当 0 0 x 时不合题意 0 0 x 直线l的斜率 0 11 l k kx 切 直线l的方程为 2 00 0 11 2 yxxx x 设 11 Q xy切 M xy切 则由 2 00 1 2 yx 2 11 1 2 yx 01 2 xx x 22 0101010101 111 222 yyxxxxxxx xx 01 010 1 l yy xk xxx 0 1 x x 将上式代入 并整理 得 2 2 1 1 0 2 yxx x 就是所求的轨迹方程 由0 x 知 2 0 x 22 22 11 12121 22 yxx xx A 用心 爱心 专心 仅当 2 2 1 2 x x 即 4 1 2 x 时取等号 所以点M到x轴的最短距离是21 4 与函数 不等式交汇 考查导数的运算和性质 例 4 天津卷 已知函数 3 0 f xaxcxd a 是R上的奇函数 当1x 时 f x取得极值2 1 求 f x的单调区间和极大值 2 证明对任意 1 x 2 11 x 切 不等式 12 4f xf x 恒成立 分析与解 从函数的性质及导数与函数极值的关系着手 1 由题意 fxf x x R 得0d 由 2 3fxaxc f x在1x 处取得极值 必有 1 0 f 故30ac 由 1 2f 得2ac 联立 得1a 3c 因此 3 3f xxx 求出 fx 后 经判断知 f x在 1 切和 1 切上是增函数 在 11 切上是减函 数 其极大值为 1 2f 2 由 1 知 3 3f xxx 在 11 x 切上是减函数 且 f x在 11 切上的最 大值 1 2Mf 最小值 1 2mf 所以 对任意 1 x 2 11 x 切 恒有 12 2 2 4f xf xMm 5 与实际问题结合 考查导数的物理意义 瞬时速度 例 5 湖北卷 某日中午 12 时整 甲船自A处以16km h的速度向正东行驶 乙船 自A的正北18km处以24km h的速度向正南行驶 则当日 12 时 30 分时两船之间距离对 时间的变化率是 km h 分析与解 以A点为原点 正东 正北方向所在的直线分别 为x轴 y轴建立如图 3 所示的直角坐标系 t时刻甲位于 16 0 t切处 乙位于 01824 t 切处 则两地间距离 22 16 1824 stt 2 22 11 2 1648 1824 2 16 1824 stt tt 用心 爱心 专心 又 12 时 30 分时 0 5t 则 22 11 0 5 32 848 6 1 6 2 86 s 点评 此题不仅考查了方位角的概念 画图 识图的能力及列方程解应用题的思想 更重要的是考查了学生对导数的物理意义及导数定义的理解 特别是不同的方向设计 使 得变化率是一个负值 这要求考生能将物理知识与数学知识相结合 意在考查学科交叉能 力 要求考生能熟练运用复合函数的求导法则 友情提醒 若对 s t的关系式化简展开后求导数 则运算较繁 由于不能真正理 解距离对时间的导数是瞬时速度 而速度是一个向量 许多考生在求出对应的变化率是一 个负值后 给出答案时竟然特意将其中的负号舍去 以致痛失 4 分 实为可惜 6 与实际问题结合 考查导数的运算和性质 例 6 全国卷 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别 截去一个小正方形 然后把四边翻转 90 角 再 焊接而成 如图 问该容器的高为多少时 容 器的容积最大 最大容积是多少 分析与解 设容器的高为x 容器的体积为 V x 则 32 902 482 42764320 024 V xxx xxxxx 2 125524320V xxx 由 2 1255243200V xxx 解得 1 10 x 2 36x 舍去 当010 x 时 0V x 当1024x 时 0V x 所以 当10 x 时 V x有极大值 3 10 19600 cm V 又 0 0V 24 0V 所以当10 x 时 V有最大值 3 10 19600 cm V 方略扫描 1 应用复合函数的求导法则时 首先要分析所给函数是由哪些函数复合而成 或者说 所给函数能分解成哪些函数 直至能用求导法则为止 2 函数在某点 00 xy切处的切线的斜率 0 kfx 3 利用导数判断函数的单调性 设函数 yf x 在某个区间内可导 如果 0fx 则 f x在这个区间上为增函数 如果 0fx 则 f x在这个区间上为减函数 应当注意 在区间内 0fx 是 f x在此区间上为增函数的充分条件 而不是必要 用心 爱心 专心 条件 0fx 也只是 f x在区间上为减函数的充分条件 而不是必要条件 4 利用导数求函数极值的步骤 求 fx 求方程 0fx 的根 分析 fx 在方程根左 右两侧的值的符号 如左正右负 则 f x在这个根处取得极大值 如 左负右正 则 f x在这个根处取得极小值 如果同正同负 那么 f x在这个