高三数学立体几何中的证明（文）人教实验版（A）知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学立体几何中的证明 文 人教实验版 高三数学立体几何中的证明 文 人教实验版 A 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 立体几何中的证明 二 重点 难点 1 平面几何中的一些结论 1 中点 中位线 2 平行四边形 3 等腰三角形 中点 4 勾股定理 5 菱形 矩形 2 立体几何中的定义 判定定理 性质定理 3 立体几何中的精典的结论 见例 1 典型例题典型例题 例 1 以下结论中正确的作 不正确的画 1 ba lb la ba b a a l la a a l l 2 ba lb la ba b a a l la a a l l 3 ba lb la ba b a 用心 爱心 专心 a l la a a a la l a a l l 答案 答案 1 2 3 例 2 异面直线 AD DB BE EC CF 中点依次为ba aCBA bFED M N P Q R 求证 M N P Q R 五点共面 证明 证明 如图 MN PQ 确定平面PQMN aPQ aMN 同理 NP QR 确定平面 有三个公共点 N P Q N P Q 不共线确定唯一一个平面 重合 M N P Q R 共面 推广 连接异面直线所有线段中点共面ba 例 3 如图正方形 ABCD ABEF M AC N BF 且 AM FN 求证 MN 面 BCE 用心 爱心 专心 证明 证明 1 过 M 作 MP AB 交 BC 于 P 过 N 作 NQ AB 交 BE 于 Q 连 PQ MPQN NQMP BFACBNCM BF BN AB NQ ABQN AC CM AB MP ABMP MNPQ 面 BCE MN 2 过 M 作 MH BC 交 AB 于 H 过 N 作 交 AB 于BEHN H 重合HHHAAH BF NF AB HA AC AM AB AH BCEMN MHNMN BCEMHN BCENH BCEMH 面 面 面面 面 面 例 4 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面为菱形 求证 ADAABA 11 1 面 ACC1A1 面 ABCD 2 ACC1A1 面 BDD1B1 3 矩形 BDD1B1 证明 证明 1 过 B 作 BH AA1于 H 过 D 作于 1 AAHD H H H 重合 HDABAH AA1 面 BDH AA1 面 BDH 用心 爱心 专心 11 1 AACCBD ACBD AABD 面 菱形 11A ACCABCD面面 2 面 ACC1A1面 BDD1B1 面 ACC1A1 BD 3 BD DD1矩形 BDD1B1 例 5 PA 矩形 ABCD M N 为 PC AB 中点 1 求证 MN AB 2 若二面角 P CD AB 成 45 求证 面 MND 面 PDC 证明 证明 1 E 为 CD 中点 EN AB ME PD PDABPADAB ADAB PAAB 面 AB ME AB 面 MEN AB MN 2 为二面角 P CD AB 平面角PDA CDAD ABCDPA 面 用心 爱心 专心 CDMN PDMN MNAF PDAFPDF 中点为 PCDDMNPCDMN面面面 例 6 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 D1C1 C1B1的中点 AC BD P A1C1 EF Q 求证 1 D B F E 四点共面 2 若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点 则 P Q R 三点共线 3 DE BF CC1三线共点 证明 证明 1 EF 是 D1B1C1的中位线 EF B1D1 在正方体 AC1中 B1D1 BD EF BD EF BD 确定一个平面 即 D B F E 四点共面 2 正方体 AC1中 设 A1ACC1确定的平面为 又设平面 BDEF 为 又 Q EF Q 11C AQ Q 则 Q 是与的公共点 同理 P 点也是与的公共点 RCAPQ 1 R A1C R 且 R 是的公共点 R P Q R 三点共线 3 BDDBDBEF 2 1 1111 BDEF 2 1 四边形 BDEF 是梯形 从而两腰 DE BF 必相交于一点 M M DE DE面 CDD1C1 M 平面 CDD1C1 同理 M 面 BCC1B1 M 面 CDD1C1 面 BCC1B1 CC1 用心 爱心 专心 DE BF CC1共点于点 M 例 7 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N P 分别是 C1C B1C1 C1D1的 中点 求证 1 AP MN 2 平面 MNP 平面 A1BD 分析 分析 1 找出 AP 在面 BB1C1C 上的射影 利用三垂线定理证明 2 由于 M N P 都为中点 故添加 B1C B1D1作为联系的桥梁 证明 证明 1 连 BC1 B1C 则 B1C BC1 BC1是 AP 在面 BB1C1C 上的射影 AP B1C 又 B1C MN AP MN 2 证法一 证法一 连结 B1D1 P N 分别是 D1C1 B1C1的中点 PN B1D1 又 B1D1 BD PN BD 又 PN平面 A1BD PN 平面 A1BD 同理 MN 平面 A1BD 又 PN MN N 平面 PMN 平面 A1BD 证法二 证法二 连结 AC1 AC 如图所示 ABCD A1B1C1D1为正方体 AC BD 又 CC1 面 ABCD AC 为 AC1在面 ABCD 上的射影 AC1 BD 同理可证 AC1 A1B AC1 平面 A1BD 同理可证 AC1 平面 PMN 平面 PMN 平面 A1BD 例 8 如图所示 已知两条异面直线 AB 与 CD 所成的角等于 且 AB m CD n 平面 MNPQ 与 AB CD 都平行 且 M N P Q 依次在线段 AC BC BD AD 上 1 求证 四边形 MNPQ 是平行四边形 2 当 M 点在何位置时 MNPQ 的面积最大 最大面积是多少 用心 爱心 专心 解析 解析 1 证明 证明 由于 AB 平面 MNPQ 平面 ABC 平面 MNPQ MN 则 AB MN 同理 AB PQ 由公理 4 得 MN PQ 同理 MQ NP 故四边形 MNPQ 是平行四 边形 2 由于 AB 与 CD 所成的角等于 AB MN CD MQ 则 sinsin NMQ 设 则1 MACM 1 CACM 则 1 1 ACAM CDMQ m CA CM ABMN 1 1 n AC AM 于是NMQMQMNS MNPQ sin 平行四边形 2 1 sin 1 1 sin mnmn 4 sin mn 其中当 即 1 时 达到最大值 故当 M 点位于 1 MNPQ S平行四边形 sin 4 1 mn AC 中点时 MNPQ 的面积最大 最大面积等于 sin 4 1 mn 例 9 如图所示 ABCD 为长方形 SA 垂直于 ABCD 所在平面 过 A 且垂直于 SC 的平 面分别交 SB SC SD 于 E F G 求证 AE SB AG SD 分析 分析 欲证线线垂直 可证线面垂直 证明 证明 SA 平面 ABCD SA BC 又 AB BC BC 平面 SAB 又 AE平面 SAB BC AE SC 平面 AEFG SC AE AE 平面 SBC AE SB 同理 AG SD 例 10 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是 DAB 60 且边长为的菱形 a 用心 爱心 专心 侧面 PAD 为正三角形 其所在平面垂直于底面 ABCD 1 若 G 为 AD 边的中点 求证 BG 平面 PAD 2 求证 AD PB 3 求二面角 A BC P 的大小 4 若 E 为 BC 边的中点 能否在棱 PC 上找到一点 F 使平面 DEF 平面 ABCD 并证明你的结论 解析 解析 1 证明 在菱形 ABCD 中 DAB 60 G 为 AD 的中点 BG AD 又平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD BG 平面 PAD 2 证明 连结 PG 因为 PAD 为正三角形 G 为 AD 的中点 得 PG AD 由 1 知 BG AD PG BG G PG平面 PGB BG平面 PGB AD 平面 PGB PB平面 PGB AD PB 3 由 2 AD 平面 PGB 在菱形 ABCD 中 AD BC BC 平面 PGB 而 PB平面 PGB BG平面 PGB BC PB BC BG PBG 为二面角 A BC P 的平面角 在 PAD 中 PG 在菱形 ABCD 中 BG a 2 3 a 2 3 在中 PBG 45 二面角 A BC P 为 45 ABCDRt 4 当 F 为 PC 的中点时 满足平面 DEF 平面 ABCD 取 PC 的中点 F 连结 DE EF DF 则由平面几何知识 在 PBC 中 FE PB 在菱形 ABCD 中 GB DE 而 FE平面 DEF DE平面 DEF FEDE E 平面 DEF 平面 PGB 由 1 PG 平面 ABCD 而 PG平面 PGB 平面 PGB 平面 ABCD 平面 DEF 平面 ABCD 模拟试题模拟试题 用心 爱心 专心 1 三个平面两两相交 则交线有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 1 条或 3 条 2 下列四个命题中 正确命题的个数是 垂直于同一直线的两条直线平行 垂直于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两直线平行 垂直于同一平面的两平面平行 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 已知不重合的直线和平面 M 下面四个命题中 正确的是 ba A 若 则B 若 则Maba Mb MbMa ba C 若 则D 若 则baMa Mb Ma ba Mb 4 已知是不重合的直线 是不重合的平面 有下列命题 nm 若 则 若 则 若 nm nm mm n m n 则 m 且 m 若 则 其中真命题的个数是 mm A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 5 已知空间四边形 ABCD 中 M N 分别为 AB CD 的中点 则下列判断正确的是 A B 2 1 BDACMN 2 1 BDACMN C D 2 1 BDACMN 2 1 BDACMN 6 已知是不同的两个平面 直线 直线 命题 与无公共点 a bpab 命题 则与的关系是 q pq A p 成立 则 q 成立 反之不成立 B q 成立 则 p 成立 反之不成立 C p 成立 则 q 成立 反之亦然 D 以上都不对 7 存在 使是的 dcba dbca A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8 过平面外一点 作平面的平行线可以作 A 一条 B 两条 C 无数条 D 以上都不对 9 已知直线和平面 下列推论错误的是 ba 用心 爱心 专心 A B ba b a b a ba C 或D a b ba aba b a 10 已知是两个平面 直线 若以 中两 ll l l 个为条件 另一个为结论构成三个命题 则其中正确的命题有 A B C D 11 已知是直线 是平面 给出下列命题 则ba baa 则 则 ba baba 则 其中正确命题的序号是 a a A B C D 12 过平行六面体 ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线 其中与平面 DBB1D1平 行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 13 已知直线 平面 且 给出下列四个命题 ml ml 若 则 若 则 若 则 若 ml ml ml 则 其中正确命题的个数是 ml A 1 B 2 C 3 D 4 14 如图所示 四边形 ABCD 中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD 沿 BD 折起 使平面 ABD 平面 BCD 构成四面体 ABCD 则在四面体 ABCD 中 下列命题正确的是 A 平面 ABD 平面 ABCB 平面 ADC 平面 BDC C 平面 ABC 平面 BDCD 平面 ADC 平面 ABD 15 关于直线与平面 有下列四个命题 nm 若且则 若且 则 nm nm nm nm 若且则 若且 则 nm nm nm nm 用心 爱心 专心 其中真命题的序号是 A B C D 16 如果直线与平面满足 那么必有 ml l mml A 和B 和 ml m C 且D 和 mml 17 设为两两不重合的平面为两两不重合的直线 给出下列四个命题 其 nml 中真命题的个数是 若 则 若 则 nmnm 若 则 l l 若 则 m nml n l A 1 B 2 C 3 D 4 18 过平行六面体 ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线 其中与平面 DBB1D1平 行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 19 平面的斜线 AB 交于点 B 过定点 A 的动直线 与 AB 垂直 且交于点 C l 则动点 C 的轨迹是 A 一条直线 B 一个圆 C 一个椭圆 D 双曲线的一支 20 若是互不相同的空间直线 是不重合的平面 则下列命题中为真命题nml 的是 A 若 则 l nnl B 若 则 l l C 若 则nmnl ml D 若 则 ll 21 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面内任意一条直线 m 平面 若平面与平面的交线为 m 平面内的直线 n 直线 m 则直线 n 平面 用心 爱心 专心 若点 P 到三角形三条边的距离相等 则点 P 在该三角形内部的射影是该三角形的 内心 A 1 B 2 C 3 D 4 22 已知为两条不同的直线 为两个不同的平面 且 b 则下ba a 列命题中的假命题是 A 若 a b 则 B 若 则 a b C 若 a b 相交 则 相交D 若 相交 则 a b 相交 23 已知为直线 为平面 有下列四个命题 lnm 若 m m 则 若 则 mnmlnl l 若 则 若 则 m n nm 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 24 已知平面 平面 直线 直线 点 A m 点 B n 记点 A B m n 之间的距离为 点 A