高三数学 2010年高考数学试题汇编：第二章 函数第四节 函数的综合应用

用心 爱心 专心 1 第二章第二章 函数函数 四四 函数的综合应用函数的综合应用 考点阐述 函数的综合应用 考试要求 应用函数知识思想解决一些简单的实际问题 考题分类 一 选择题 共 8 题 1 福建卷理 4 文 7 函数 2 230 2ln0 xxx f x xx 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 当 0 x 时 令 2 230 xx 解得 3x 当 0 x 时 令 2ln0 x 解得 100 x 所以已知函数有两个零点 选 C 命题意图 本题考查分段函数零点的求法 考查了分类讨论的数学思想 2 湖南卷理 8 用表示 a b 两数中的最小值 若函数 的图像关于直线 x 1 2 对称 则 t 的值为 A 2 B 2 C 1 D 1 命题意图 本题通过新定义考察学生的创新能力 考察函数的图象 考察考生数形结合 的能力 属中档题 用心 爱心 专心 2 3 全国 新卷理 11 文 12 已知函数 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx 若 a b c 互不相等 且 f af bf c 则abc的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 答案 C 解析 不妨设a bc 取特例 如取 1 2 f af bf c 则易得 11 22 10 10 11abc 从而 11abc 选 C 另解 不妨设a bc 则由 1f af bab 再根据图像易得10 12c 故选 C 4 山东卷理 11 文 11 函数 y 2x x2 的图像大致是 答案 A 解析 因为当 x 2 或 4 时 2x 2 x 0 所以排除 B C 当 x 2 时 2x 2 x 1 4 0 4 故排除 D 所以选 A 命题意图 本题考查函数的图象 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 的思维能力 5 陕西卷理 10 文 10 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 A y 10 x B 3 y 10 x C 4 y 10 x D 5 y 10 x 答案 B 解析 方法一 当x除以10的余数为 6 5 4 3 2 1 0 时 由题设知 10 x y 且易验证 用心 爱心 专心 3 知此时 10 3 10 xx 当x除以10的余数为 9 8 7 时 由题设知 1 10 x y 且易验证 知此时 10 3 1 10 xx 故综上知 必有 10 3x y 故选B 6 天津卷理 2 函数 f x 2 3 x x 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 B 解析 因为 1 1 230f 0 0 2010f 所以选 B 命题意图 本小题考查函数根的存在性定理 属基础题 7 天津卷文 4 函数 f x 2 x ex 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 C 解析 因为 0 0 210fe 1 1 1 210fee 所以选 C 命题意图 本小题考查函数根的存在性定理 属基础题 8 浙江卷文 9 已知 x 是函数 f x 2 x 1 1x 的一个零点 若 1 x 1 0 x 2 x 0 x 则 A f 1 x 0 f 2 x 0 B f 1 x 0 f 2 x 0 C f 1 x 0 f 2 x 0 D f 1 x 0 f 2 x 0 解析 选 B 考察了数形结合的思想 以及函数零点的概念和零点的判断 属中档题 二 填空题 共 7 题 1 北京卷理 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚 动 设顶点 p x y 的轨迹方程是 yf x 则 f x 的最小 正周期为 yf x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 说明 正方形 PABC 沿x轴滚动 包括沿x轴正方向和沿x轴负 方向滚动 沿x轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在x轴上 时 再以顶点 B 为中心顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形 PABC 可以沿x轴负方向滚 动 答案 4 1 解析 不难想象 从某一个顶点 比如 A 落在 x 轴上的时候开始计算 到下一次 A 点落 在 x 轴上 这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上 而每两个顶点间距离为正方形的边长 用心 爱心 专心 4 1 因此该函数的周期为 4 下面考察 P 点的运动轨迹 不妨考察正方形向右滚动 P 点从 x 轴上开始运动的时候 首先是围绕 A 点运动 1 4个圆 该圆半径为 1 然后以 B 点为中心 滚动到 C 点落地 其间是以 BP 为半径 旋转 90 然后以 C 为圆心 再旋转 90 这时 候以 CP 为半径 因此最终构成图象如下 2 北京卷文 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的 纵坐标与横坐标的函数关系是 yf x 则 f x 的最小正 周期为 yf x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 说明 正方形 PABC 沿 x 轴滚动 包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动 沿 x 轴 正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在 x 轴上时 再以顶点 B 为中心顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形 PABC 可以沿着 x 轴 负方向滚动 3 江苏卷 14 将边长为 1 的正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一 块是梯形 记 S 周周周周周 周周周周周周 2 则 S 的最小值是 答案 32 3 3 解析 考查函数中的建模应用 等价转化思想 一题多解 设剪成的小正三角形的边长为x 则 22 2 3 4 3 01 1133 1 1 22 xx Sx x xx 方法一 利用函数的方法求最小值 令 11 1 3 2 3 3 2 xt t t 则 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当 131 83 x t 时 S 的最小值是 32 3 3 用心 爱心 专心 5 y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 方法二 利用导数求函数最小值 2 2 4 3 13 x S x x 22 22 4 26 1 3 2 1 3 xxxx S x x 22 2222 4 26 1 3 2 42 31 3 1 1 33 xxxxxx xx 1 0 01 3 S xxx 当 1 0 3 x 时 0 S x 递减 当 1 1 3 x 时 0 S x 递增 故当 1 3 x 时 S 的最小值是 32 3 3 4 全国 卷理 15 直线 1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值范围是 答案 1 5 4 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解法 着重考查了数形结合的数 学思想 解析 如图 在同一直角坐标系内画出直线 1y 与曲线 2 yxxa 观图可知 a 的取值必须满足 1 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a 5 天津卷理 16 设函数 2 1f xx 对任意 2 3 x 2 4 1 4 x fm f xf xf m m 恒成立 则实数m的取值范围是 答案 33 22 解析 由题意知 2 2222 2 1 4 1 1 14 1 x mxxm m 在 3 2 x 上恒成 立 用心 爱心 专心 6 2 22 132 41m mxx 在 3 2 x 上恒成立 当 3 2 x 时 函数 2 32 1y xx 取 得最小值 5 3 所以 2 2 15 4 3 m m 即 22 31 43 0 mm 解得 3 2 m 或 3 2 m 命题意图 本题考查函数中的恒成立问题 考查化归与转化的数学思想 6 天津卷文 16 设函数 f x x 1 x 对任意 x 1 f m x m f x 0恒成立 则 实数 m 的取值范围是 答案 1 解析 因为对任意 x 1 f mx mf x 2mx 1 0 m mxx 恒成立 所以 当 0m 时 有 222 210m xm 对任意 x 1 恒成立 即 22 21 10mm 解 得 2 1m 即 1m 当 0m 时 有 222 210m xm 对任意 x 1 恒成立 x 无解 综上所述实数 m 的取值范围是 1m 命题意图 本题考查函数中的恒成立问题 考查函数与方程思想 转化与化归思想 7 重庆卷理 15 已知函数 f x 满足 1 1 4 f 4 f x f yf xyf xyx yR 则 2010f 答案 1 2 解析 取 x 1 y 0 得 2 1 0 f 法一 通过计算 4 3 2 fff 寻得周期为 6 法二 取 x n y 1 有 f n f n 1 f n 1 同理 f n 1 f n 2 f n 联立得 f n 2 f n 1 所以 T 6 故 2010f f 0 2 1 三 解答题 共 3 题 1 广东卷文 20 已知函数 f x 对任意实数x均有 2 f xkf x 其中常数k为负数 用心 爱心 专心 7 且 f x 在区间 0 2 上有表达式 2 f xx x 1 求 1 f 2 5 f 的值 2 写出 f x 在 3 3 上的表达式 并讨论函数 f x 在 3 3 上的单调性 3 求出 f x 在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 w w w k s 5 u c o m 2 当 32 x 时 120 x 32 4 2 2 x k xx k xf xf 当 02 x 时 220 x 02 2 2 xxkxxkfxf 当 23 x 时 021 x 23 4 2 4 2 2 2 xxxkxxkkxkfxf 23 4 2 2 xxxk 02 2 xxkx 20 2 xxx 32 4 2 x k xx f x 用心 爱心 专心 8 c 当 1 k 时 1 2 k k k 1 此时 2 minmax 3 1 kfx