高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案

用心 爱心 专心553 课题 函数的极限和连续性课题 函数的极限和连续性 教学目标 了解函数极限的概念 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列与函数1 2 的极限 了解函数连续的意义 理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 3 4 一 主要知识及主要方法 函数极限的定义 1 当自变量取正值并且无限增大时 如果函数无限趋近于一个常数 就说当 1x f xa 趋向于正无穷大时 函数的极限是 记作 或者当时 x f xalim x f xa x 当自变量取负值并且绝对值无限增大时 如果函数无限趋近于 f xa 2x f x 一个常数 就说当趋向于负无穷大时 函数的极限是 ax f xa 记作或者当当时 lim x f xa x f xa 如果且 那么就说当趋向于无穷大时 函数的 3lim x f xa lim x f xa x f x 极限是 记作 或者当时 alim x f xa x f xa 常数函数 有 2 f xc xR lim x f xc 存在 表示和都存在 且两者相等所以中的既lim x f x lim x f x lim x f x lim x f x 有 又有的意义 而数列极限中的仅有的意义 lim n x a 趋向于定值的函数极限概念 当自变量无限趋近于 时 如果函数3 x 0 x 0 xx 无限趋近于一个常数 就说当趋向时 函数的极限是 记 xfy ax 0 x xfy a 作 特别地 0 lim xx f xa CC xx 0 lim 0 0 limxx xx 4 0 00 lim lim lim xx xxxx f xaf xf xa 其中表示当从左侧趋近于时的左极限 0 lim xx f xa x 0 x 表示当从右侧趋近于时的右极限 0 lim xx f xa x 0 x 对于函数极限有如下的运算法则 5 如果 那么 0 lim xx f xA lim o xx g xB 0 lim xx f xg xAB 0 lim xx f xg xA B 0 lim 0 xx f xA B g xB 当是常数 是正整数时 Cn 00 lim lim xxxx Cf xCf x 00 lim lim nn xxxx f xf x 这些法则对于的情况仍然适用 x 函数在一点连续的定义 如果函数在点处有定义 存在 6 f x 0 xx 0 lim xx f x 且 那么函数在点处连续 0 0 lim xx f xf x f x 0 xx 函数在内连续的定义 如果函数在某一开区间内每一点处连续 7 f x a b f x a b 就说函数在开区间内连续 或是开区间内的连续函数 f x a b f x a b 用心 爱心 专心554 函数在上连续的定义 如果在开区间内连续 在左端点8 f x a b f x a b 处有 在右端点处有就说函数在闭xa lim xa f xf a xb lim xb f xf b f x 区间上连续 或是闭区间上的连续函数 a b f x a b 最大值 是闭区间上的连续函数 如果对于任意 9 f x a b xa b 1 f x 那么在点处有最大值 f x f x 1 x 1 f x 最小值 是闭区间上的连续函数 如果对于任意 10 f x a b xa b 2 f x 那么在点处有最小值 f x f x 2 x 2 f x 最大值最小值定理11 如果是闭区间上的连续函数 那么在闭区间上有最大值和最小值 f x a b f x a b 极限问题的基本类型 分式型 主要看分子和分母的首项系数 12 指数型 和型 通过变形使得各式有极限 0 0 根式型 型 通过有理化变形使得各式有极限 根的存在定理 若 函数在上连续 则方程13 f x a b 0f af b 至少有一根在区间内 若 函数在上连续且单调 0f x a b f x a b 则方程有且只有一根在区间内 0f af b 0f x a b 二 典例分析 问题 1 求下列函数的极限 1 4 4 55 lim 1 3 x xx xx 2 2 33 3 lim 1 x x x 3 22 lim11 x xxx 4 2 cos lim cossin 22 x x xx 5 32 2 2 32 lim 6 x xxx xx 6 22 220 lim x xaa xbb 0a 广东 陕西 706 2 2 41 lim 42 x xx 807 2 1 211 lim 21 x x xxx 用心 爱心 专心555 问题 2 若 求 的值 1 2 2 2 lim2 2 x xaxb xx ab 设 若 求常数 的值 20a 2 lim1 x axxbx ab 重庆 设正数满足 则 307a b 2 2 lim 4 x xaxb 11 1 lim 2 nn nn n aab ab A0 B 1 4 C 1 2 D1 问题 3 讨论下列函数在给定点处的连续性 点 点 1 2 4 2 x x xf2 x 2 31 2 10 1 xx xx xf1 x 试讨论函数 点 3 2 11 0 1 3 0 2 x x x f x xx 0 x 问题 4 已知 在区间上连续 求 1 0 11 10 1 xax xx f xx x bx 1 a b 用心 爱心 专心556 届高三四川眉山市一诊 已知函数在上连续且 208 1 3 log1 a b a x f xx xb x R 单调递增 则实数 b 问题 5 已知函数 当时 求的最大值和 2 1f xxxx 1 1 1x f x 最小值 解方程 求出该函数的值域 2 0f x 3 问题 6 证明 方程至少有一个小于 的正根 21 x x 1 三 课后作业 已知 求的值 1 2 2 2 lim 2 x xmx n x m n 若 为常数 则 2 2 1 lim1 11 x ab xx aba b 已知 那么给一个定义 使在处3 11 xx f x x 0 x 0 f f x0 x 用心 爱心 专心557 连续 则应是 0 f A0 B1 C1 D 1 2 济南一模 设是一个一元三次函数且 4 07 f x 1 lim6 1 x f x x 2 3 lim 22 x f x x 则 3 lim 3 x f x x A2 B 4 3 C 8 3 D4 设函数在处连续 且 则 5 f x1x 1 lim2 1 x f x x 1 f A1 B0 C 1 2 D2 四 走向高考 江西 若 则6 05 1 1 lim1 1 x f x x 1 1 lim 22 x x fx A1 B1 C 1 2 D 2 1 湖北 若 则常数的值为7 051 11 lim 2 1 x b x a x ba A4 2 ba B4 2 ba C4 2 ba D4 2 ba 天津 设 则8 050abc 1 lim 3 x cxa axb 2 2 3 lim 4 x axbx bxc 3 32 lim x cxbxc bxcxa A4 B 4 9 C 1 4 D 9 4 四川 9 07 2 2 1 1 lim 21 x x xx A0 B1 C 2 1 D 3 2 用心 爱心 专心558 江西 等于 等于 等于 不存在07 32 1 lim 1 x xx x A0 B1 C3 D 天津 设等差数列的公差是 前项的和为 则 10 07 n ad2n n S 22 lim n n n an S 全国 已知数列的通项 其前项和为 则 11 0752 n an n n S 2 lim n n S n 湖南 下列四个命题中 不正确的是12 07 若函数在处连续 则 A f x 0 xx 00 lim lim xxxx f xf x 函数的不连续点是和 B 2 2 4 x f x x 2x 2x 若函数 满足 则 C f x g xlim 0 x f xg x lim lim xx f xg x D 1 11 lim 12 x x x 安徽 如图 抛物线与轴的正半轴交于13 07 2 1yx x 点 将线段的等分点从左至右依次记为 AOAn 12 P P 过这些分点分别作轴的垂线 与抛物线的交点依次为 1n P x 从而得到个直角三角形 12 Q Q 1n Q 1n 11 QOP 当时 这些三角形 212121nnn Q PPQPP n 的面积之和的极限为 y x 1 Q 2 Q 1n Q 2 1yx 1 P 2 P2n P 1n P O 用心 爱心 专心559 江西 已知函数在区间内连续 14 07 2 1 0 2 1 x c cxxc f x kcx 01