高三数学三角函数必备知识点及练习

三角函数必备知识点及练习三角函数必备知识点及练习 1 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 1 弧长公式 R 为圆弧的半径 为圆心角弧度数 为弧长 Ral al 2 扇形的面积公式 R 为圆弧的半径 为弧长 lRS 2 1 l 3 三角函数 6 个 表示 为任意角 角的终边上任意点 P 的坐标为 它与aa yx 原点的距离为 r r 0 那么角的正弦 余弦 正切 余切 正割 余割分别是 a r y a sin r x a cos x y a tan y x a cot x r a sec y r a csc 4 同角三角函数关系式 倒数关系 商数关系 1cottan aa a a a cos sin tan a a a sin cos cot 平方关系 1cossin 22 aa 5 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 k 2 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性 a 函 数 x xsinxcosxtanxcot a asin acosatan acot a 2asin acosatan acot a 2 acosasin acot atan 2 2 两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数 1 两角和与差公式 sinsincoscos cos aa sincoscossin sin aaa 注 公式的逆用或者变形 tantan1 tantan tan a a aa 2 二倍角公式 aaacossin22sin 1cos2sin21sincos2cos 2222 aaaaa 从二倍角的余弦公式里面可得出 a a a 2 tan1 tan2 2tan 降幂公式 2 2cos1 cos2 a a 2 2cos1 sin2 a a 3 半角公式 可由降幂公式推导出 2 cos1 2 sin aa 2 cos1 2 cos aa a a a a a aa sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 3 3 三角函数的图像和性质 其中三角函数的图像和性质 其中 zk 三角函数 xysin xycos xytan 定义域 2 kx 值域 1 1 1 1 最小正周期 2 T 2 T T 奇偶性奇偶奇 单调性 2 2 2 2 kk 单调递增 2 3 2 2 2 kk 单调递减 2 12 kk 单调递增 12 2 kk 单调递减 2 2 kk 单调递增 对称性2 kx 0 k kx 0 2 k 0 2 k 零值点 kx 2 kx kx 最值点 2 kx 1 max y 2 kx 1 min y kx2 1 max y 12 kx 1 min y 无 4 函数函数的图像与性质 的图像与性质 sin xAy 本节知识考察一般能化成形如图像及性质 sin xAy 1 函数和和的周期都是 sin xAy cos xAy 2 T 2 函数和和的周期都是 tan xAy cot xAy T 3 五点法作的简图 设 取 0 来求 sin xAy xt 2 2 3 2 相应的值以及对应的 y 值再描点作图 x 4 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换 提倡先平移后伸缩 切记每一个变 换总是对字母而言 即图像变换要看 变量 起多大变化 而不是 角变化 多少 x 附上函数平移伸缩变换 函数的平移变换 将图像沿轴向左 右 平移个单位 0 aaxfyxfy xfy xa 左加右减 将图像沿轴向上 下 平移个单位 0 bbxfyxfy xfy yb 上加下减 函数的伸缩变换 将图像纵坐标不变 横坐标缩到原来的 0 wwxfyxfy xfy 倍 缩短 伸长 w 1 1 w10 w 将图像横坐标不变 纵坐标伸长到原来的 0 AxAfyxfy xfy A 倍 伸长 缩短 1 A10 A 函数的对称变换 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy y 对三角函数来说 图像关于轴对称 x 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy x 对三角函数来说 图像关于轴对称 y 将图像在轴右侧保留 并把右侧图像绕轴翻 xfyxfy xfy yy 折到左侧 偶函数局部翻折 保留在轴上方图像 轴下方图像绕轴翻折上 xfyxfy xfy xxx 去 局部翻动 5 5 三角变换 三角变换 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换 提高三角变换能力 要学会创设条件 灵活运 用三角公式 掌握运算 化简的方法技能 1 角的变换 角之间的和差 倍半 互补 互余等关系对角变换 还可作添加 删 除角的恒等变形 2 函数名称变换 三角变形中常常需要变函数名称为同名函数 采用公式 其中 sin cossin 22 baba 2222 sin cos ba b ba a 3 常数代换 在三角函数运算 求值 证明中有时候需将常数转化为三角函数 特 别是常数 1 4 幂的变换 对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理 有时需要升幂例如 常用升幂化为有理式 acos1 5 公式变形 三角公式是变换的依据 应熟练掌握三角公式的顺用 逆用及变形 6 结构变化 在三角变换中常常对条件 结论的结构进行调整 或重新分组 或移 项 或变乘为除 或求差等等 在形式上有时需要和差与积的互化 分解因式 配方等 7 消元法 如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量 可用此法 8 思路变换 如果一种思路无法再走下去 试着改变自己的思路 通过分析比较去 选择更合适 简捷的方法去解题目 9 利用方程思想解三角函数 如对于以下三个式子 aacossin aacossin 已知其中一个式子的值 其余二式均可求出 且必要时可以换元 aacossin 6 6 函数的最值函数的最值 几种常见的函数及其最值的求法 或型 利用三角函数的值域 须注意对字母的讨论bxay sin cosbxa 型 引进辅助角化成再利用有界性xbxaycossin sin 22 xbay 型 配方后求二次函数的最值 应注意的约束cxbxay sinsin21sin x 型 反解出 化归为解决 dxc bxa y sin sin xsin1sin x 型 常用到换元法 但须注cxxbxxay cossin cos sinxxtcossin 意 的取值范围 t2 t 3 三角形中常用的关系 sin sinCBA cos cosCBA 2 cos 2 sin CBA 2sin2sinCBA 2cos2cosCBA 练习题练习题 1 08 全国一 6 是 2 sincos 1yxx A 最小正周期为的偶函数B 最小正周期为的奇函数2 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的奇函数 2 08 全国一 9 为得到函数的图象 只需将函数的图像 cos 3 yx sinyx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 6 6 C 向左平移个长度单位D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 3 08 全国二 1 若且是 则是 sin0 tan0 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 4 08 全国二 10 函数的最大值为 A 1 B C xxxfcossin 23 D 2 5 08 安徽卷 8 函数图像的对称轴方程可能是 sin 2 3 yx A B C D 6 x 12 x 6 x 12 x 6 08 福建卷 7 函数y cosx x R 的图象向左平移个单位后 得到函数y g x 的图象 2 则g x 的解析式为 A sinx B sinx C cosx D cosx 7 08 广东卷 5 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数 2 8 08 海南卷 11 函数的最小值和最大值分别为 cos22sinf xxx A 3 1B 2 2C 3 D 2 3 2 3 2 9 08 湖北卷 7 将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F 若sin yx 3 F 的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 1 x A B C D 5 12 5 12 11 12 11 12 10 08 江西卷 6 函数是 sin sin2sin 2 x f x x x A 以为周期的偶函数 B 以为周期的奇函数4 2 C 以为周期的偶函数 D 以为周期的奇函数2 4 11 若动直线与函数和的图像分别交于两点 则xa sinf xx cosg xx MN 的最大值为 A 1B C D 2MN23 12 08 山东卷 10 已知 则的值是 4 cossin3 65 7 sin 6 A B C D 2 3 5 2 3 5 4 5 4 5 13 08 陕西卷 1 等于 A B C D sin330 3 2 1 2 1 2 3 2 14 08 四川卷 4 2 tancotcosxxx tan xsin xcosxcot x 15 08 天津卷 6 把函数sin yx x R的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到的图象所表示的函 数是 A sin 2 3 yxx R B sin 26 x yx R C sin 2 3 yxx R D sin 2 3 yxx R 16 08 天津卷 9 设 5 sin 7 a 2 cos 7 b 2 tan 7 c 则 A abc B acb C bca D bac 17 08 浙江卷 2 函数 2 sincos 1yxx 的最小正周期是 A 2 B C 3 2 D 2 18 08 浙江卷 7 在同一平面直角坐标系中 函数 20 2 3 2 cos x x y的图象和 直线 2 1 y的交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 19 08 北京卷 9 若角的终边经过点 则的值为 12 P tan2 20 08 江苏卷 1 的最小正周期为 其中 则 cos 6 f xx 5 0 21 08 辽宁卷 16 设 则函数的最小值为 0 2 x 2 2sin1 sin2 x y x 22 08 浙江卷 12 若 3 sin 25 则cos2 23 08 上海卷 6 函数f x sin x sin x 的最大值是 3 2 24 08 四川卷 17 求函数的最大值与最小值 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 25 08 北京卷 15 已知函数 的最小 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 正周期为 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 26 08 天津卷 17 已知函数 的最 2 2s incoss1 2cof xxxx 0 xR 小值正周期是 2 求的值 求函数的最大值 并且求使取得最大值的的集合 f x f xx 27 08 安徽卷 17 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 f x 求函数在区间上的值域 f x 12 2 28 08 陕西卷 17 已知函数 2 2sincos2 3sin3 444 xxx f x 求函数的最小正周期及最值 f x 令 判断函数的奇偶性 并说明理由 3 g xfx g x 练习题参考答案 练习题参考答案 1 D1 D 2 C2 C 3 C3 C 4 B4 B 5 B5 B 6 A6 A 7 D7 D 8 C8 C 9 A9 A 10 A10 A 11 B11 B 12 C12 C 13 B13 B 14 D14 D 15 C15 C 16 D16 D 17 B17 B 18 C18 C 19 19 20 20 1010 21 21 22 22 23 223 2 3 4 3 25 7 24 24 解 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数在中的最大值为 2 16zu 11 2 max 1 1610z 最小值为 2 min 1 166z 故当时取得最大值 当时取得最小值sin21x y10sin21x y6 点评 此题重点考察三角函数基本公式的变形 配方法 符合函数的值域及最值 突破 利用倍角公式降幂 利用配方变为复合函数 重视复合函数中间变量的范围是关 键 25 25 解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数的最小正周期为 且 f x 0 所以 解得 2 2 1 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 2 0 3 x 所以 7 2 666 x 所以 1 sin 21 26 x 因此 即的取值范围为 13 0sin 2 622 x f x 3 0 2 26 26 解 2 4 2sin2 2 4 sin2cos 4 cos2sin2 22cos2sin 12sin 2 2cos1 2 x xx xx x x xf 由题设 函数的最小正周期是 可得 所以 x