小波变换详解

1 基于小波变换的人脸识别 近年来 小波变换在科技界备受重视 不仅形成了一个新的数学分支 而且被广泛地应用于模式识别 信号处理 语音识别与合成 图像处理 计算 机视觉等工程技术领域 小波变换具有良好的时频域局部化特性 且其可通过 对高频成分采取逐步精细的时域取样步长 从而达到聚焦对象任意细节的目的 这一特性被称为小波变换的 变聚焦 特性 小波变换也因此被人们冠以 数 学显微镜 的美誉 具体到人脸识别方面 小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率 频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号 从而更好地实现不同分辨率的 人脸图像特征提取 4 1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换 第一次引入 频率 的概念 傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性 通过将 复杂的时间信号转换到频率域中 使很多在时域中模糊不清的问题 在频域中 一目了然 在早期的信号处理领域 傅立叶变换具有重要的影响和地位 定义 信号为在 内绝对可积的一个连续函数 则的傅立叶变换定 t f t f 义如下 dtetfF tj 4 1 傅立叶变换的逆变换为 deFtf tj 2 1 4 2 从上面两个式子可以看出 式 4 1 通过无限的时间量来实现对单个频率 的频谱计算 该式表明这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上 F 的量所决定的 可见 式 4 1 和 4 2 只是同一能量信号的两种不同表现 形式 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征 从而分别从时域和频域对信号 2 进行分析 但却无法将两者有效地结合起来 因此傅立叶变换在信号的局部化 分析方面存在严重不足 但在许多实际应用中 如地震信号分析 核医学图像 信号分析等 研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率 或是某 个频率出现在哪个时段上 即信号的时频局部化特征 傅立叶变换对于此类分 析无能为力 因此需要一种如下的数学工具 可以将信号的时域和频域结合起来构成信 号的时频谱 描述和分析其时频联合特征 这就是所谓的时频局部化分析方法 即时频分析法 1964年 Gabor等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部 化 窗函数 g t 改进了傅立叶变换的不足 形成窗口化傅立叶变换 又称 Gabor变换 定义 窗函数 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零 用函数 t g 乘以 其效果等同于在附近打开一个窗口 即 t g t ft dtetgtfG tj f 4 3 式 4 3 即为函数f t 关于g t 的Gabor变换 由定义可知 信号的 t f Gabor变换可以反映该信号在附近的频谱特性 其逆变换公式为 t dGtgedtf f tj 2 1 4 4 可见 f G的确包含了信号的全部信息 且Gabor窗口位置可以随着 t f 的变化而平移 符合信号时频局部化分析的要求 虽然Gabor变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不足 且兼顾信号的时频分辨率 但其本身仍存在不可克服的局限性 即Gabor窗口不 具有自适应性 其大小是固定不变的 因此Gabor变换只能进行单一分辨率的分 析 而在实际研究中 我们常常希望窗口的大小会随着频率的高低而改变 比 如在研究高频信号时 希望窗口开得小一点 反之 在研究低频信号时 则希 望窗口开得大一点 这样才更符合实际研究中低频信号分辨率比高频信号分辨 率低的特点 因此需要研究更好的解决办法来改善Gabor变换的不足 为了克服前面所描述的傅立叶变换和Gabor变换存在的不足 学者们提出了 小波变换 Wavelet Transform 3 4 2 小波变换与逆变换 4 2 1 连续小波变换和离散小波变换 小波变换是一种窗El面积 即窗口大小 固定但窗口形状可变的时频局部化 分析方法 其高频部分的时间分辨率较高而频率分辨率较低 而低频部分的频 率分辨率较高而时间分辨率较低 因此对信号具有良好的自适应性 被冠以 数学显微镜 的美誉 小波变换又可分为连续小波变换和离散小波变换两种 连续小波变换的概念是由Morlet等人提出 1 设 x 为小波变换的核函数 若核函数 RLx 2 若满足容许性条件 d F C R 2 4 5 则称该函数 x 为基小波 一维信号f t 2 RL 的连续小波变换可定义为 dx a bt xf a bafW R 1 4 6 根据上述对基小波定义 可知 dxx R 且 x 在无穷远处趋近于 零 一般的 记 a bx x ba Rba a 0 离散小波最具代表性的为二进小波 即 0 a为2的幂次 J 2 0 b取整 由于小波变换在时域和频域同时兼有局部化能力 且能逐步聚焦到对象的 任何细节进行分析 因此在人脸识别方面得到众多研究者的关注 4 2 2 几种常见的小波 同傅立叶分析不同 小波分析的基 小波函数 不是唯一存在的 所有满 足小波条件的函数都可以作为小波函数 那么小波函数的选取就成了十分重要 的问题 8 1 Haar 小波 A Haar 于 1990 年提出一种正交函数系 定义如下 4 9 0 1 1 x H 其它 12 1 2 10 x x 这是一种最简单的正交小波 即 4 10 0 dxnxt 2 1 n 2 Daubechies dbN 小波系 该小波是 Daubechies 从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波 k h 一般简写为 dbN N 是小波的阶数 小波和尺度函数阈中的支撑区为 2N 1 的消失矩为 N 除 N 1 外 Haar 小波 dbN 不具对称性 即非线性相位 dbN 没有显式表达式 除 N 1 外 但的传递函数的模的平方有显式表达式 k h 假设 其中 为二项式的系数 则有 1 0 1 N k kkN k yCyP kN k C 1 4 11 2 sin 2 cos 22 2 0 Pm N 其中 12 0 0 2 1 N k ik ke hm 5 3 Biorthogonal biorNr Nd 小波系 Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性 它主要应用在信 号与图像的重构中 通常的用法是采用一个函数进行分解 用另外一个小波函 数进行重构 Biorthogonal 函数系通常表示为 biorNr Nd 的形式 Nr 1 Nd 1 3 5 Nr 2 Nd 2 4 6 8 Nr 3 Nd 1 3 5 7 9 Nr 4 Nd 4 Nr 5 Nd 5 Nr 6 Nd 8 其中 r 表示重构 d 表示分解 4 Coiflet coifN 小波系 coiflet 也是函数由 Daubechies 构造的一个小波函数 它具有 coifN N 1 2 3 4 5 这一系列 coiflet 具有比 dbN 更好的对称性 从支 撑长度的角度看 coifN 具有和 db3N 及 sym3N 相同的支撑长度 从消失矩的数 目来看 coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩数目 5 SymletsA symN 小波系 Symlets 函数系是由 Daubechies 提出的近似对称的小波函数 它是对 db 函数的一种改进 Symlets 函数系通常表示为 symN N 2 3 8 的形式 6 Morlet morl 小波 Morlet 函数定义为 它的尺度函数不存在 且不具有 xCex x 5cos 2 2 正交性 7 Mexican Hat mexh 小波 Mexican Hat 函数为 4 12 2 24 1 2 1 3 2 x exx 它是 Gauss 函数的二阶导数 因为它像墨西哥帽的截面 所以有时称这个 函数为墨西哥帽函数 墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化 并 且满足 6 4 13 0 dxx 由于它的尺度函数不存在 所以不具有正交性 8 Meyer 函数 Meyer 小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的 是具有紧支 撑的正交小波 4 0 1 2 3 2 cos 2 1 2 3 2 sin 2 2 2 1 2 2 1 j j e e 3 8 3 2 3 8 3 4 3 4 3 2 14 其中 为构造 Meyer 小波的辅助函数 且有 a 4 0 1 2 3 2 cos 2 2 2 1 2 1 3 4 3 4 3 2 3 2 15 4 2 3 二维小波变换与逆变换 把对一维的表示推广到二维 考虑二维尺度函数是可分离的情况 可有 3 个二维小波 则二维尺度函数和小波函数可表示为 9 yxyx 4 16 yxyx h yxyx v 4 17 yxyx d 设表示一幅离散图像 用低通滤波器和高通滤波器分别对 21 k kcj h g 7 的每一行作滤波 并作隔点抽样 然后再用它们分别对的每一列滤波并作 j c j c 隔点抽样 得到图像低频概貌和图像高频细节 则有如下小波 1 j c h j d 1 v j d 1 d j d 1 正变换 分解算法 21 212211211 22 k k k j kkcknhknhnnc 21 212211211 22 k k k h j kkckngknhnnd 21 212211211 22 k k k v j kkcknhkngnnd 4 21 212211211 22 k k k d j kkckngkngnnd 18 其小波逆变换 重构算法 如下式 4 2112211 2112211 2112211 211221121 2 2 2 2 2 2 2 2 11 11 11 11 nndnkgnkg nndnkhnkg nndnkgnkh nncnkhnkhkkc d j nn v j nn h j nn kj nn j 19 对于N N像素的图像 小波变换能分解J层 整数 n J 2 log 在每一尺度 下 j c包含前一阶段的低频信息 而 h j d v j d 和 d j d 分别包含前一阶段横向 纵 向和对角方向的边缘细信息 h 2 1 j c h 2 g 2 h j d 1 j c h 2 v j d 1 g 2 8 g 2 d j d 1 图4 1 二维小波正变换框图 1 j c 2 h 2 h h j d 1 2 g j c v j d 1 2 h 2 g d j d 1 2 g 图4 2 二维小波变换逆变换框图 2 表示抽样 为2点取1点的抽样 即只剩下一半样数的分解过程 2 表示 插样 即得到的样数为原先样数的两倍 4 3 人脸图像的小波变换 小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或时间域上的图像信号变换 到小波域上 成为多层次的小波系数 根据小波的特性 分析小波系数的特点 针对不同需求 结合常规的图像处理方法提出更符合小波分析的新算法来处理 小波系数 再对处理后的小波系数进行反变换 将得到所需的目标图像 图像输出图像输入 小波正变换小波反变换图像处理 9 图4 3 小波变换处理图像流程图 小波变换的优点在于具有良好的时间和频率特性 应用范围较广 采用小 波分解图像 可降低分解后图像子带的分辨率 大大减少相应的计算复杂度 并可提供更多的空间和频率局部信息 由于一幅图像的信息主要包含在低频部分 而图像细节体现在高频部分 故可通过小波变换得到低频系数 也就是图像的主要信息 在本算法中 采用 二维离散小波变换 进行二维小波频域分解 实际是进行两次一维小波变换 经 过一级小波变换之后 一幅图像被分解成为如图 4 4 a 所示的 4 个子带 包括 低频区域 LL 高频区域 LH HL HH 每个区域都是一幅图像 LL 区域表示的是 原图像的平滑图像 它包含了原图像的大部分信息 刻画人脸表情和姿态的不变 特征 LH 区域保持了原图像的垂直边缘细节 体现人脸的轮廓和鼻子的垂直特 征 HL 区域保持了原图像的水平边缘细节 体现了人脸的眼睛 嘴巴的水平特征 HH 区域保持了原图像的对角线细节 受噪声 表情和姿势的影响较大 经过一 级小波分解后 每个区域的图像维数都是原图像维数的四分之一 图中子带 LL 是低频成分 集中了原始图像的大部分信息 LH 和 HL 反映了沿水平和垂直方 向的图像变化 HH 子带则代表图像的高频成分 还可以运用小波算法继续对 LL 子带进行分解 图 4 4 b 为图 4 4 a 的二级小波分解图 一级小波分解 二级小波分解 图 4 4 二维图像的小波分解 人脸图像的二维小波分解通常使用等价的滤波器组实现 其中 低通滤波器 13 24 6 57 LLLH HLHH 10 起平滑作用 得到图像的缓变成分 带通滤波器起差分作用 得到图像的高频成分 使 用具有紧支集的规范正交小波基可以构造这类滤波器 图 4 5 4 6 分别是人脸 图像的一级分解 二级分解图像 图 4 5 一级小波分解图像 图 4 6 二级小波分解图像 本文研究的方法是 首先对原始图像进行进行小波变换与反变换 小波变 换后 图像左上角表现了图像的低频分量 它是构成图像信息及其能量的主要 的组成部分 右上角处表现了图像的水平方向的高频分量 左下角表现垂直高