高中数学 用放缩法证明不等式解题思路大全

用心 爱心 专心1 用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的 过程 在使用放缩法证题时要注意放和缩的 度 否则就不能同向传递了 此法既可以 单独用来证明不等式 也可以是其他方法证题时的一个重要步骤 下面举例谈谈运用放 缩法证题的常见题型 一一 添舍添舍 放缩放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的 这是常规思路 例例 1 1 设a b为不相等的两正数 且a3 b3 a2 b2 求证 1 4 3 ab 证明 由题设得a2 ab b2 a b 于是 a b 2 a2 ab b2 a b 又 a b 0 得a b 1 又ab a b 2 而 a b 1 4 2 a b ab a b a b 2 即 a b 2 a b 所以a b 故有 1 4 3 4 4 3 1 a b 4 3 例例 2 2 已知a b c不全为零 求证 aabbbbcccacaabc 2222 22 3 2 证明 因为 aabba b ba b a b a b22 2 2 2 2 3 4 222 同理 bbccb c 22 2 cacac a2 2 2 所以aabbbbcccacaabc 2222 22 3 2 二二 分式放缩分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大 若分母变大则分式值变小 一个真分式 分子 分母同时加上同一个正数则分式值变大 利用这些性质 可达到证题目的 例例 3 3 已知a b c为三角形的三边 求证 12 a bc b ac c ab 证明 由于a b c为正数 所以 a bc a abc b ac b abc 用心 爱心 专心2 所以 c ab c abc 又a b c为三角形的 a bc b ac c ab a abc b abc c abc 1 边 故b c a 则为真分数 则 同理 a bc a bc a abc 2b ac b abc 2 c ab c abc 2 故 a bc b ac c ab a abc b abc c abc 222 2 综合得 12 a bc b ac c ab 三三 裂项放缩裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和 可采用数列中裂项求和等方法来解题 例例 4 4 已知 n N 求 n2 n 1 3 1 2 1 1 证明 因为 则 122 1 21 nnnnn nn 1 1 2 1 3 1 122123221212 n nnnn 证毕 例例 5 5 已知且 求证 Nn 1n n3221an 对所有正整数 n 都成立 2 1 2 1 2 n a nn n 证明 因为 所以 nnnn 2 1 2 1n n n21an 又 2 1 1 nn nn 所以 综合知结论 2 1n 2 1n2 2 5 2 3 2 1n n 2 32 2 21 a 2 n 成立 四四 公式放缩公式放缩 用心 爱心 专心3 利用已知的公式或恒不等式 把欲证不等式变形后再放缩 可获简解 例例 6 6 已知函数 证明 对于且都有 12 12 x x xf Nn 3 n 1 n n nf 证明 由题意知 12 1 12 2 12 2 1 1 1 1 1 12 2 1 112 12 1 n n nnn n n n nnn n n n nf 又因为且 所以只须证 又因为 Nn 3 n122 n n 所1n21n 2 1n n n1CCCCC 11 2 n n 1n n 2 n 1 n 0 n nn 以 1 n n nf 例例 7 7 已知 求证 当时 2 x1 x f ab fafbab 证明 fafbab ab ab ab ab ab 11 1111 22 22 2222 证毕 ba ba ba ba ba baba 五五 换元放缩换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元 可显露问题的本质 然后随机进行放缩 可达解 题目的 例例 8 8 已知 求证 cba 0 ac 1 cb 1 ba 1 证明 因为 所以可设 所以则cba tca 0ut ucb 0ut 即 0 tu ut t 1 u 1 t 1 u 1 ut 1 ac 1 cb 1 ba 1 0 ac 1 cb 1 ba 1 例例 9 9 已知 a b c 为 ABC 的三条边 且有 当且时 求 222 cba Nn 3n 证 nnn cba 证明 由于 可设 a csina b ccosa a 为锐角 因为 abc 222 01 sina 则当时 01 cosan 3sinsin na a 2 coscos na a 2 所以 abcaacaac nnnnnnn sincos sincos 22 用心 爱心 专心4 六六 单调函数放缩单调函数放缩 根据题目特征 通过构造特殊的单调函数 利用其单调性质进行放缩求解 例例 10 10 已知 a b R 求证 b1 b a1 a ba1 ba 证明 构造函数 首先判断其单调性 设 因为 0 x x1 x x f 21 xx0 所以 所以在0 x1 x1 xx x1 x x1 x x f x f 21 21 2 2 1 1