高三数学高考复习：集合穿针 转化引线

集合穿针集合穿针 转化引线转化引线 谈集合思想的应用 集合思想渗透到高中数学的各个分支中 它可与常用逻辑用语 函数 方程和不等式 等许多知识综合起来考查 在解题时首先需要我们能读懂集合语言 再用相关的知识解决 问题 本文借助集合思想这根针 通过几道典型例题 谈谈如何将集合语言转化为其它数 学语言 解决相关问题 高 考 资 源 网 一 集合与常用逻辑用语 例 1 若 2 3840 1 2 0pxxqxx 恒 则p 是q 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 2 3840pxx 即 2 3 x 或2x 2 2 3 px 1 2 0qxx 即1x 或2x 12qx 由集合关系知 pq 而qp p 是q 的充分条件 但不是必要条件 故选 例 2 若k R 则 3k 是 方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线 3 3 03kkk 或3k 故选 A 二 集合与函数 例 3 已知集合 2 2 2 Py yxxQx yxx RR恒恒恒 那么 PQ 等于 A 0 2 1 1 B 0 2 1 1 C 1 2 D 2 y y 解析 由代表元素可知两集合均为数集 又P集合是函数 2 2yx 中的y的取值范 围 故P集合的实质是函数 2 2yx 的值域 而Q集合则为函数2yx 的定义域 从而易知 2 PQy y 选 D 评注 认识一个集合 首先要看其代表元素 再看该元素的属性 本题易因误看代表 元素而错选 或 三 集合与方程 例 4 已知 2 2 10 0 Ax xpxxBx x R恒恒 且AB 求 实数p的取值范围 解析 集合A是方程 2 2 10 xpx 的解集 则由AB 可得两种情况 A 则由 2 2 40p 得 40p 方程 2 2 10 xpx 无正实根 因为 12 10 x x 则有 0 2 0p 恒 恒 于是0p 综上 实数p的取值范围为 4 p p 四 集合与不等式 例 5 已知集合 222 412 21 1 0 Aa axxxaBx xmxm m 恒恒恒恒 若AB 求实数m的取值范围 解析 由不等式 22 412axxxa 恒成立 可得 2 2 4 1 0axxa 1 当20a 即2a 时 式可化为 3 4 x 显然不符合题意 2 当20a 时 欲使 式对任意x均成立 必需满足 20 0 a 恒 恒 即 2 2 44 2 1 0 a aa 恒 恒 解得 2 Aa a 集合B是不等式 2 21 1 0 xmxm m 的解集 可求得 1 Bx mxm 结合数轴 只要12m 即可 解得 1m 五 集合与解析几何 例 6 已知集合 2 20 Axy xmxy 恒和 10 02 Bxy xyx 恒恒 如果AB 求实数 m 的取值范围 解析 从代表元素 xy恒看 这两个集合均为点集 又 2 20 xmxy 及 10 xy 是两个曲线方程 故AB 的实质为两个曲线有交点的问题 我们将其 译成数学语言即为 抛物线 2 20 xmxy 与线段10 02 xyx 有公共 点 求实数m的取值范围 由 2 20 10 02 xmxy xyx 恒 恒 得 2 1 10 02 xmxx AB 方程 在区间 0 2 上至少有一个实数解 首先 由 2 1 40m 得3m 或1m 当m 3 时 由 12 1 0 xxm 及 12 1x x 知 方程 只有负根 不符合要求 当1m 时 由 12 1 0 xxm 及 1