基于小波变换的像素级图像融合算法研究

本科毕业设计论文题 目 基于小波变换的像素级图像融合算法研究 专业名称学生姓名指导教师毕业时间 2014 年 6 月 I毕业 任务书一、题目基于小波变换的像素级图像融合算法研究二、指导思想和目的要求基于小波变换的图像融合，就是对原始图像进行小波变换，将其分解在不同频段的不同特征域上，然后在不同的特征域内进行融合，构成新的小波金字塔结构，再用小波逆变换得到合成图像的过程。小波变换的多分辨结构可解决图像灰度特性不同给图像融合带来的困难。正交小波变换去除了两相邻尺度上图像信息差的相关性，所以基于小波变换的图像融合技术能克服拉普拉斯金字塔的不稳定性。在小波分解过程中，由于图像的数据量不变，同时各层的融合可并行进行，所以其计算速度和所需的存贮量都要优于拉普拉斯金字塔。正是由于小波变换的优良特性，基于小波变换的图像融合方法成为了目前国内外像素级图像融合方法的研究热点，本文主要研究利用小波变换的像素级图像融合方法。本课题的研究内容主要包括以下几个方面：1、了解图像融合的概念、意义和分类，解释像素级融合的原理和方法；2、研究小波变换的基本理论，并应用小波变换进行图像处理；3、研究像素级多分辨率图像融合框架，对其框架的各个部分进行详细解释；4、研究加权多分辨率图像融合算法，并进行图像融合实验；三、主要技术指标1、基于像素级图像融合的概念与原理；设计论文II2、研究小波变换的基本理论；3、研究像素级多分辨率图像融合算法框架；4、研究加权多分辨率图像融合算法。四、进度和要求第 01 周-第 02 周：英文翻译；第 03 周-第 04 周：了解基于像素级图像融合的概念与原理；第 05 周-第 07 周：研究小波变换的基本理论；第 08 周-第 09 周：研究基于小波变换的像素级图像融合算法框架；第 10 周-第 13 周：研究加权多分辨率图像融合算法；第 14 周-第 16 周：撰写毕业设计论文，论文答辩。五、主要参考书及参考资料1. 潘泉, 于昕, 程咏梅等. 信息融合理论的基本方法与进展J.自动化学报, 2003,5.2. 吴艳. 多传感器数据融合算法研究D. 西安电子科技大学博士学位论文,2003,4.3. 刘贵喜. 多传感器图像融合方法研究D. 西安电子科技大学博士学位论文, 2004,1.4. 何国金, 李克鲁, 胡德永等. 多卫星遥感数据的信息融合 : 理论、方法与实践J. 中国图像图形学报 2003.5. 毛士艺, 赵巍. 多传感器图像融合技术综述J. 北京航空航天大学学报,2005.6. 瞿继双, 王超, 王正志. 基于数据融合的遥感图像处理技术J. 中国图像图形学报,2003.7. 何国金. 小波变换在遥感图像处理中的应用综述J. 遥感信息.8. 黄华等译. 数字图像处理 java 语言算法 M.清华大学出版社，2010.9. 吴艳.多传感器数据融合算法研究.西安电子科技大学博士学位论文,2003,4.10 刘贵喜.多传感器图像融合方法研究.西安电子科技大学博士学位论文,2005.III学生 指导教师 _ _ 系主任 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文I摘 要图像融合是由信息融合发展而来的，是多传感器数据融合的一个重要分支。近年来，图像融合技术在现代航空航天、自动控制、遥感遥测、医学，特别是军事指挥领域中发挥着越来越重要的作用。图像融合把来自多个传感器数据的互补信息合成一幅新的图像，提供比原图像更丰富的视觉信息。图像融合根据信息抽象程度的不同，从低到高分为像素级、特征级和决策级三个层次的融合。像素级融合作为最基本的融合，是特征级融合和决策级融合的基础，因此成为目前研究的热点问题之一。本文研究工作的重点是基于小波变换的像素级图像融合方法，通过大量的图像融合实验，得到部分有价值的结论，具体的工作内容如下：首先简要介绍了小波变换的理论基础、多分辨率分析与离散小波变换快速算法，以及常用的小波函数；其次，讨论了多分辨率图像融合算法的融合框架，在此基础上，给出了目前多分辨率图像融合的主要方法，同时给出了常用的图像融合性能评价指标；最后给出了一种基于边缘的加权多分辨率图像融合方法，给出了一种将图像边缘特征信息同像素级加权融合规则相结合的思想，通过仿真实验说明该方法能够产生良好的融合效果。关键词：图像融合，多分辨率分析，小波变换，边缘特征西北工业大学明德学院本科毕业设计论文IIABSTRACTThe Image fusion is evolved by the information fusion and it is an important branch of multi-sensor data fusion. In recent years, image fusion technology in modern aerospace, automatic control, remote sensing, medicine, particularly in the military field command is playing an increasingly important role. The synthetic image fusion of complementary information from multiple sensor data a new image, provide a richer visual information than the original image. Image fusion based on different information levels of abstraction, from low to high is divided into pixel level fusion, feature-level and decision-making level of the three levels. Pixel level fusion as the basic integration, is the foundation of feature-level fusion and decision level fusion, thus becoming one of the hot issues of the present study. The focus of this study is the pixel-level image fusion method based on wavelet transform, through a large number of image fusion experiments, partially valuable conclusions, specific work as follows: First, a brief introduction of the theoretical basis of the wavelet transform, multi-resolution analysis Fast and discrete wavelet transform algorithm, as well as commonly used wavelet function; secondly, to discuss the multi-resolution image fusion algorithm integration framework, on this basis, given the main method of multi-resolution image fusion, and gives the common image fusion performance evaluation; Finally, based on the weighted edge multi-resolution image fusion method gives an image edge information with pixel-level fusion rule weighted combination of ideas, through simulation experiments show that the fusion method can produce good results.Keywords: image fusion, multi-resolution analysis, wavelet transform, edge features西北工业大学明德学院本科毕业设计论文I目 录第一章 绪 论 .11.1 图像融合技术的概述 .11.1.1 图像融合技术的概念 .11.1.2 像融合技术理论的现状 .21.1.3 图像融合技术的意义 .21.1.4 图像融合技术的分类 .31.2 像素级图像融合概述 .51.2.1 像素级图像融合的原理 .61.2.2 像素级图像融合的主要方法 .61.3 论文结构 .8第二章 小波分析理论基础 .92.1 小波变换 .92.1.1 小波变换的思想 .92.1.2 连续小波基函数 .102.1.3 连续小波变换 .112.1.4 离散小波变换 .122.1.5 二进小波变换 .132.2 多分辨率分析与离散小波快速算法 .132.2.1 多分辨率分析 .132.2.2 尺度函数和尺度 .142.2.3 离散小波变换的快速算法 .152.3 几种常用的小波 .16第三章 多分辨率图像融合 .193.1 多分辨率图像融合框架 .193.1.1 多分辨率分析 .203.1.2 活性测度 .213.1.3 匹配测度 .233.1.4 决策模块 .233.1.5 一致性校验 .24西北工业大学明德学院本科毕业设计论文II3.1.6 合成模块 .253.1.7 近似分量的融合规则 .253.2 目前多分辨率图像融合的主要方法 .263.3 图像融合性能评价 .283.4 小结 .31第四章 基于边缘的加权多分辨率图像融合 .334.1 算法步骤和原理 .344.1.1 多分辨率分析 .344.1.2 边缘特征提取 .354.1.3 像素级图像融合 .354.1.4 择取模块 .354.1.5 合成模块 .364.1.6 多分辨率分析逆运算 .364.2 实验结果及分析 .364.3 小结 .38第五章 全文总结 .405.1 本文的主要工作及结论 .405.2 存在的不足及展望 .40参考文献 .42致 谢 .44毕业设计小结 .45西北工业大学明德学院本科毕业设计论文1第一章 绪 论1.1 图像融合技术的概述1.1.1 图像融合技术的概念图像融合技术是一种先进的综合多个源图像信息的图像处理技术。所谓多源图像融合是对多个传感器采集到的关于同一场景或目标的多个源图像进行适当的融合处理，以获取对同一场景的更为准确、更为全面、更为可靠的图像描述。图像是二维信号，图像融合技术是多源信息融合技术的一个重要分支，因此，图像融合与多传感器信息融合具有共同的优点。通过图像融合可以强化图像中的有用信息、增加图像理解的可靠性、获得更为精确的结果，使系统变得更加实用。同时，使系统具有良好的鲁棒性，例如，可以增加置信度、减少模糊性、改善分类性能等 1。通常在观察同一场景或目标时，由多个不同特性的传感器获取的图像信息是有所差异的，即使是采用相同的传感器，在不同观测时间、不同观测角度获得的信息也不同，图像融合能够充分利用这些在时间或空间上冗余或互补的图像信息，依据一定的融合算法合成一幅满足某种需要的新图像，从而获得对场景的进一步分析、理解以及目标的检测、识别或跟踪。因此，图像融合的目的是充分利用多个待融合源图像中包含的冗余信息和互补信息，融合后的图像应该更适合于人类视觉感知或计算机后续处理。以两个传感器 A、B 为例，其信息构成的示意图如图 1-1 所示。图 1-1 多源图像的信息构成西北工业大学明德学院本科毕业设计论文21.1.2 像融合技术理论的现状虽然信息融合的应用研究已相当广泛，但是目前对信息融合问题的研究都是根据问题和种类，各自建立直观认识原理（即融合准则） ，并在此基础上形成所谓的最佳融合方案。这些研究反映的只是信息融合所固有的面向对象的特点，也就难以构成信息融合这一独立学科所必需的完整理论体系。这一理论短缺现象阻碍了研究者对信息融合本身的深入认识，也使得信息融合在某种程度意义上仅被看成是一种多源信息处理概念， 。就已建成的信息融合系统来看，仅仅是一种简单的信息合成，还没有充分有效地利用多传感器所提供的冗余信息，而且许多研究工作仍属于试探性的，或是仿真性的。同时，信息融合不仅是一门单一的技术，而是一门跨学科的综合理论和方法，信息融合也可以借鉴其它领域的很多新技术，如人工智能技术，优化和神经网络技术等 2。总的来说图像融合技术的研究还刚刚开始，有许多问题急需解决。首先，图像融合技术缺乏理论指导。虽然关于图像融合技术的公开报道很多，但每篇文章都是针对一个具体的应用问题，对图像融合技术还没有一个统一的理论框架。建立图像融合的理论框架是目前的一个发展方向。但是，由于待识别目标及所示用的图像传感器的多样性，统一的数学物理模型和推理算法通常可能不存在或难以建立。因此，首先必须针对具体的目标、不同的传感器，建立合理的数学物理模型和采用相应的融合算法。同时，图像融合算法各自有各自的特点和不足，对于某一特定任务，如何选择最优化的融合算法，如何消除图像融合过程产生的虚假信息，对图像的预处理，包括集合校正、去噪、配准等都是图像处理领域的难题。由于图像的特殊性，在设计图像融合算法时一定要考虑到计算速度和所需的存贮量，如何得到实时、可靠、稳定、实用的融合算法和硬件电路是目前研究的一个热点。另外，建立客观的图像融合技术评价标准也是急需解决的问题。总之，理想的图像融合算法应该具备以下三点功能，实际中采用的图像融合算法要尽量满足这些要求：1、图像融合算法应该尽可能包括待融合图像的所有有用信息。2、图像融合算法不应该产生误导后续图像处理和目标识别的虚假信息。3、图像融合算法应该具有良好的稳定性、鲁棒性，并且最好具备一定的去噪和消除配准误差的容错能力。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文31.1.3 图像融合技术的意义在日常生活或科学研究中，人们使用普通传感器来获取目标场景图像时，必须调节传感器的焦距，通过缩放镜头方可摄取完整的场景目标，但这样获取图像的分辨率是比较低的，因为传感器的分辨率是一定的，拍摄的场景越大分辨率越低。为了得到高分辨率的场景图像就需要缩放传感器的镜头，减小拍摄的视野，但这就得不到理想的目标场景图像，因此需要在场景的大小和分辨率之间进行调整。针对目标场景大小和分辨率之间的折衷问题，图像拼接技术可以对图像之间的一系列空间重叠的部分进行对齐处理，在不降低图像分辨率的条件下获取大视野范围的目标场景图像，由于照相机等成像仪器的视角和大小的局限，不可能一次拍出大范围目标场景的图像照片，图像拼接技术可以利用计算机技术进行自动匹配处理，得到一个无缝的、高清晰的图像来解决这个问题 3。图像拼接技术获得的图像具有比单个传感器得到的图像更高的分辨率和更大的视野范围，在日常生活、工业生产和科学研究中具有很广泛的用途，它在各领域的主要应用有：1、军事应用图像融合在军用方面主要是军事目标的定位、识别、跟踪、侦察，隐蔽武器的探测，战场监控，夜间飞行指导等。所使用的图像类型主要有各种卫星图像如 SP0T 图像、TM 图像、雷达图像数据、热红外图像、航片等。2、国土资源应用国土资源方面包括土地利用的动态监测，森林、海洋资源调查，环境调查与监测，洪涝灾害的预测与评估等都要用到融合技术。处理的图像数据类型主要有各种卫星图像如 TM 图像、SPOT 图像、SAR 图像等。3、遥感图像处理这里的遥感图像处理主要是对各种图像资源进行分析。图像融合技术还广泛的应用在导航、摄影、医学等领域。在摄影中的图像处理方面，主要是清晰度的处理问题，常用在多焦点情况下。在医学上，主要是对两种不同类型的图像解剖结构图像(CT、 MRI、B 超等)和功能图像(SPECT、PET 等) 进行融合。1.1.4 图像融合技术的分类西北工业大学明德学院本科毕业设计论文4根据信息表征层次的不同，多传感器信息融合可分为数据级融合、特征级融合、决策级融合。这样通常相应地把图像融合分为以下三大类：像素级（Pixel-level）图像融合、特征级（ Feature-level）图像融合、决策级（ Decision-level）图像融合。1、像素级图像融合像素级融合是直接在原始数据层上进行的融合，这是最低层次的融合。这种融合的主要优点是能保持尽可能多的现场数据，提供其它融合层次所不能提供的更丰富、精确、可靠的信息。像素级图像融合有利于图像的进一步分析、处理与理解（如场景分析/监视、图像分割、特征提取、目标识别、图像恢复等等） ，像素级图像融合可能提供最优决策和识别性能。图 1-2 像素级图像融合在进行像素级图像融合之前，必须对参加融合的各图像进行精确的配准，其配准精度一般应达到像素级。这也是像素级图像融合所具有的局限性，除此之外，像素级图像融合处理的数据量太大，处理时间长，实时性差。像素级图像融合通常用于多源图像复合、图像分析和理解，是实际中应用最广泛的图像融合方法，也是特征级图像融合和决策级图像融合的基础。2、特征级图像融合特征级融合属于中间层次，它先对来自各传感器的原始信息进行特征提取（特征可以是目标的边缘、方向、速度等） ，然后对特征信息进行综合分析和处理。若传感器获得的数据是图像数据，则特征就是从图像像素信息中抽象提取出来的，典型的特征信息有线型、边缘、纹理、光谱、相似亮度区域、相似景深区域等，然后实现多传感器图像特征融合及分类。特征级融合的优点在于实现了可观的信息压缩，有利于实时处理，并且由于所提取的特征直接与决策分西北工业大学明德学院本科毕业设计论文5析有关，因而融合结果能最大限度地给出决策分析所需要的特征信息。在模式识别、图像处理和计算机视觉等领域，人们已经对特征提取和基于特征的图像分类、分割问题进行了深入的研究，但是，至今这一问题仍是困扰计算机视觉研究领域的一个难题，有待于从融合角度进一步研究和提高。图 1-3 特征级图像融合3、决策级图像融合决策级融合是根据一定的准则以及每个决策的可信度做出最优决策。它是图像融合的最高层次。在每个传感器已完成了目标提取与分类之后，融合系统根据一定的准则以及每个决策的可信度做出决策融合处理。此种融合实时性好、灵活性高、通信量小、抗干扰能力强并且具有一定的容错能力，系统对信息传输带宽要求很低；但其预处理代价较高，图像中原始信息的损失最多。目前，决策级融合的主要方法有：贝叶斯估计法、神经网络法、模糊聚类法及专家系统等。决策级融合具有良好的实时性和容错性，但其预处理代价高。图 1-4 决策级图像融合1.2 像素级图像融合概述像素级图像融合是最基本、最重要的图像融合方法，同时也是获取信息最西北工业大学明德学院本科毕业设计论文6多、检测性能最好、适用范围最广、实施难度最大的一种融合方法。可以说，像素级图像融合是特征级图像融合以及决策级图像融合的基础。本文所讨论的图像融合主要是指像素级图像融合。1.2.1 像素级图像融合的原理一个完整的像素级图像融合过程如图 1-5 所示，像素级图像融合可简单的描述为把多个传感器得到的图像，经过去噪、时间配准、空间配准和重采样后，再运用某种融合算法得到合成图像的过程。在这几个步骤中，时间和空间的配准是非常重要的，其精度直接影响到图像融合算法的效果。对图像进行配准后，就可应用某一融合算法对图像进行合成。图 1-5 中画圈部分就是图像融合算法，它是本课题研究的主要内容。图 1-5 像素级图像融合流程图1.2.2 像素级图像融合的主要方法目前，像素级图像融合采用的主要方法有以下几种：1、加权平均法加权平均法是一种最简单的多幅图像融合方法，也就是对多幅原图像的对应像素点进行加权处理。2、IHS（IntensityHue Saturation，亮度色度饱和度）方法将图像的 RGB 模型转换成 HIS 模型。在 HIS 空间，对 3 个相互独立且具有明确物理意义的分量 I，H，S 进行运算，也就是进行多幅图像的融合，再将融合结果反变换回 RGB 空间进行显示。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文73、PCA（Principal Component Analysis，主分量分析）方法PCA 方法将一个内部相关变量表示的数据集转化为一个由初始变量线性组合的非相关的数据集，然后对其主成分进行融合置换处理。4、HPF（High-Pass Filter ，高通滤波器）方法HPF 方法先对图像数据进行高通滤波，此时获得的结果相应于图像的点、线、边缘、脊等特征，然后再将这些特征数据以一定的取舍规则融合至低分辨率的图像，从而使其获得更好的空间分辨率。5、金字塔方法金字塔图像融合算法是现在较为常用的图像融合方法。在这类算法中，原图像不断地被滤波，形成一个塔状结构。在塔的每一层都用一种融合算法对这一层的数据进行融合，从而得到一个合成的塔式结构。然后对合成的塔式结构进行重构，得到合成图像。按照塔式结构形成方法的不同，金字塔图像融合算法可分为高斯拉普拉斯金字塔、梯度金字塔、比率低通金字塔、形态学金字塔，其中较为常用的是高斯拉普拉斯金字塔。一幅图像和高斯核函数卷积后，再进行下采样，就得到图像在较粗分辨率上的逼近。这时图像的分辨率只有原图的一半，对原图像反复执行这个操作，就得到高斯金字塔。在高斯金字塔中，求两层图像之间的差异可得到带通滤波图像，这就是拉普拉斯金字塔。拉普拉斯金字塔实质上是基于局部亮度差异的分解结构。如果原始图像有 N/2 个像素点，则拉普拉斯金字塔中的总数据量为4N2/3。这说明拉普拉斯金字塔中不同分辨率的细节信息彼此相关。当要融合的多传感器图像差别很大时，这种相关性就容易引起算法的不稳定。而基于正交小波变换的多分辨融合算法就可克服这个缺点 5。6、小波变换方法基于小波变换的图像融合，就是对原始图像进行小波变换，将其分解在不同频段的不同特征域上，然后在不同的特征域内进行融合，构成新的小波金字塔结构，再用小波逆变换得到合成图像的过程。小波变换的多分辨结构可解决图像灰度特性不同给图像融合带来的困难。正交小波变换去除了两相邻尺度上图像信息差的相关性，所以基于小波变换的图像融合技术能克服拉普拉斯金字塔的不稳定性。在小波分解过程中，由于图西北工业大学明德学院本科毕业设计论文8像的数据量不变，同时各层的融合可并行进行，所以其计算速度和所需的存贮量都要优于拉普拉斯金字塔。正是由于小波变换的优良特性，基于小波变换的图像融合方法成为了目前国内外像素级图像融合方法的研究热点，本文主要研究利用小波变换的像素级图像融合方法。1.3 论文结构本论文的结构安排：第 1 章：介绍了图像融合技术在国内外的研究现状，并描述了其概念、意义和分类，给出了图像融合中常用的传感器，由于本文的研究范畴主要是像素级图像融合，因此文中解释了该层次融合的原理和方法。第二章：本章主要介绍了小波的理论基础和一些小波特性，其中重点介绍了图像的多分辨率分析思想。小波变换是基于小波分解快速图像配准算法和多分辨率图像融合算法的基础，是融合效果的保证。第三章：本章主要是对像素级多分辨率图像融合方法进行研究，因此文中介绍了像素级多分辨率图像融合框架，采用小波变换作为多分辨率分析工具对其理论框架的各个部分进行了详细的解释，并且依据其框架理论，对现行主要的多分辨率图像融合算法进行了总结。此外，文中还对目前主要的图像融合性能评价方法进行了阐述。第四章：本章主要介绍了一种基于边缘的加权多分辨率图像融合方法，该方法给出了一种将图像边缘信息同像素级加权融合规则相结合的思想。实验结果表明，基于边缘的加权多分辨率图像融合算法能够产生良好的视觉效果。第五章：本章总结了本文研究工作的成果和结论，阐述了研究中存在的问题和不足，提出了今后科研工作的设想和对图像融合研究领域的展望。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文9第二章 小波分析理论基础2.1 小波变换小波分析（Wavelet Analysis）是在现代调和分析的基础上发展起来的一门新兴学科，其基础理论知识涉及到函数分析、傅立叶分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，同时具有理论深刻和应用十分广泛双重意义。我们只对小波分析的整体思想进行介绍。2.1.1 小波变换的思想小波变换继承和发展了 Gabor 的加窗傅立叶变化的局部化思想，并克服了傅立叶变换窗口大小不能随频率变化的不足，其基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(成为母子波)，然后将其伸缩和平移得到了一个函数族(称之为小波基函数)，以便在一定的条件下，任一能量有限信号可按其函数族进行时频分解，基函数在时-频相平面上具有可变的时间-频率窗，以适应不同分辨率的需求。b1 b202021aab图 2-1 小波变换的时频平面的划分在加窗傅立叶变换中，一旦窗函数选定，在时频相平面中窗口的大小是固定不变的，不随时频位置(t，f)而变化，所以加窗傅立叶变换的时 -频分辨率是固定不变的，小波变换的时频相平面如图 2-1 所示，窗函数在时频相平面中随中心频率变换而改变，在高频处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信西北工业大学明德学院本科毕业设计论文10号进行时-频分析的要求。它非常适合于分析突变信号和不平稳信号。况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通滤波器的特性，并且可用快速算法实现，因而常用于滤波、降噪、基频提取等。但对平稳信号来说，小波分析的结果不如傅立叶变换直观，而且母小波的不唯一性给实际应用带来了困难 6。小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，只提供信号的频域信息，而不提供信号的任何时域信息，因此无法表述信号的时频局域性质，而这性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。2.1.2 连续小波基函数小波函数的确切定义为：设 为一平方可积函数，也即 ，若)(tRLt2)(其傅立叶变换满足 dR2则称 为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性)(t条件。连续小波基函数 的定义为：将小波母函数 进行伸缩和平移，设其)(,ta )(t伸缩因子( 又称尺度因子) 为 a，平移因子为 ，令其平移伸缩后的函数为 ， )(,ta则有:(2-1)Ratta ,02/1,称 为依赖于参数 的小波基函数，由于尺度因子 a、平移因子 是)(,ta, 取连续变化的值，因此称 为连续小波基函数。它们是由同一母函数 经)(,ta )(t伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数 窗口宽度为 ，窗口)(t中心为 ，则相应可求得连续小波 的窗口中心为 ，窗口宽度0t )(,ta 0,a为 。同样，设 为 的傅立叶变换，其频域窗口中心为 ，窗a, 0口宽度为 ，设 的傅立叶变换为 ，则有:)(,ta)(,a西北工业大学明德学院本科毕业设计论文11(2-2)aeja21,所以，其频域窗口中心为 0,窗口宽度为 a1,可见，连续小波 的时、频域窗口中心及宽度均随尺度 a 的变化而伸缩，)(,t若我们称 为窗口函数的窗口面积，由于t(2-3)tatta1,所以连续小波基函数的窗口面积不随参数 而变。这正是海森堡测不准,原理证明的： 大小是相互制约的，乘积 ，且只有当 为t 21t )(tGaussian 函数时，等式才成立。由此可得到如下几点结论：(1)尺度的倒数 在一定意义上对应于频率 ，即尺度越小，对应频率越高，a1尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号；(2)在任何 值上，小波的时、频窗口的大小 和 都随频率 (或者 )的 ta1变化而变化。这是与 STFT 的基的不同之处；(3)在任何尺度 、时间 上，窗口面积 保持不变，也即时间、尺度at分辨率是相互制约的不可能同时提的很高；(4)由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。通常将通带宽度与中心频率的比值称为带通滤波器的品质因数，通过计算可以发现，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度而变化，是一组频率特性等 的带通滤波器组 7。aQ2.1.3 连续小波变换将任意 空间中的函数 在小波基下进行展开，称这种展开为函数RL2)(tf的连续小波变换(Continue Wavelet Transform,简记为 CWT)，其表达式为)(tf(2-4)dtatftfaWTRaf )(1),(,(由 CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，西北工业大学明德学院本科毕业设计论文12同傅立叶变换相似，称 为小波变换系数。由于小波基不同于傅立叶基，,aWTf因此小波变换和傅立叶变换有许多不同之处。其中最重要的是，小波基具有尺度 a、平移 两个参数。因此，将函数在小波基下展开就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。与 STFT 不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时间窗很大，而当分析高频(对应小尺度)信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的规律。2.1.4 离散小波变换由连续小波的概念知道，在连续变化的尺度 及时间 值下，小波基函数a具有很大的相关性，体现在不同点上的 CWT 系数满足重建核方程，因此)(,ta信号 的连续小波变换系数 的信息量是冗余的。虽然在某些情况下，f ,aWTf其冗余性是有益的(例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用 CWT，以牺牲计算量、存储量为代价来获得最好的结果)，但在很多情况下，我们希望在不丢失原信号 信息的情况下，尽量减小小波变换系数的冗余度。tf减小小波变换系数冗余度的作法是将小波基函数的 、 限定在一些离散a点上取值。一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取(m 为整数， ，一般取 )。ma010a20a关于位移的离散化，当 时， 。通常对 进行均匀离ta, 散取值，以覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，要求采样间隔 满足 Nyquist 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通常的 2 倍。每当 增加 1，尺度m增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是采样间a隔可以增大一倍。因此，如果尺度 时 的间隔为 ，则在尺度为 时，0msT2间隔可取为 。此时 可表示为smT2ta,(2-5)ntmn2, Z,西北工业大学明德学院本科毕业设计论文13任意函数 的离散小波变换为tf(2-6)dttfnmWTnmRf ,2.1.5 二进小波变换对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的 ，20a，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变0化，我们称这类小波为二进小波，表示为(2-7)ktk2,2二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点 7。2.2 多分辨率分析与离散小波快速算法2.2.1 多分辨率分析 多分辨率分析(Multi-Resolution AnalysisMRA)，又称为多尺度分析是建立在函数空间 8概念上的理论。但其思想的形成来源于工程，其创建者 S.mallat是在研究图像处理问题时建立这套理论。当时研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer 正交小波基的提出，使得 Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量” 。这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样滤波器组不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机由远及近的接近目标，在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，可观测到目标的细微部分。因此随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精的观察目标。这就是多尺度(即多分辨率)的思想。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文14W12W3V3V0V1V2V3 图 2-2 小波空间和尺度空间的包含关系多分辨率分析是指满足下列性质的一系列闭子空间 ：ZjV,(1)一致单调性： 21012V(2)渐近完全性： ；jZRLjZ(3)伸缩规则性： 0)(tftfjjZj(4)平移不变性： ，对所有0Vnn(5)正交基存在性： 存在 ，使得 是 的正交基，即zt0，ntspaVn0nmRdt,小波空间和尺度空间的包含关系如图 2-2 所示。2.2.2 尺度函数和尺度若一个函数 ，它的的整数平移系列 满足Lt2ktk(2-8)Ztkk ,则 可定义为尺度函数(scale function) 。t定义由 在 空间张成的闭子空间为 称为零尺度空间：kRL2 0V(2-9)ZktspanVk,0则对于任意 ，有0tf(2-10)ttfk)(同小波函数相似，假设尺度函数 在平移的同时又进行了尺度的伸缩，t西北工业大学明德学院本科毕业设计论文15得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合：(2-11)2(2)(, tktt jjjkj 则称每一固定尺度 上的平移系列 所张成的空间 为尺度为 的尺度j jVj空间： ZtspanVjkj ,对于任意 ，有jtf(2-12)kjjjk ktatatf 222由此，尺度函数 在不同尺度上其平移系列张成了一系列的尺度空间t。由式 (2-11)随着尺度 的增大，函数 的定义域变大，且实际的平ZjVjtkj,移间隔 也变大，则它的线性组合式(2-12) 不能表示函数(小于该尺度)的细)2(j微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。相反随着尺度的减小，线性组合便能表示函数的更细微(小尺度范围 )变化，因此其张成的尺j度空间所包含的函数增多(包括小尺度信号的大尺度缓变信号)，尺度空间变大。也即随着尺度的减小，其尺度空间增大。2.2.3 离散小波变换的快速算法对于任意函数 ，可以将它分解为细节部分 和大尺度逼近部分 ，0)(Vtf1W1V然后将大尺度逼近部分 进一步分解。如此重复就可以得到任意尺度(或分辨率)上1的逼近部分和细节部分。这就是多分辨率分析的框架。设 为函数 向尺度空间 投影后所得到的 尺度下的概貌信号tfjs)(tfjVj， (2-13)tctckkjkkjis ,2Z其中 ，称为尺度展开系数。ttfcjkj ,若将函数 向不同尺度的小波空间 投影，则可得到不同尺度下的细节)( jW信号 ：tfjd(2-14)Zktdtdtf jkjkjjd ,2, 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文16其中 ，称为小波展开系数。tfdkjkj,)(若将 按以下空间组合展开：RLt2(2-15)jJjjVWL2其中 J 为任意设定的尺度，则(2-16)tctdtf kjkjJjk , 当 时，上式变为J(2-17)tdtfkjjk,即对应于 时的离散小波变换综合公式(或逆小波变换)。1BA时的小波框架为正交小波基，所以常称式(2-16)、(2-17) 为离散正交小1波变换综合公式。由此可知，离散正交小波变换同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理论为正交小波变换提供了数学上的理论基础 9。2.3 几种常用的小波同傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题。1、Haar 小波A.Haar 于 1990 年提出一种正交函数系，定义如下：(2-18)01)(xH其 它 12/x这是一种最简单的正交小波，即 (2-19)(dxnt ,212、Daubechies(dbN)小波系该小波是 Daubechies 从两尺度方程系数 出发设计出来的离散正交小波。kh西北工业大学明德学院本科毕业设计论文17一般简写为 dbN，N 是小波的阶数。小波 和尺度函数吁中的支撑区为 2N-1。的消失矩为 N。除 N1 外(Haar 小波)，dbN 不具对称性即非线性相位 ；dbN 没有显式表达式(除 N1 外)。但 的传递函数的模的平方有显式表达式。kh假设 ，其中，