导数与不等式证明(绝对精华)

1 二轮专题二轮专题 十一 十一 导数与不等式证明导数与不等式证明 学习目标 1 会利用导数证明不等式 2 掌握常用的证明方法 知识回顾 一级排查 应知应会一级排查 应知应会 1 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数 利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题 比如要证明对任意 都有 可设 只要利用导数 xba xgxf xgxfxh 说明在 上的最小值为即可 xhba 0 二级排查 知识积累二级排查 知识积累 利用导数证明不等式 解题技巧总结如下 1 利用给定函数的某些性质 一般第一问先让解决出来 如函数的单调性 最值等 服 务于第二问要证明的不等式 2 多用分析法思考 3 对于给出的不等式直接证明无法下手 可考虑对不等式进行必要的等价变形后 再去 证明 例如采用两边取对数 指数 移项通分等等 要注意变形的方向 因为要利用函数的 性质 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式 4 常用方法还有隔离函数法 放缩法 常与数列和基本不等式一起考 maxmin xgxf 查 换元法 主元法 消元法 数学归纳法等等 但无论何种方法 问题的精髓还是构造 辅助函数 将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题 5 建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式 有许多题都是利用泰勒展开 式放缩得来 三极排查 易错易混三极排查 易错易混 用导数证明数列时注意定义域 2 课堂探究 一 作差 商 法 例 1 证明下列不等式 1 xe x 1ln xx x x 1 1ln 1x 1 2 x ln x 1 x 2 0 2 sin x x x 二 利用证明不等式 maxmin xgxf 例 2 已知函数 2 2 ln 1 1 e x e xgRbaxab x axxf 1 若函数处取得极小值 0 求的值 2 xxf在ba 2 在 1 的条件下 求证 对任意的 总有 2 21 eexx 21 xgxf 3 变式 证明 对一切 都有成立 0 x exe x x 21 ln 三 构造辅助函数或利用主元法 例 3 已知为正整数 且求证 nm 1nm mn nm 1 1 变式 设函数 xxfln 22 xxg1 x 1 试判断在定义域上的单调性 1 2 xgxfxxF 2 当时 求证 ba 0 22 2 ba aba afbf 4 四 分析法证明不等式 例 4 设 函数 若曲线在点处的切线与轴平行 1 aaexxf x 1 2 yf x Px 且在点处的切线与直线平行 是坐标原点 证明 M m nOPO1 2 3 e am 变式 已知函数 xxxfln 2 求函数的单调区间 xf 证明 对任意的 存在唯一的 使 0 ts sft 设 中所确定的关于 的函数为 证明 当时 有 st tgs 2 et 2 1 ln ln 5 2 t tg 5 五 隔离函数 例 5 已知函数 ln mxexf x 设是的极值点 求并讨论的单调性 0 x xfm xf 当时 证明 2 m xf0 变式 已知函数其中 且 Rxxnxxf n Nn2 n 1 讨论的单调性 xf 2 设曲线与轴正半轴的交点为 曲线在点处的切线方程为 求证 xfy xPP xgy 对于任意的正实数 都有 x xgxf 3 若关于的方程有两个正实数根 求证 x 为实数aaxf 21 x x 2 1 12 n a xx 6 六 与数列结合 例 6 已知函数 3ln axxaxf Ra 1 求函数的单调区间 xf 2 求证 2 1ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln nNn nn n 变式 1 已知 求证 0 x xx x x 11 ln 1 1 2 求证 2 1 1 3 1 2 1 1ln 1 4 1 3 1 2 1 nNn n n n 7 巩固训练巩固训练 1 已知函数求证 在区间上 函数的图像在函数 ln 2 1 2 xxxf 1 xf 的图像的下方 3 3 2 xxg 2 已知函数 1 ln 1 x f x x 求曲线在点处的切线方程 yf x 00f 求证 当时 0 1x 3 2 3 x f xx 设实数 使得对恒成立 求 的最大值 k 3 3 x f xk x 0 1x k 8 3 已知 求证 21 0 xx n nn xxxx 22 2121 4 设函数 0 1ln x x x xf 1 判断的单调性 xf 2 证明 为自然对数 e n n 1 1 e Nn 9 5 已知函数 xexf x 1 求函数的最小值 xf 2 设不等式的解集为 P 且 求实数 a 的取值范围 axxf P 2 0 3 设 证明 Nn 1 321 e e n n nnn nnnn 6 已知 0 1ln 2 aaxxxf 1 讨论的单调性 xf 2 证明 为自然对数 4 2 1 1 4 3 1 1 4 1 1 n e e Nn 2 n 10 7 已知函数xxxgxxxfln 1ln 1 求函数的最大值 xf 2 设 证明 ba 02ln 2 2 0ab ba gbgag 8 设函数 曲线在点 1 处的切线为 x be xaexf x x 1 ln yf x 1 f 1 2ye x 求 证明 a b 1f x 11 9 已知函数 为常数 的图像与轴交于点 曲线在点处的切 axexf x ayA xfy A 线斜率为 1 求的值及函数的极值 a xf 证明 当时 0 x x ex 2 证明 对任意给定的正数 总