高考数学构造三角形重心巧定两平面法向量的方向论文 新人教版

用心 爱心 专心1 构造三角形重心巧定两平面法向量的方向构造三角形重心巧定两平面法向量的方向 利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小 由于两法向量的夹角未 必就是二面角的平面角的大小 许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方 向 来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角 这种方法虽然简单 但由于空间任 意两个向量都是共面的 要从图形上直接判定他们的方向 需要很强的空间想象能力 好多学生是达不到这种境界的 在最后的复习中 我利用下面的两个定理引导学生用 向量法求二面角的大小时 而学生不知道如何找二面角内的点P 结果给解题带来麻 烦 为了帮助学生更好更快的解题 我们在二面角内总可以找到一个三角形 将此三 角形的重心作为二面角内的点P 可以不加思索的让学生很方便的正确求解 偶有所 得 现结合近年的年高考题 写出来与大家同享 为了解决问题的方便 现给出如下的两个定理 定理定理 1 1 向量m是平面 的一个法向量 点 O 在平面 内 点 P 在平面 外 若 0 OPm 则向量m与向量OP 指向平面 的同侧 如图 1 若0 OPm 则向量 m与向量OP 指向平面 的异侧 如图 2 证明 当0 OPm 时 cosOPmOPm cos 0 2 0 向量 m与向量OP 指向平面 的同侧 同理可证当0 OPm 时 cos 0 2 向量m与向量OP 指向平面 的异侧 定理定理 2 2 点P是二面角 l内一点 点 O 是棱l上一点 向量nm 分别是平面 的一个法向量 二面角 l大小为 若OPm 与OPn 同号 则 nm 若OPm 与OPn 异号 则 nm 如图 3 P m O P m O 图 1图 2 图 3 m n P O 用心 爱心 专心2 证明 一 若OPm 与OPn 异号 1 当0 OPm 且0 OPn 时 由定理 1 易知 向量m与向量OP 指向平面 的同侧 向量n与向量OP 指向平面 的异侧 而OP 始终都是指向两平面外部的 所以向 量m与向量n与两平面的指向互异 所以 nm 2 同理可证当0 OPm 且0 OPn 时 nm 二 若OPm 与OPn 同号 1 当0 OPm 且0 OPn 时 由定理 1 易知 向量m与向量OP 指向平面 的同 侧 向量n与向量OP 也指向平面 的同侧 而OP 始终都是指向两平面外部的 所以向量m与向量n与两平面的指向一致 所以 nm 2 同理可证 当0 OPm 且0 OPn 时 nm 例例 1 1 2008 年全国高考数学北京卷文 如图 在三棱锥P ABC中 AC BC 2 ACB 90 AP BP AB PC AC 求证 PC AB 求二面角B AP C的大小 解 略 由题易知 APC BPC CBPC 以 C 为坐标原点 CB CA CP 所在 直线分别为x轴 y轴 z 轴 建立空间直角坐标系 0 2 0 A 则 0 0 2 B 0 0 0 C 2 0 0 P AP中点 1 1 0 M 2 2 0 AP 0 2 2 BA 2 0 0 PC 设平面 BAP 的一个法向量为 1111 zyxn 则由 0 0 1 1 APn BAn 可得 022 022 11 11 zy yx 即 111 zyx 故可取 1 1 1 1 n 设平面 APC 的一个法向量为 2222 zyxn 则由 0 0 2 2 PCn APn 可得 02 022 2 22 z zy 即0 22 zy 故可取 0 0 1 2 n 由于二面角的棱 AP 的中点 1 1 0 M 而BPC 在二面角CAPB 内 图 4 M A B C P z xy 用心 爱心 专心3 则BPC 的重心 Q 3 2 0 3 2 3 1 1 3 2 MQ 3 2 1 nMQ 3 2 2 nMQ 1 nMQ 与 2 nMQ 异号 二面角CAPB 的大小 与 21 n n的大小相等 所以 3 3 coscos 21 21 21 nn nn nn 故二面角CAPB 的大小为 3 3 arccos 点评点评 利用三角形重心判定两平面法向量的方向 先在棱上找一点 为方便期间 一般找二面角棱的中点 再结合定理就可以求出二面角的大小 例例 2 2 2008 年全国高考数学全国卷理科 18 题 四棱锥ABCDE 中 底面BCDE为矩形 侧面ABC 底面BCDE 2BC 2CD ABAC 证明 ADCE 设CE与平面ABE所成的角为45 求二面角CADE 的大小 解 略 取 CB 的中点 O ABAC AO CB 又侧面ABC 底面BCDE AO 底面 BCDE 以 O 为坐标原点 OC Oy OA 所在直线分别为x轴 y轴 z 轴 建立空间直 角坐标系 则 0 0 1 B 0 0 1 C 0 2 1 D 0 2 1 E 设 0 0 aA 因此 2 1 aAD 0 2 0 CD 0 0 2 DE 二面角的 棱 AD 的中点 2 2 2 2 1 a M 设平面 CAD 的法向量为 1111 zyxn 则由ADnCDn 11 可得 02 02 111 1 azyx y 0 1 11 y azx 故可取 1 0 1 an 同 理可得平 ADE 的一个法向量为 2 0 2 an 由于棱 AD 的中点 2 2 2 2 1 a M 而 ABC 在二面角EADC 内 且ABC 的重心 Q 的坐标为 3 0 0 a 6 2 2 2 1 a MQ 3 2 1 a nMQ 3 22 2 a nMQ 1 nMQ 与 2 nMQ 同号 所求的二面角大小 与 21 n n的大小互补 图 5 M B C E D x y O z A 用心 爱心 专心4 所以 21 2 coscos 22 21 21 21 aann nn nn 由于 CE 与平面 ABE 成45 的 角 由题易知平面ABE 的一个法向量为 1 0 an 而 0 2 2 CE 所以 61 2 45sin 2 a a CEn CEn 3 2 a 10 10 cos 21 nn 10 10 coscos 21 nn 故二面角CADE 的大小 10 10 arccos 点评点评 法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补 要注意法向量的方向 利用法向量确定两平面的夹角的基本思想是 根据所求得的法向量的坐标 确定两 法向量的指向 可以以坐标原点为起点 以两坐标对应的点分别为终点 若两法向量 的指向互异 则它们的夹角与二面角的大小相等 若两法向量的指向一致 则它们的 夹角与二面角的大小是互补的 即向量 2 1 nn指向互异 则 21 21 21 coscos nn nn nn 21 21 arccos nn nn 若向量 2 1 nn指向一致 则 21 21 21 co