高中数学 2.2.1对数与对数运算（三）全册精品教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心1 2 2 12 2 1 对数与对数运算 三 对数与对数运算 三 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握换底公式 会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数 并能进行一些简 单的化简和证明 2 能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答 2 过程与方法 1 结合实例引导学生探究换底公式 并通过换底公式的应用 使学生体会化归与转化的数 学思想 2 通过师生之间 学生与学生之间互相交流探讨 培养学生学会共同学习的能力 3 通过应用对数知识解决实际问题 帮助学生确立科学思想 进一步认识数学在现实生活 生产中的重要作用 3 情感 态度与价值观 1 通过探究换底公式的概念 使学生体会知识之间的有机联系 感受数学的整体性 激发 学生的学习兴趣 培养学生严谨的科学精神 2 在教学过程中 通过学生的相互交流 培养学生灵活运用换底公式的能力 增强学生数 学交流能力 同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质 二 教学重点 难点 1 教学重点 1 换底公式及其应用 2 对数的应用问题 2 教学难点 换底公式的灵活应用 三 教学方法 启发引导式 通过实例研究引出换底公式 既明确学习换底公式的必要性 同时也在公式推导中应用对数的 概念和对数的运算性质 在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例 便于学生理解换 底公式的本质 培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力 利用换底公式 化异为同 是解决有关对数问题的基本思想方法 它在求值或恒等变形中起着 重要作用 在解题过程中应注意 1 针对具体问题 选择恰当的底数 2 注意换底公式 用心 爱心 专心2 与对数运算性质结合使用 3 换底公式的正用与逆用 四 教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计 意图 提出 问题 我们学习了对数运算法则 可以看到对数 的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形 若在解题过程中 遇到对数的底数不相同时怎 么办 师 从对数的定义可以知道 任何不等于 1 的正数都可以作为对 数的底 数学史上 人们经过大量 的努力 制作了常用对数 自然对 数表 只要通过查表就能求出任意 正数的常用对数或自然对数 这样 如果能将其他底的对数转换为以 10 或 e 为底的对数 就能方便地求出 任意不为 1 的正数为底的对数 产生 认知 冲突 激发 学生 的学 习欲 望 概念 形成 1 探求换底公式 明确换底公式的意义 和作用 例如 求我国人口达到 18 亿的年份 就 是计算x log1 01 13 18 的值 利用换底公式与对 数的运算性质 可得 x log1 01 13 18 01 1 lg 13 18 lg 01 1 lg 13lg18lg 0043 0 1139 1 2553 1 32 8837 33 年 师 你能根据对数的定义推导 出下面的换底公式吗 logaN a N c c log log a 0 且 a 1 c 0 且c 1 N 0 师生讨论并完成 当a 0 且a 1 时 若ab N 则 logaN b 在 的两边取以c c 0 且 c 1 为底的对数 则 logcab logcN 即blogca logcN b a N c a log log 由 得 推导 换底 公式 用心 爱心 专心3 由此可得 如果人口年增长率控制在 1 那么从 2000 年初开始 大约经过 33 年 即到 2032 年底我国的人口总数可达到 18 亿 logaN a N c c log log c 0 且c 1 一般地 logaN a N c c log log a 0 且 a 1 c 0 且c 1 N 0 这 个公式称为换底公式 应用 举例 多媒体显示如下例题 生板演 师组织 学生进行课堂评价 例 1 计算 1 log34 log48 log8m log416 求m的值 2 log89 log2732 3 log25 log4125 5log 2log 3 3 例 1 分析 在利用换底公式进 行化简求值时 一般情况是根据题 中所给的对数式的具体特点选择恰 当的底数进行换底 如果所给的对 数式中的底数和真数互不相同 我 们可以选择以 10 为底数进行换底 1 解 原方程等价于 3lg 4lg 4lg 8lg 8lg lgm 2 即 log3m 2 m 9 2 解法一 原式 8lg 9lg 27lg 32lg 2g31 3g21 3g31 2g51 9 10 解法二 原式 8log 9log 2 2 27log 32log 2 2 3 3log2 2 3log3 5 2 9 10 3 解 原式 log25 log255 5log2 2log 3 3 2 1 log2255 log52 2 1 log25 2 5 log52 掌握 换底 公式 的应 用 用心 爱心 专心6 合作探究 现在我们来用已学过的对数知 识解决实际问题 例 2 20 世纪 30 年代 里克特 C F Richter 制订了一种表明地震能量大 小的尺度 就是使用测震仪衡量地震能量的等 级 地震能量越大 测震仪记录的地震曲线的 振幅就越大 这就是我们常说的里氏震级M 其 计算公式为M lgA lgA0 其中 A是被测地震 的最大振幅 A0是 标准地震 的振幅 使用 标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的 距离造成的偏差 1 假设在一次地震中 一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20 此时标准地震的振幅是 0 001 计算这次地震 的震级 精确到 0 1 2 5 级地震给人的震感已比较明显 计 算 7 6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振 幅的多少倍 精确到 1 4 5 log25 log52 4 5 小结 1 不同底的对数要尽 量化为同底的对数来计算 2 在第 3 小题的计算过 程中 用到了性质 log m a Mn m n logaM及换底公式 logaN a N b b log log 利用换底公式可以 证明 logab a b log 1 即 logablogba 1 例 2 解 1 M lg20 lg0 001 lg 001 0 20 lg20000 lg2 lg104 4 3 因此 这是一次约为里氏 4 3 级的地震 2 由M lgA lgA0可得 M lg 0 A A 0 A A 10M A A0 10M 当M 7 6 时 地震的最大振幅 为A1 A0 107 6 当M 5 时 地震的最大振幅为 A2 A0 105 所以 两次地震的最大振幅之 比是 2 1 A A 5 0 6 7 0 10 10 A A 107 6 5 102 6 398 掌 握利 用对 数知 识解 决实 际问 题 用心 爱心 专心7 例 3 科学研究表明 宇宙射线在大气中能 够产生放射性碳 14 碳 14 的衰变极有规律 其 精确性可以称为自然界的 标准时钟 动植 物在生长过程中衰变的碳 14 可以通过与大气 的相互作用得到补充 所以活着的动植物每克 组织中的碳 14 含量保持不变 死亡后的动植物 停止了与外界环境的相互作用 机体中原有的 碳 14 按确定的规律衰减 我们已经知道其 半衰期 为 5730 年 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的 残余量约占原始含量的 76 7 试推算马王堆 古墓的年代 答 7 6 级地震的最大振幅大 约是 5 级地震的最大振幅的 398 倍 合作探究 可以看到 虽然 7 6 级地震和 5 级地震仅相差 2 6 级 但 7 6 级地震的最大振幅却是 5 级地震最大振幅的 398 倍 所以 7 6 级地震的破坏性远远大于 5 级 地震的破坏性 例 3 解 我们先推算生物死亡 t年后每克组织中的碳 14 含量 设 生物体死亡时 体内每克组织中的 碳 14 的含量为 1 1 年后的残留量 为x 由于死亡机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减 所以生物体的 死亡年数t与其体内每克组织的碳 14 含量P有如下关系 死亡年数t 12 碳 14 含量P xx2 3 t x3 xt 因此 生物死亡t年后体内碳 14 的含量P xt 由于大约每过 5730 年 死亡 生物体的碳 14 含量衰减为原来的 一半 所以 2 1 x5730 用心 爱心 专心8 课堂练习 1 课本 P79练习第 4 题 2 在 a b log 1 b a lg lg log n b a n log n b an b a ab ab log1 log1 a 0 a 1 b 0 b 1 ab 1 n N N 中和 logab相等的有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 1 个 3 若 log34 log48 log8m log42 求m 4 1 已知 log53 a log54 b 试用 a b表示 log2512 2 已知 log1227 a 求 log616 于是x 5730 2 1 2 1 5730 1 这样生物死亡t年后体内碳 14 的含量P 2 1 5730 t 由对数与指数的关系 指数式 P 2 1 5730 t 可写成对数式t log 5730 2 1 P 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土 时碳 14 的残余量约占原始含量的 76 7 即P 0 767 那么t log 5730 2 1 0 767 由计算器可得t 2193 所以 马王堆古墓是近 2200 年前的遗址 课堂练习答案 1 1 1 2 1 3 4 5 2 A 3 3 4 1 2 ba 2 a a 3 3 4 归纳1 换底公式及其应用条件 注意字母的范学生先自回顾反思 教师点评完形成 用心 爱心 专心1 总结围 2 解决实际问题的一般步骤 善 知识 体系 课后 作业 作业 2 2 第三课时 习案学生独立完成巩固 新知 提升 能力 备选例题 例 1 已知 log189 a 18b 5 求 log3645 解析 方法一 log189 a 18b 5 log185 b 于是 218 log 59 log 36log 45log 45log 18 18 18 18 36 2log1 5log9log 18 1818 a baba 2 9 18 log1 18 方法二 log189 a 18b 5 lg9 alg18 lg5 blg8 9lg18lg2 5lg9lg 9 18 lg 59lg 36lg 45lg 45log 2 36 a ba a ba 218lg18lg2 18lg18lg 小结 1 利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数 进一步应用对数运算 的性质 2 题目中有指数式和对数式时 要注意指数与对数互化 统一成一种形式 例 2 我们都处于有声世界里 不同场合 人们对音量会有不同的要求 音量大小的单位是分 贝 dB 对于一个强度为I的声波 分贝的定义是 y 10lg 0 I I 这里I0是人耳能听到的声音的 最低声波强度 I0 10 12w m2 当I I0时 y 0 即 dB 0 用心 爱心 专心1 1 如果I 1w m2 求相应的分贝值 2 70dB 时声音强度I是 60dB 时声音强度 I 的多少