高中数学：2.2.1《综合法和分析法》教案（新人教A版选修2-2）

用心 爱心 专心 数学 数学 2 2 1 2 2 1 综合法和分析法综合法和分析法 教案教案 第一课时第一课时 2 2 1 综合法和分析法 一 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用综合法证明问题 了解综合法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 结合综合法的思考过程 特点 选择适当的证明方法 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 1 已知 若 12 a aR 且 12 1aa 则 12 11 4 aa 试请此结论推广猜想 答案 若 12 n a aaR 且 12 1 n aaa 则 12 111 n aaa 2 n 2 已知 a b cR 1abc 求证 111 9 abc 先完成证明 讨论 证明过程有什么特点 二 讲授新课 二 讲授新课 1 1 教学例题 教学例题 出示例 1 已知a b c是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 分析 运用什么知识来解决 基本不等式 板演证明过程 注意等号的处理 讨论 证明形式的特点 提出综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 框图表示 要点 顺推证法 由因导果 练习 已知a b c是全不相等的正实数 求证3 bcaacbabc abc 出示例 2 在 ABC中 三个内角A B C的对边分别为a b c 且A B C成等差 数列 a b c成等比数列 求证 为 ABC等边三角形 分析 从哪些已知 可以得到什么结论 如何转化三角形中边角关系 板演证明过程 讨论 证明过程的特点 小结 文字语言转化为符号语言 边角关系的转化 挖掘题中的隐含条件 内角和 2 2 练习 练习 A B为锐角 且tantan3tantan3ABAB 求证 60AB 提示 算 tan AB 已知 abc 求证 114 abbcac 3 3 小结 小结 综合法是从已知的P出发 得到一系列的结论 12 Q Q 直到最后的结论是Q 运用综合法可以解决不等式 数列 三角 几何 数论等相关证明问题 三 巩固练习 三 巩固练习 1 求证 对于任意角 44 cossincos2 教材 P100 练习 1 题 两人板演 订正 小结 运用三角公式进行三角变换 思维过程 用心 爱心 专心 2 ABC 的三个内角 A B C成等差数列 求证 113 abbcabc 3 作业 教材 P102 A组 2 3 题 第二课时第二课时 2 2 1 综合法和分析法 二 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用分析法证明问题 了解分析法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 选择适当的证明方法 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 1 提问 基本不等式的形式 2 讨论 如何证明基本不等式 0 0 2 ab abab 讨论 板演 分析思维特点 从结论出发 一步步探求结论成立的充分条件 二 讲授新课 二 讲授新课 1 1 教学例题 教学例题 出示例 1 求证3526 讨论 能用综合法证明吗 如何从结论出发 寻找结论成立的充分条件 板演证明过程 注意格式 再讨论 能用综合法证明吗 比较 两种证法 提出分析法 从要证明的结论出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直至最后 把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 框图表示 要点 逆推证法 执果索因 练习 设x 0 y 0 证明不等式 11 2233 32 xyxy 先讨论方法 分别运用分析法 综合法证明 出示例 2 见教材 P97 讨论 如何寻找证明思路 从结论出发 逐步反推 出示例 3 见教材 P99 讨论 如何寻找证明思路 从结论与已知出发 逐步探求 2 2 练习 练习 证明 通过水管放水 当流速相等时 如果水管截面 指横截面 的周长相等 那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大 提示 设截面周长为l 则周长为l的圆的半径为 2 l 截面积为 2 2 l 周长为 l的正方形边长为 4 l 截面积为 2 4 l 问题只需证 2 2 l 2 4 l 3 3 小结 小结 分析法由要证明的结论Q思考 一步步探求得到Q所需要的已知 12 P P 直到 所有的已知P都成立 比较好的证法是 用分析法去思考 寻找证题途径 用综合法进行书写 或者联合使 用分析法与综合法 即从 欲知 想 需知 分析 从 已知 推 可知 综合 双 管齐下 两面夹击 逐步缩小条件与结论之间的距离 找到沟通已知条件和结论的途径 框图示意 三 巩固练习 三 巩固练习 用心 爱心 专心 1 设a b c是的 ABC三边 S是三角形的面积 求证 222 44 3cababS 略证 正弦 余弦定理代入得 2cos42 3sinabCababC 即证 2cos2 3sinCC 即 3sincos2CC 即证 sin 1 6 C 成立 2 作业 教材 P100 练习 2 3 题 第三课时第三课时 2 2 2 反证法 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反 证法的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用反证法证明问题 了解反证法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 选择适当的证明方法 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 1 讨论 三枚正面朝上的硬币 每次翻转 2 枚 你能使三枚反面都朝上吗 原因 偶次 2 提出问题 平面几何中 我们知道这样一个命题 过在同一直线上的三点A B C 不能作圆 讨论如何证明这个命题 3 给出证法 先假设可以作一个 O过A B C 三点 则O在AB的中垂线l上 O又在BC 的中垂线m上 即O是l与m的交点 但 A B C 共线 l m 矛盾 过在同一直线上的三点A B C 不能作圆 二 讲授新课 二 讲授新课 1 1 教学反证法概念及步骤 教学反证法概念及步骤 练习 仿照以上方法 证明 如果a b 0 那么ba 提出反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 假设错误 从而证明了原命题成立 证明基本步骤 假设原命题的结论不成立 从假设出发 经推理论证得到矛盾 矛 盾的原因是假设不成立 从而原命题的结论成立 应用关键 在正确的推理下得出矛盾 与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公 理 定理 事实矛盾等 方法实质 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 即由一个命题与其 逆否命题同真假 通过证明一个命题的逆否命题的正确 从而肯定原命题真实 注 结合准备题分析以上知识 2 2 教学例题 教学例题 出示例 1 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 分析 如何否定结论 如何从假设出发进行推理 得到怎样的矛盾 与教材不同的证法 反设AB CD 被P平分 P不是圆心 连结 OP 则由垂径定理 OP AB OP CD 则过P有两条直线与OP垂直 矛盾 不被P平分 出示例 2 求证3 是无理数 同上分析 板演证明 提示 有理数可表示为 O A B C D P 用心 爱心 专心 m n 证 假设3 是有理数 则不妨设3 m n m n为互质正整数 从而 2 3m n 22 3mn 可见m是 3 的倍数 设m 3p p是正整数 则 222 39nmp 可见n 也是 3 的倍数 这样 m n就不是互质的正整数 矛盾 3 m n 不可能 3 是无理数 练习 如果1a 为无理数 求证a是无理数 提示 假设a为有理数 则a可表示为 p q p q为整数 即 ap q 由