高中数学 3-2-4利用向量知识求空间中的角同步检测 新人教A版选修2-1

1 3 23 2 第第 4 4 课时课时 利用向量知识求空间中的角利用向量知识求空间中的角 一 选择题 1 平面 的斜线l与它在这个平面上射影l 的方向向量分别为a a 1 0 1 b b 0 1 1 则斜线l与平面 所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 l与 所成的角为a a与b b所成的角 或其补角 cos a a b b a a b b a a b b 1 2 a a b b 60 2 08 全国 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等 E是SB的中点 则AE SD所成的角的余弦值为 A B 1 3 2 3 C D 3 3 2 3 答案 C 解析 如图 设棱长为 1 AE 1 2 AB AS 1 2 DC DS DA AE 1 4 1 1 1 2 1 1cos60 2 1 1cos60 3 2 cos AE SD AE SD AE SD 2 1 2 o AB s up6 o AS s up6 SD 3 2 1 1 2 o DC s up6 o DS s up6 o DA s up6 SD 3 2 故选 C 3 3 3 如图 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为 A1B1和BB1的中点 那么直线AM与CN所成的角的余弦值为 A B 3 2 10 10 C D 3 5 2 5 答案 D 解析 解法一 AM AA1 A1M CN CB BN AM CN AA1 A1M CB BN AA1 BN 1 2 而 AM o AA1 s up6 o A1M s up6 o AA1 s up6 o A1M s up6 AA1 2 A1M 2 1 1 4 5 2 同理 如令 为所求角 则 CN 5 2 cos 应选 D AM CN AM CN 1 2 5 4 2 5 解法二 如图以D为原点 分别以DA DC DD1为x轴 y 轴 z轴建立空间直角坐标系 则A 1 0 0 M 1 1 1 2 C 0 1 0 N 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 AM 1 1 2 1 1 2 CN 1 2 1 2 3 故 0 1 0 1 AM CN 1 2 1 2 1 2 AM 02 1 2 2 12 5 2 CN 12 02 1 2 2 5 2 cos AM CN AM CN 1 2 5 2 5 2 2 5 4 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角 点E F分别是AD BC的中点 O是 正方形中心 则折起后 EOF的大小为 A 0 90 B 90 C 120 D 60 120 答案 C 解析 OE 1 2 OA OD OF 1 2 OB OC 2 OE OF 1 4 OA OB OA OC OD OB OD OC 1 4 OA 又 OE OF 2 2 OA cos OE OF 1 4 OA 2 1 2 OA 2 1 2 EOF 120 故选 C 5 把正方形ABCD沿对角线AC折起 当A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线BD与平面ABC所成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 答案 C 解析 翻折后A B C D四点构成三棱锥的体积最大时 平面ADC 平面BAC 设 未折前正方形的对角线交点为O 则 DBO即为BD与平面ABC所成的角 大小为 45 6 在正方体ABCD A1B1C1D1中 若F G分别是棱AB CC1的中点 则直线FG与平面 A1ACC1所成角的正弦值等于 A B 2 3 5 4 4 C D 3 3 3 6 答案 D 解析 解法一 过F作BD的平行线交AC于M 则 MGF即为所求 设正方体棱长为 1 MF GF 2 4 6 2 sin MGF 3 6 解法二 分别以AB AD AA1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体棱长 为 1 则易知平面ACC1A1的一个法向量为n n 1 1 0 F 0 0 G 1 1 1 2 1 2 FG 1 2 1 1 2 设直线FG与平面A1ACC1所成角 则 sin cos n n FG n n FG n n FG 1 2 2 6 2 3 6 7 从点P引三条射线PA PB PC 每两条的夹角都是 60 则二面角B PA C的余 弦值是 A B 1 2 1 3 C D 3 3 3 2 答案 B 解析 在射线PA上取一点O 分别在面PAB PAC内作OE PA OF PA交PB PB 于EF 连接E F 则 EOF即为所求二面角的平面角 在 EOF中可求得 cos EOF 1 3 8 在边长为a的正三角形ABC中 AD BC于D 沿AD折成二面角B AD C后 BC a 这时二面角B AD C的大小为 1 2 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 二 填空题 9 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 1 点D在棱BB1上 且BD 1 则AD 与平面AA1C1C所成角的正弦值为 5 答案 6 4 解析 解法一 取AC A1C1的中点M M1 连结MM1 BM 过D作DN BM 则容易证 明DN 平面AA1C1C 连结AN 则 DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角 在 Rt DAN中 sin DAN ND AD 3 2 2 6 4 解法二 取AC A1C1中点O E 则OB AC OE 平面ABC 以O 为原点OA OB OE为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 在正三角形ABC中 BM AB 3 2 3 2 A B D 1 2 0 0 0 3 2 0 0 3 2 1 AD 1 2 3 2 1 又平面AA1C1C的法向量为e e 0 1 0 设直线AD与平面AA1C1C所成角为 则 sin cos e e AD AD e e AD e e 6 4 解法三 设 a a b b c c BA BC BD 由条件知a a b b a a c c 0 b b c c 0 1 2 又 c c b b AD BD BC 平面AA1C1C的法向量 a a b b BM 1 2 设直线BD与平面AA1C1C成角为 则 sin cos AD BM AD BM AD BM 6 c c b b a a b b AD BM 1 2 a a c c a a b b b b c c b b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 2 c c b b 2 c c 2 b b 2 2b b c c 2 AD AD 2 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 2a a b b sin BM 1 4 1 4 3 4 BM 3 2 6 4 10 在正方体ABCD A1B1C1D1中 则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为 答案 30 解析 解法一 连结BC1 设与B1C交于O点 连结A1O BC1 B1C A1B1 BC1 A1B1 B1C B1 BC1 平面A1B1C A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O OA1B就是A1B与平面 A1B1CD所成的角 设正方体的棱长为 1 在 Rt A1OB中 A1B BO 2 2 2 sin OA1B OA1B 30 BO A1B 2 2 2 1 2 即A1B与平面A1B1CD所成的角为 30 解法二 以D为原点 DA DC DD1分别x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1 则A1 1 0 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 0 DA1 DC 设平面A1B1CD的一个法向量为n n x y z 则Error Error 令z 1 得x 1 n n 1 0 1 又B 1 1 0 0 1 1 A1B cos n n A1B A1B n n A1B n n 1 2 2 1 2 n n 60 A1B 所以A1B与平面A1B1CD所成的角为 30 11 如图所示 ABCD是直角梯形 ABC 90 SA 平面 7 ABCD SA AB BC 1 AD 则SC与平面ABCD所成的角的大小为 1 2 答案 arccos 2 3 3 解析 是平面ABCD的法向量 AS 设与的夹角为 CS AS CS CB BA AS 1 AS CS AS CB BA AS AS AS 1 AS CS CB BA AS 2 CB 2 BA 2 AS 23 cos arccos AS CS AS CS 3 3 3 3 从而CS与平面ABCD所成的角为 arccos 2 3 3 三 解答题 12 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 侧棱PA 底面 ABCD AB BC 1 PA 2 E为PD的中点 3 1 求直线AC与PB所成角的余弦值 2 在侧面PAB内找一点N 使NE 平面PAC 解析 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 0 0 C 1 0 D 0 1 0 P 0 0 2 E 0 1 33 1 2 1 0 0 2 AC 3 PB 3 设与的夹角为 则 AC PB 8 cos AC PB AC PB 3 2 7 3 7 14 AC与PB所成角的余弦值为 3 7 14 2 由于N点在侧面PAB内 故可设N x 0 z 则 x 1 z 由NE 平面 NE 1 2 PAC可得 Error 即Error 化简得Error Error 即N点的坐标为 0 1 3 6 13 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱D1C1 B1C1的中点 求平面EFC与底 面ABCD所成二面角的正切值 解析 以D为原点 为单位正交基底建立空间直角坐标系如图 则 DA DC DD1 C 0 1 0 E 0 1 F 1 1 1 2 1 2 设平面CEF的法向量为n n x y z 则Error CE 0 1 2 1 2 CF 1 2 0 1 Error Error 令z 1 则n n 2 1 1 显然平面ABCD的法向量e e 0 0 1 则 cos n n e e n n e e n n e e 6 6 设二面角为 则 cos tan 6 65 14 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是AB PB的中点 9 1 求证 EF CD 2 在平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 并证明你的结论 3 求DB与平面DEF所成角的大小 解析 以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间 直角坐标系 如图 设AD a 则D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 E a 0 F P 0 0 a a 2 a 2 a 2 a 2 1 0 0 a 0 0 EF DC EF DC a 2 a 2 2 设G x 0 z 则G 平面PAD x z FG a 2 a 2 a 2 x z a 0 0 FG CB a 2 a 2 a 2 a x 0 x a 2 a 2 x z 0 a a FG CP a 2 a 2 a 2 a z 0 z 0 a2 2 a 2 G点坐标为 0 0 a 2 即G点为AD的中点 3 设平面DEF的法向量为n n x y z 由Error 得 Error 即Error 取x 1 则y 2 z 1 n n 1 2 1 cos BD BD n n BD n n a 2a 6 3 6 10 DB与平面DEF所成角大小为 arccos 2 3 6 15 2010 湖南理 18 如图 5 所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中 点 1 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结论 解析 解法一 设正方体的棱长为 1 如图所示 以 为单位正交基底建 AB AD AA1 立空间直角坐标系 1 依题意 得B 1 0 0 E 0 1 A 0 0 0 D 0 1 0 1 2 所以 1 1 0 1 0 BE 1 2 AD 在正方体ABCD A1B1C1D1中 因为AD 平面ABB1A1 所以是平面ABB1A1的一个法向 AD 量 设直线BE与平面ABB1A1所成的角为 则 sin BE AD BE AD 1 3 2 1 2 3 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 2 依题意 得A1 0 0 1 1 0 1 1 1 BA1 BE 1 2 设n n x y z 是平面A1BE得一个法向量 则由n n 0 n n 0 得Error BA1 BE 11 所以x z y z 取z 2 得n n 2 1 2 1 2 设F是棱C1D1上的点 则F t 1 1 0 t 1 又B1 1 0 1 所以 t 1 1 0 而B1F 平面A1BE 于是B1F 平面 B1F A1BE n n 0 t 1 1 0 2 1 2 0 2 t 1 1 0 t F为C1D1的中点 B1F 1 2 这说明在棱C1D1上存在一点F C1D1的中点 使B1F 平面A1BE 解法二 1 如图 a 所示 取AA1的中点M 连结EM BM 因为E是DD1的中点 四边形ADD1A1为正方形 所以EM AD 又在正方体ABCD A1B1C1D1中 AD 平面ABB1A1 所以EM ABB1A1 从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影 EBM直线BE与平面 ABB1A1所成的角 设正方体的棱长为 2 则EM AD 2 BE 3 22 22 12 于是 在 Rt BEM中 sin EBM EM BE 2 3 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 2 在棱C1D1上存在点F 使B1F 平面A1BE 如图 b 所示 分别取C1D1和CD的中点F G 连结EG BG CD1