高中数学：第三章《数系的扩充与复数的引入 复数》学案（新人教A版选修1-2）

用心 爱心 专心 复数复习学案复数复习学案 一 知识结构 二 重点 难点 热点剖析 由于复数在整个高中数学所处的地位的改变 今后高考时复数不会有太多太高的要求 试题数量稳定在一道试题 难度不会太大 复数的概念及复数的运算是复数应用的基础 是高考考查的重点 复数的运算是复数的中心内容 是高考命题的热点 而复数的乘 除 更是考查的重点 主要考查基本运算能力 另外复数的有关概念众多 涉及知识面广 易 与三角 几何 向量知识 不等式等结合起来考查 三 技巧方法 1 设 z a bi a bR 利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法 同时 要学会以整体的角度出发去分析和求解 如果遇到复数就设 z a bi a bR 有时带 来不必要的运算上的困难 若能把握住复数的整体性质 充分运用整体思想求解 则 能事半功倍 2 在简化运算中 如能合理运用 i 和复数的模等有关的性质 常能出奇制胜 事半功倍 所以在学习中注意积累并灵活运用 3 性质 22 zzzz 是复数运算与实数运算相互转化的重要依据 也是把复数看作 整体进行运算的主要依据 在解题中加以认识并逐渐领会 4 学习本章时 应注意联系全面学过的实数的性质 实数的运算内容 以便对复数的知 识有较完整的认识 四 注意点析 1 要注意实数 虚数 纯虚数 复数之间的联系与区别 实数集和虚数集都是复数集的 真子集 它们的并集是复数集 它们的交集是空集 纯虚数集是虚数集的真子集 2 当概念扩展到复数后 实数集 R 中的一些运算性质 概念 关系就不一定适用了 如 不等式的性质 绝对值的定义 偶次方非负等 3 熟练掌握复数乘法 除法的运算法则 特别是除法法则 更为重要 是考试的重点 五 思想方法 1 数形结合这是本章的主要数学思想 例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义 等 图形要画得合乎题意 充分利用图形的直观性 简捷巧妙的解题 2 方程的思想 主要体现在复数相等的充要条件和复数方程 3 转化思想 转化思想是复数的重要思想方法 既然在实数的基础上扩展到复数 自然复 数中的许多问题都可以转化到实数集内解决 如求模运算 复数相等的充要条件及 22 zzzz 等 进行复数与实数间的转化 4 分类讨论思想 它是一种比较重要的解题策略和方法 在复数中它能够使复杂问题简单 数系扩充 复数 复数的概念 复数的运算 定义 代数形式 四则运算 几何意义 用心 爱心 专心 化 从而化整为零 各个击破 5 主要方法有 待定系数法 整体法 待定系数法是利用复数的代数形式 设复数 z a bi 的形式代入 再利用复数相等或其它途径 转化为与 a b 相关的等式 求出 a b 即可得到复数 z 在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点 通过研究问题的 整体形式 整体结构或作某些整体处理 这样往往可以避繁就简 化难为易 顺速解决问 题 六 典例分析 1 基本概念计算类 例 1 若 43 2 21 iziaz 且 2 1 z z 为纯虚数 则实数 a 的值为 解 因为 2 1 z z 25 46 83 25 8463 43 43 43 2 43 2iaaiaia ii iia i ia 又 2 1 z z 为纯虚数 所以 3a 8 0 且 6 4a 0 3 8 a 2 复数方程问题 例 2 证明 在复数范围内 方程 i i ziz 2 55 1 2 i 为虚数单位 无解 证明 原方程化简为 31 1 1 iziziz 设 z x yi x yR 代入上述方程 得 322 1 3122 22 22 yx yx iyixiyx 整理得05128 2 xx 0 16 方程无实数解 所以原方程在复数范围内无解 点评 本题主要考查复数方程等知识 一般是设 Z 的代数形式 利用复数相等的充要条件 转化为代数方程 3 综合类 例 3 设 z 是虚数 z z 1 是实数 且 1 2 1 求 z 的值及 z 的实部的取值范围 2 设 z z M 1 1 求证 M 为纯虚数 3 求 2 M 的最小值 分析 本题考查复数的概念 复数的模 复数的运算及不等式的知识 以及运算能力和推 理能力 解 1 设 z a bi a b0 bR 1 2222 i ba b b ba a a bia bia 因为 是实数 0 b 用心 爱心 专心 所以 1 22 ba 即 z 1 因为 2a 1 0 所以 2 M 2 2 3 1 当 a 1 1 1 a 即 a 0 时上式取等号 所以 2 M 的最小值是 1 点评 本题以复数的有关概念为载体 考查学生的化归能力 考查了均值不等式的应用 综合考查学生运用所学知识解决问题的能力 正是高考的重点 4 创新类 例 4 对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz 2121222111 定义运算 为 1 z 2 z 2121 yyxx 设非零复数 21 在复平面内对应的点分别为 21 P P 点 O 为坐标 原点 若 1 2 0 则在 21OP P 中 21OP P 的大小为 分析 本题立意新颖 解题入口宽 是一道不可多得的好题 解法一 解析法 设 0 21222111 aaibaiba 故得点 111 baP 222 baP 且 2121 bbaa 0 即1 2 2 1 1 a b a b 从而有 21 21 OPOP kk 1 2 2 1 1 a b a b 故 21 OPOP 也即 0 21 90 OPP 解法二 用复数的模 同法一的假设 知 2 1 2 1 2 1 2 1 baOP 2 2 2 2 2 2 2 2 baOP 2 2121 2 21 2 21 ibbaaPP 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 2121 bbaa 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 0 用心 爱心 专心 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 1 OP 2