高中数学：1.6 微积分基本定理教案新人教版选修2

1 高二数学理科导学案高二数学理科导学案 1 6 1 6 微积分基本定理微积分基本定理 学习目标学习目标 知识与技能 通过实例直观了解微积分积分定理的含义 熟练地用微积分积分定理计算微 积分 过程与方法 从局部到整体 从具体到一般的思想 利用导数的几何意义和定积分的概 念 通过寻求导数和定积分之间的内在联系 得到微积分基本定理 进一步得出积分定理 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习 体会事物间的相互转化 对立统一的辩 证关系 培养学生辩证唯物主义观点 提高理性思维能力 学习重点学习重点 直观了解微积分基本定理的含义 并能用定理计算简单的定积分 学习难点学习难点 了解微积分基本定理的含义 学习连接学习连接 导数 定积分 学习过程学习过程 一 一 复习回顾 1 基本初等函数地求导公式 1 2 3 4 5 6 7 8 2 导数运算法则 1 2 3 4 3 连续函数 xf在 ba 上的定积分定义 4 定积分的性质 二 引入新课二 引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分 但其计算过程比较复杂 所以不是求定积分的一般 方法 我们必须寻求计算定积分的新方法 也是比较一般的方法 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动 在时刻 t 时物体所在位置为 S t 速度为 v t v to 则物体在时间间隔 12 T T内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 T T v t dt 另一方面 这段路程还可以通过位置函数 S t 在 12 T T上的增量 12 S TS T 来 表达 即 2 1 T T v t dt 12 S TS T 2 而 S tv t 对于一般函数 f x 设 F xf x 是否也有 b a f x dxF bF a 若上式成立 我们就找到了用 f x的原函数原函数 即满足 F xf x 的数值差 F bF a 来计算 f x在 a b上的定积分的方法 注 1 定理 如果函数 F x是 a b上的连续函数 f x的任意一个原函数 则 b a f x dxF bF a 证明 因为 x x a f t dt 与 F x都是 f x的原函数 故 F x x C axb 其中 C 为某一常数 令xa 得 F a a C 且 a a a f t dt 0 即有 C F a 故 F x x F a x F x F a x a f t dt 令xb 有 b a f x dxF bF a 此处并不要求学生理解证明的过程此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见 还常用 b a F x表示 F bF a 即 b b a a f x dxF xF bF a 该式称之为微积分基本公式或牛顿 莱布尼兹公式 它指出了求连续函数定积分 的一般方法 把求定积分的问题 转化成求原函数的问题 是微分学与积分学之间联系的 桥梁 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系 同时也提供计算定积分的一种有效 方法 为后面的学习奠定了基础 因此它在教材中处于极其重要的地位 起到了承上启下 的作用 不仅如此 它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响 是微积分学中最重要最 辉煌的成果 例例 1 计算下列定积分 3 1 2 1 1dx x 2 3 2 1 1 2 xdx x 解 1 2 例例 2 计算下列定积分 22 00 sin sin sinxdxxdxxdx 由计算结果你能发现什么结论 试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论 解 可以发现 定积分的值可能取正值也可能取负值 还可能是 0 l 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 图 1 6 一 3 定积分的值取正值 且等 于曲边梯形的面积 图 1 6 一 3 2 2 当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时 图 1 6 一 4 定积分的值取负值 且 等于曲边梯形的面积的相反数 4 3 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时 定积 分的值为 0 图 1 6 一 5 且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方 的曲边梯形面积 例例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶 到某处需要减速停车 设汽车以等减速度a 1 8 米 秒 2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离 解 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系 同时它也提供了计算定积分的 一种有效方法 微积分基本定理是微积分学中最重要的定理 它使微积分学蓬勃发展起来 成为一门影响深远的学科 可以毫不夸张地说 微积分基本定理是微积分中最重要 最辉 煌的成果 三 课堂练习三 课堂练习 p55 四 课堂作业四 课堂作业 计算下列定积分 1 2 0 2 4 24 dxxx 2 dx x xx 2 1 2 32 3 dx x x 2 3 2 1 4 dxxx 1 4 1 5 2 0 sin3 dxxx 6 2 1 2 dx x e x 7 1 0 2 dxe x 8 4 6 2cos xdx 9 3 1 2 dx x 10 1 0 2 1 dx x x 11 dx x 2 0 2 2 sin 12 a dxxa 0 22 13 dx x x 1 0 1 五 课堂小结五 课堂小结 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿 莱布 尼兹公式