高中数学奥林匹克竞赛训练题（31）

1 数学奥林匹克高中训练题 数学奥林匹克高中训练题 3131 第一试 一 选择题 本题满分36分 每小题6分 1 训练题31 方程 3511 21 191919 xxx x 实根的个数是 B A 0 B 1 C 2 D 无穷多 2 训练题31 已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为1 点A关于直线CA1 1 BD的对称 点分别为P Q 则P Q两点间的距离是 A A 2 3 2 B 2 2 3 C 2 4 3 D 2 3 4 3 训练题31 已知 coscoscoscos 22 1 cos cos 22 则 coscos 的值等于 A A 1 B 2 1 C 2 D 2 2 4 训练题31 设cossin 55 i 则 973 xxxx的展开式是 C A 1 234 xxxx B 1 24 xxx C 1 234 xxxx D 1 24 xxx 5 训练题31 在圆05 22 xyx内 过点 5 3 2 2 恰有n条弦的长度成等差数列 如果公 差 1 1 6 3 d 那么 n取值的集合是 D A 4 5 6 B 6 7 8 9 C 3 4 5 D 3 4 5 6 6 训练题31 给定平面内的五个点 EDCBA任意三点不共线 由这些点连成4条 线段 每个点至少是一条线段的端点 则不同的连结方式有 D A 120种 B 125种 C 130种 D 135种 二 填空题 本题满分54分 每小题9分 1 训练题31 函数 1 1 2 2 x x xf的递增区间是 1 1 2 训练题31 已知四面体ABCD的体积为V E为棱AD的中点 延长AB到F 使 ABBF 设过FEC 三点的平面交BD于G 则四面体CDGE的体积是 1 3V 2 3 训练题31 满足 xxxxcoscossinsin 的锐角x 4 4 训练题31 设 n S是集合 1 1 11 1 2 42n A 的含有3个元素的所有子集的元素之和 且 a n Sn n 2 4 lim 则极坐标方程 cos2 1 a 表示的曲线是 4a 双曲线的右支 5 训练题31 已知 A B C 是平面上任意三点 且 BCa CAb ABC 则 cb y abc 的最小值是 1 2 2 6 训练题31 如图 有矩形 1221 A A B B中 已 知 1212 2 2A Aa B Ba 以边 12 A A为长轴作椭圆C C的短轴长等于 11 2AB 在C上任取一点P 不同于长 短轴的端点 设直线 12 PB PB于 12 A A的交点分别为 12 M M 则 22 1221 AMA M 2 4a 三 训练题31 本题满分20分 设n为正整数 求证 111112 1 2342122nn 四 训练题31 本题满分20分 在数列 n a中 11 2 8 2 3 2 4 n n n a aan a 求 n a的表 达式 1 2tan 3 2 n n a 五 训练题31 本题满分20分 经过点 2 1 M 作抛物线 2 yx 的四条弦 1 2 3 4 ii PQ i 且 1234 P P P P四点的纵坐标成等差数列 求证 4 4 3 3 2 2 1 1 MQ MP MQ MP MQ MP MQ MP 3 第二试 一 训练题31 本题满分50分 设CD为Rt ABC 斜边AB上的高 12 O O O分别是 ABCACDBCD 的内心 求证 12 OOO 的外接圆半径与ABC 的内切圆半径相等 二 训练题31 本题满分50分 设 a b和 a b分别表示整数 a b的最大公 约数和最小公倍数 求满足 9 9 7a ba babab 的所有整正数 解 三 训练题31 本题满分50分 如图 ABC 的三条内线段 AD BE CF交于点P 用红 兰 两种颜色对AB