高中数学解析圆锥曲线中的“规划”问题

用心 爱心 专心 高中数学解析圆锥曲线中的高中数学解析圆锥曲线中的 规划规划 问题问题 童广鹏 由于规划自身具有直观 简捷的优点 因此在圆锥曲线中对规划思想的考查越来越受 到命题者的青睐 兹举几例说明 一 圆中的规划问题 例 1 动直线所表示的区域边界的曲线形状为01cosysinx A 圆B 椭圆C 抛物线D 双曲线 解 当在变化时 原点到动直线的距离 1 cossin 1cos0sin0 d 22 故动直线表示的就是圆的切线 而这些切线扫过的区域为此圆的外部区域 1yx 22 即所求区域的边界形状为圆 选 A 图 1 例 2 已知平面内一点 求满足条件 R 16 sin2y cos2x y x P 22 的点 P 在平面内所组成的图形的面积 解 R 16 sin2y cos2x y x P 22 点 P 在以为圆心 4 为半径的圆 sin2 cos2 C 上运动 而当在变化时 圆心 C 又在以原点为圆心 16 sin2y cos2x C 22 2 为半径的圆 O 上运动 当点 C 在圆 O 上任意运动时 圆 C 也随之运动 在4yx 22 运动过程中 圆 C 扫过的平面区域就是点 P 在平面内组成的图形 即半径分别为 6 2 的 圆环 其面积为 32 图 2 例 3 在一个居民小区内设计一个边长为 5 米的菱形喷水池 规划者要求 菱形的一条对 角线不大于 6 米 另一条不小于 6 米 问菱形的两条对角线之和的最大值为多少米 解 设菱形对角线的长度分别为 x y 用心 爱心 专心 则25 2 y 2 x 22 即100yx 22 6y 6x 如图 作出直线 直线 y 6 与圆交于一点 6y 6x 6 8 P 则满足条件的点 x y 在弧上运动 AP 令 yxb 则 b 是直线在 y 轴上的截距 由规划知识 bxy 当直线过点时 bxy 6 8 P1468bmax 故对角线和的最大值为 14 图 3 二 椭圆中的规划问题 例 4 椭圆系 都经过点 2 1 画出所有椭圆上满足的1 b y a x 2 2 2 2 0ba 1 y 点的集合表示的图形 解 椭圆系都经过点 2 1 0ba 1 b y a x 2 2 2 2 1 b 1 b 4 1 b 1 a 4 22 22 即5b 由椭圆自身的几何性质 5b y 1 于是 即椭圆系的每个椭圆的短半轴长必在之间 而 2 1 在圆5b1 5 1 上 则经过点 2 1 的椭圆系所扫过的区域是直线的两侧与圆5yx 22 1y 的交集部分 如图阴影部分 5yx 22 图 4 例 5 抛物线在坐标平面上不经过的区域形状为 Rm 1m2mxy 22 用心 爱心 专心 A 椭圆B 圆C 抛物线D 双曲线 解 由于动抛物线经过的区域受变量 m 的影响1m2mxy 22 因此可将 m 视为变量 x y 视为参量 即关于 m 的方程有实数解 01ymxm2 22 于是0 y1 8x 22 整理即8y8x 22 故凡抛物线上的点均在椭圆上及其外部区域中 8y8x 22 反之 凡椭圆上及其外部区域中的点均在动抛物线上 从而抛物线 在坐标平面上不经过的区域形状为椭圆 Rm 1m2mxy 22 图 5 三 抛物线中的规划问题 例 6 平移抛物线 使其顶点的横坐标非负 且顶点到点的距离比到 y 轴x3y2 0 4 1 的距离多 这样得到的所有抛物线所经过的区域是 4 1 A xOy 平面B x2y2 C D x2y2 x2y2 解 由已知 顶点 a b 在以直线为准线 以点为焦点的抛物线上 4 1 x 0 4 1 即ab2 则平移后的抛物线方程应为 bx 3 by 22 整理得0 x3yby2b2 22 由于 Rb 所以0 x3y 8y4 22 即x2y2 故选 B 例 7 已知关于 t 的方程有两个绝对值都不大于 1 的实数根 画出点0yxtt 2 P x y 所在的对应区域 解 设 由已知方程有两个绝对值都不大于 1 的实数根yxtt t f 2 用心 爱心 专心 作出直线 和抛物线 再 1 2