高三数学一轮复习必备 第67课时 第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题（2）

用心 爱心 专心 1 第第 6767 课时 第八章课时 第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 轨迹问题 轨迹问题 2 2 课题 轨迹问题 2 一 复习目标 一 复习目标 1 掌握求轨迹方程的另几种方法 相关点法 代入法 参数法 交规法 2 学会用适当的参数去表示动点的轨迹 掌握常见的消参法 二 知识要点 二 知识要点 1 相关点法 代入法 对于两个动点 00 P xyQ x y 点P在已知曲线上运 动导致点Q运动形成轨迹时 只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量 关系并化为 0 0 xf x y yg x y 然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q的轨迹方 程 2 参数法 交规法 当动点P的坐标 x y之间的直接关系不易建立时 可适当 地选取中间变量t 并用t表示动点P的坐标 x y 从而动点轨迹的参数方程 xf t yg t 消去参数t 便可得到动点P的的轨迹的普通方程 但要注意方程的 等价性 即有t的范围确定出 x y的范围 三 课前预习 三 课前预习 1 已知椭圆1 1625 22 yx 的右焦点为F Q P分别为椭圆上和椭圆外一点 且 点Q分FP的比为2 1 则点P的轨迹方程为 C A1 4875 6 22 yx B1 4875 6 22 yx C1 144225 6 22 yx D1 144 4 225 32 22 yx 2 设动点P在直线01 x上 O为坐标原点 以OP为直角边 点O为直角顶 点作等腰直角三角形OPQ 则动点Q的轨迹是 B A B 两条平行直线 C 抛物线 D 双曲线 3 已知点 P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动 则点 Q xy xy 的轨迹是 B A 圆 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线 用心 爱心 专心 2 4 双曲线 22 1 43 xy 关于直线20 xy 对称的曲线方程是 22 2 2 1 43 yx 5 倾斜角为 4 的直线交椭圆1 4 2 2 y x 于BA 两点 则线段AB中点的轨迹方程 是 4 5 40 5 xyx 四 例题分析 四 例题分析 例 1 动圆 22 1 1Cxy 过原点O作圆的任一弦 求弦的中点的轨迹方程 解 一 直接法 设OQ为过O的任一条弦 P x y 是其中点 则CPOQ 则 0CP OQ 1 0 xy x y 即 22 11 01 24 xyx 二 定义法 0 90OPC 动点P在以 1 0 2 M为圆心 OC为直径的圆上 所求点的轨迹方程为 22 11 01 24 xyx 三 参数法 设动弦PQ的方程为 ykx 由 22 1 1 ykx xy 得 22 1 20kxx 设 1122 P x yQ xy PQ的中点为 x y 则 12 2 1 21 xx x k 2 1 k ykx k 消去k得 22 11 01 24 xyx 例 2 求过点 1 2 A 离心率为 1 2 且以x轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方 程 解 设椭圆下方的焦点 00 F xy 椭圆的下方的顶点为 由定义 1 22 AF 1AF 即点F的轨迹方程是 22 00 1 2 1xy 又 00 3 2 xx yy 点的P轨迹方程为 22 3 1 2 1 2 xy 例 3 设椭圆方程为1 4 2 2 y x 过点 M 0 1 的直线l交椭圆于点 A B O 是 坐标原点 点 P 满足 1 2 OPOAOB 点 N 的坐标为 2 1 2 1 当l绕点 M 旋转时 求 用心 爱心 专心 3 1 动点 P 的轨迹方程 2 NP 的最小值与最大值 1 解法一 直线l过点 M 0 1 设其斜率为 k 则l的方程为 1 kxy 记 11 yxA 22 yxB由题设可得点 A B 的坐标 11 yx 22 yx是方程组 1 4 1 2 2 y x kxy 的解 将 代入 并化简得 032 4 22 kxxk 所以 4 8 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 于是 4 4 4 2 2 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 设点 P 的坐标为 yx则 4 4 4 2 2 k y k k x 消去参数 k 得04 22 yyx 当 k 不存在时 A B 中点为坐标原点 0 0 也满足方程 所以点 P 的轨迹 方程为 0 4 22 yyx 解法二 设点 P 的坐标为 yx 因 11 yxA 22 yxB在椭圆上 所以 1 4 2 12 1 y x 1 4 2 22 2 y x 得0 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 所以 0 4 1 21212121 yyyyxxxx 当 21 xx 时 有 0 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 用心 爱心 专心 4 并且 1 2 2 21 21 21 21 xx yy x y yy y xx x 将 代入 并整理得 0 4 22 yyx 当 21 xx 时 点 A B 的坐标为 0 2 0 2 这时点 P 的坐标为 0 0 也满足 所以点 P 的轨迹方程为 1 4 1 2 1 16 1 2 2 y x 五 课后作业 五 课后作业 1 抛物线xy4 2 经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 A1 2 xy B 1 2 2 xy C 2 1 2 xy D12 2 xy 2 已知椭圆 22 1 94 xy 的左 右顶点分别为 1 A和 2 A 垂直于椭圆长轴的动直线 与椭圆的两个交点分别为 1 P 和 2 P 其中 1 P 的纵坐标为正数 则直线 1 1 AP与 22 A P的 交点M的轨迹方程 A 22 1 94 xy B 22 1 94 yx C 22 1 94 xy D 22 1 94 yx 3 已知抛物线 1 2 Rmmxxy 的顶点为A 那么当m变化时 此抛物线 焦点F的轨迹方程是 4 自椭圆 22 1 204 xy 上的任意一点P向x轴引垂线 垂足为Q 则线段PQ的中 点M的轨迹方程为 5 已知椭圆1 59 22 yx 的两个焦点分别是F1 F2 MF1F2的重心G恰为椭圆上的 点 则点M的轨迹方程为 6 如图 7 设 x yR i j 为直角坐标平面内 x y轴正方向上的单位向量 若向 量 5 axiy j 5 bxiy j 8ab 求点 M x y 的轨迹C的方程 用心 爱心 专心 5 7 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观 测点同时听到了一声巨响 正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s 已 知各观测点到中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音 传播的速度为340 m s 相关各点均在同一平面上 8 设双曲线 22 22 1 xy C ab 0 0 ab 的离心率为e