高中数学《命题及其关系》教案3 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心1 课题 命题及其关系命题及其关系 教学目标 理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法 把充要条件的思想 自觉地运用到解题之中 教学重点 命题条件的充要性的正确判断 教学难点 充分性与必要性的推导顺序 教学手段 多媒体 教学过程备课札记 一 创设情境 由上节内容可知 一个命题条件的充分性和必要性可分为四类 充 分不必要条件 必要不充分条件 既充分又必要条件 充要条件 既不 充分也不必要条件 问题 1 探讨下列生活中名言名句的逻辑关系 1 水滴石穿 2 骄兵必败 3 有志者事竞成 4 头发长 见识短 5 名师出高徒 6 放下屠刀 立地成 佛 7 兔子尾巴长不了 8 不到长城非好汉 9 春回大地 万物复 苏 10 海内存知己 11 蜡炬成灰泪始干 12 玉不琢 不成 器 说明 由于生活语言不可能象数学命题一样准确 因此学生不同观点的 碰撞在所难免 作为教师 只要学生的推断能在某种前提或某个角度下 合乎情理 就应该肯定 在这里答案应该是开放的 不同的观点应允许 共存 关键是只要学生能 学会数学地思维 教师可以根据自己班级的 情况选讲其中的部分 二 活动尝试 在数学中有很多可逆的命题 如 1 若 a 是无理数 则 a 5 是无 理数 2 若 a b 则 a c b c 3 若一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个不等的实根 则判别式 0 这些可逆的命题 反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性 本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题 三 师生探究 问题 2 指出下列命题中 p 是 q 的什么条件 q 是 p 的什么条件 1 p x 2 q x 1 2 p x 1 q x 2 3 p x 0 y 0 q x y2 x 1 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 2 x 1x 2 但 x 2 x 1 p 是 q 的必要条件 q 是 p 的充分 用心 爱心 专心5 条件 3 x 0 y 0 x y 0 x y0 y 0 p 不是 q 的充分条件 p 也不是 q 的必要条件 q 不是 p 的充分条件 q 也不是 p 的必要条件 4 x 0 y 0 x2 y2 0 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 又 x2 y2 0 x 0 y 0 q 是 p 的充分条件 p 是 q 的必要条件 在问题 中 p 既是 q 的充分条件 p 又是 q 的必要条件 此时 我 们统说 p 是 q 的充分必要条件 简称充要条件 下面我们用数学语言来 表述这个概念 四 数学理论 1 相关的概念 如果既有 p q 又有 q p 就记作 p q 我们就说 p 和 q 互为的 充要条 说明 符号 叫做等价符号 p q 表示 p q 且 p q 也表示 p 等价于 q 充要条件 有时还可以改用 当且仅当 来表示 其中 当 表示 充分 仅当 表示 必要 2 充要条件的判断方法 四种 条件 的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系 所 以在判断时应该 确定条件是什么 结论是什么 尝试从条件推出结论 从结论推出条件 方法有 直接证法或间接证 法 确定条件是结论的什么条件 充要性包含 充分性 p q 必要性 q p 这两个方面 缺一不可 五 巩固运用 例 1 两条不重合的直线 l1 l2 共同前提 l1与 l2的斜率分别为 k1 k2 且 k1 k2是 l1 l2的什么条件 延伸 如何改变命题的条件 或结论 使命题的条件是结论的充要条件 呢 把命题的结论改为 l1 l2 且 l1 l2都有斜率 即可 例 2 设 A x 2 x a B y y 2x 3 x A M Z Z x2 x A 求使 M B 的充要条件是什么 解 A x 2 x a M Z Z x2 x A B y y 2x 3 x A y 1 y 2a 3 当 2 a 0 时 M Z a2 Z 4 当 0 a 2 时 M Z 0 Z 4 当 a 2 时 M Z 0 Z a2 当 2 a 2 时 M B 4 2a 3 即 1 2 a 2 当 a 2 时 M B a2 2a 3 即 2 a 3 用心 爱心 专心5 综上可知 所求的充要条件为 1 2 a 3 例 3 求证实系数一元二次方程 2 0 xpxq 有两个异号根的充要条 件是0 q 解析 首先要区分清楚 必要性 充分性 各应证明的命题 分清这 里的条件和结论各是什么 证明 1 先证充分性 0 q 方程 2 0 xpxq 的 2 40pq 方程 2 0 xpxq 有两个不相等的实根 设其为 12 xx 12 0 xxq 方程 2 0 xpxq 有两个异号实根 2 再证必要性 方程 2 0 xpxq 有两个异号实根 设其为 12 xx 12 0 xx 12 xxq 0q 由 1 2 原命题得证 评析 注意 证明充分必要条件 实际上需要证明原命题和逆命题都成 立 它亦等价于证明 1 原命题和否命题都成立 2 逆否命题和逆命题都成立 3 逆否命题和否命题都成立 这种等价转换的思想 就能使思路更广阔 方法更灵活 复杂问题简单 化 六 回顾反思 本节课的主要内容是 充要条件 的判定方法 即如果 p q 且 q p 则 p 是 q 的充要条件 七 课后练习 1 xy 0 是 x y x y 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 2 A B A 是 A B 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 在下列电路图中 闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么条件 用心 爱心 专心5 如图 1 所示 开关 A 闭合是灯泡 B 亮的条件 如图 2 所示 开关 A 闭合是灯泡 B 亮的条件 如图 3 所示 开关 A 闭合是灯泡 B 亮的条件 如图 4 所示 开关 A 闭合是灯泡 B 亮的条件 4 抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 2的充要条件是 5 判断下列各题中条件是结论的什么条件 1 条件 A ax2 ax 1 0 的解集为 R 结论 B 0 a 4 2 条件 p AB 结论 q A B B 6 已知全集 R A x x 3 6 B x x a a N 当 a 为何值时 A 是 B 的充分而不必要条件 A 是 B 的必要而不充分条件 A 是 B 的充要条件 八 参考答案 1 A 2 B3 图 1 充分但不必要条件 图 2 必要但不充分条 件 图 3 充要条件 图 4 既不充分也不必要条件 4 4a b 0 5 解 1 a2 4a 0 即 0 a 4 当 0 a 4 时 ax2 ax 1 0 恒成立 故 B A 而当 a 0 时 ax2 ax 1 0 恒成立 AB 故 A 为 B 的必要不充分条件 2 AB A B B 而当 A B 时 A B B 即 qp p 为 q 的充分不必要条件 6 p 4 时 4x p 0 是 x2 x 2 0 的充分条件 不存在实数 p 使 4x p 0 是 x2 x 2 0 的必要条件 思考题 试寻求关于 x 的方程 x2 mx n 0 有两个小于 1 的正根的一个充 用心 爱心 专心5 要条件 解法 1 关于 x 的方程 x2 mx n 0 有两个小于 1 的正根 方程在 0 1 内有实根 0 1 0 0 1 2 0 0