小升初数学总复习

第一章 数与代数 第一节 数的认识 一 基础知识一 基础知识 一 整数 整数 1 整数的读法和写法 例 读作 三百一十二万一千七百 2 整数的近似数 四舍五入 3 整数的运算 加法 减法 乘法 除法 四则混合运算 4 自然数 5 数的整除 整数 a 除以整数 b b 0 除得的商是整数而没有余数 我们就说 a 能被 b 整除 或者说 b 能整除 a 如果数 a 能被数 b b 0 整除 a 就叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的约数 或 a 的因 数 倍数和约数是相互依存的 个位上是 0 2 4 6 8 的数 都能被 2 整除 个位上是 0 或 5 的数 都能被 5 整除 一个数的各位上的数的和能被 3 整除 这个数就能被 3 整除 一个数各位数上的和能被 9 整除 这个数就能被 9 整除 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除 但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除 一个数的末两位数能被 4 或 25 整除 这个数就能被 4 或 25 整除一个数的末三 位数能被 8 或 125 整除 这个数就能被 8 或 125 整除 偶数 奇数 一个数 如果只有 1 和它本身两个约数 这样的数叫做质数 或素数 一个数 如果除了 1 和它本身还有别的约数 这样的数叫做合数 注意 1 不是质数也不是合数 自然数除了 1 外 不是质数就是合数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 其中每个质数都是这个合数的因数 叫 做这个合数的质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 其中最大的一个 叫做这几个数的最 大公约数 公约数只有 1 的两个数 叫做互质数 成互质关系的两个数 有下列几种情况 1 和任何自然数互质 相邻的两个自然数互质 两个不同的质数互质 当合数不是质数的倍 数时 这个合数和这个质数互质 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个 叫做这几个数的最 小公倍数 二 小数 二 小数 1 小数的读法和写法 2 小数的分类 纯小数 带小数 有限小数 小数部分的数位是有限的小数 叫做有限小数 无限小数 小数部分的数位是无限的小数 叫做无限小数 无限不循环小数 一个数的小数部分 数字排列无规律且位数无限 循环小数 一个数的小数部分 有一个数字或者几个数字依次不断重复出现 这个数 叫做循环小数 三 分数 三 分数 1 分数的意义 把单位 1 平均分成若干份 表示这样的一份或者几份的数叫做分数 在分数里 中间的横线叫做分数线 分数线下面的数 叫做分母 表示把单位 1 平均分成多少份 分数线下面的数叫做分子 表示有这样的多少份 把单位 1 平均分成若干份 表示其中的一份的数 叫做分数单位 2 分数的分类 真分数 假分数 带分数 3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子 分母都比较小的分数 叫做约分 分子分母是互质数的分数 叫做最简分数 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 叫做通分 4 百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数 也叫做百分率或百分比 百分数通常用 来表示 百分号是表示百分数的符号 四 常见的量 四 常见的量 1 时间 2 长度 3 面积 4 体积 5 容积 6 质量 二 能力训练二 能力训练 1 一个九位数 最高位是是奇数中最小的合数 百万位上是最小的质数 万位上是最 大的一位数 千位上是同时能被 2 和 3 整除的一位数 百位上是最小的合数 其余各位上 都是最小的自然数 这个数写作 读作 2 三个连续奇数的和是 645 这三个奇数中 最小的奇数是 3 在一条长 50 米的大路两旁 每隔 5 米栽一棵树 两端都要栽 一共可栽 棵树 4 被减数减去减数 差是 0 4 被减数 减数与差的和是 2 减数是 5 两个数的积是 45 6 一个因数扩大 100 倍 另一个因数缩小到原来的 积是 10 1 6 的分数单位是 它含有 个这样的单位 它的倒数是 7 4 7 的分子加上 12 要使分数的大小不变 分母应加上 7 3 8 一个三位小数 保留两位小数取近似值后是 5 60 这个三位小数最小是 最大是 9 5 是 8 的 8 是 5 的 5 比 8 少 8 比 5 多 10 自然数按因数的个数分 可以分为 A 奇数和偶数B 素数和合数 C 奇数 偶数和 1D 素数 合数 0 和 1 11 已知 a b 5 a b 均为自然数 则 a 和 b 两个数的最大公因数是 A 5B bC aD 1 12 分数单位是 1 11 的最大真分数和最小假分数的和是 A 21 11B 2C 20 11D 1 13 下面各组数 一定不能成为互质数的一组是 A 质数与合数B 奇数与偶数C 质数与质数D 偶数与偶数 14 把 210 分解质因数是 A 210 2 7 3 5 1B 210 2 5 21 C 210 3 5 2 7D 210 2 5 21 1 15 两个奇数的和 A 是奇数B 是偶数 C 可能是奇数 也可能是偶数D 一定不是奇数 16 一个合数至少有 个约数 A 1B 2C 3D 4 17 有 4 5 7 8 这四个数 能组成 组互质数 A 3B 4C 5D 6 18 四位数 3AA1 是 9 的倍数 则 A 19 能同时被 2 3 5 整除的最大三位数是 20 所有能被 3 整除的两位数的和是 三 拓展提高三 拓展提高 1 在 10 以内任意选两个不同的素数 就可以写一个分数 其中最小的是 2 如果 A 和 B 是自然数 并且 A B 5 那么 A 和 B 的最小公倍数是 5 是 的因数 3 两个素数的和是 31 这两个素数的积是 4 将循环小数和转换成分数 3 102 0 215 5 有三十个数 1 64 1 64 1 64 1 64 1 64 如果取每 1 30 2 30 28 30 29 30 个数的整数部分 例如 1 64 的整数部分是 1 1 64 的整数部分是 2 并且将这些的 11 30 整数相加 那么它们的和是多少 6 设一个五位数 其中d b 3 若这个数能被 11 整除 则 a 的范围是abcad c 7 能同时被 2 5 7 整除的最大五位数是 8 六位数 X2010Y 能被 88 整除 则 X Y 的取值分别为多少 A X 9 Y 4B X 7 Y 4C X 9 Y 8D X 8 Y 4 9 有一大筐苹果和梨分成若干堆 如果你一定可以找到这样的两堆 其苹果数之和与 梨数之和都是偶数 最少要把这些苹果和梨分成 堆 10 有两个容器 一个容量为 27 升 一个容量为 15 升 如何利用他们从一桶油中倒出 6 升油来 第二节 比与比例 一 基础知识一 基础知识 1 比的意义和性质 1 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比 是比号 读作 比 比号前面的数叫做比的前项 比号后面的数叫做比的后 项 比的后项不能是零 比的前项除以后项所得的商 叫做比值 同除法比较 比的前项相当于被除数 后项相当于除数 比值相当于商 比值通常用分数表示 也可以用小数表示 有时也可能是整数 根据分数与除法的关系 可知比的前项相当于分子 后项相当于分母 比值相当于 分数值 2 比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数 0 除外 比值不变 这叫做比的基本性质 3 求比值和化简比 求比值的方法 用比的前项除以后项 它的结果是一个数值可以是整数 也可以是 小数或分数 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比 它的结果必须是一个最简比 即 前 后项是互质的数 4 比例尺 数值比例尺 图上距离 实际距离 比例尺 线段比例尺 在图上附有一条注有数目的线段 用来表示和地面上相对应的实际距 离 2 比例的意义和性质 1 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例 组成比例的四个数 叫做比例的项 两端的两项叫做外项 中间的两项叫做内项 2 比例的性质 在比例里 两个外项的积等于两个两个内向的积 这叫做比例的基本性质 3 解比例 根据比例的基本性质 如果已知比例中的任何三项 就可以求出这个数比例中的另外 一个未知项 求比例中的未知项 叫做解比例 3 正比例和反比例 1 成正比例的量 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 他们的关系叫做正比例关系 用字母表示 y x k 一定 2 成反比例的量 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 他们的关系叫做反比例关系 用字母表示 x y k 一定 二 能力训练二 能力训练 1 在比例中 两个内项的积是 6 其中一个外项是 另一个外项 2 3 2 如果 y 5x 那么 x 和 y 成 比例 3 一幅地图上用 5 厘米表示实际距离 20 千米 这幅地图的比例尺是 4 1 2 千克 250 克化成最简整数比是 比值是 5 一个三个角形三个内角度数的比是 1 4 1 这是一个 三角形 6 如果 7x 8y 那么 x y 7 男生人数比女生多 20 则女生人数与男生人数的比是 女生比男生少 8 已知甲数的 1 6 相当于乙数的 1 5 那么甲数的一半相当于乙数的 9 把一堆化肥装入麻袋 麻袋的数量和每袋化肥的重量 A 成正比例B 成反比例C 不成比例 10 和一定 加数和另一个加数 A 成正比例B 成反比例C 不成比例 11 在汽车每次运货吨数 运货次数和运货的总吨数这三种量中 成正比例关系是 成反比例关系是 A 汽车每次运货吨数一定 运货次数和运货总吨数 B 汽车运货次数一定 每次运货的吨数和运货总吨数 C 汽车运货总吨数一定 每次运货的吨数和运货的次数 三 拓展提高三 拓展提高 1 把 280 棵树苗栽在两块长方形地上 一块长 15 米 宽 8 米 另一块长 12 米 宽 4 米 如按面积大小分配栽种 这两块地分别要栽多少棵 2 配制一种农药 其中药与水的比为 1 150 要配制这种农药 755 千克 需要药和水各多少千克 有药 3 千克 能配制这种农药多少千克 如果有水 525 千克 要配制这种农药 需要放进多少千克的药 第三节 计算和巧算 一 基础知识一 基础知识 1 运算定律运算定律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 乘法交换律 a b b a 4 乘法结合律 a b c a b c 5 乘法分配律 a b c a c b c 6 减法的性质 a b c a b c 2 运算顺序运算顺序 1 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同 2 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同 3 没有括号的混合运算 同级运算从左往右依次运算 两级运算先算乘 除法 后 算加减法 4 有括号的混合运算 先算小括号里面的 再算中括号里面的 最后算括号外面的 5 第一级运算 加法和减法叫做第一级运算 6 第二级运算 乘法和除法叫做第二级运算 二 能力训练二 能力训练 1 有 13 个自然数 小红计算它们的平均数精确到百分位是 12 56 老师说最后一个数 字写错了 那么正确的答案应该是 2 直接写出得数 1 2 8 5 0 01 11 45 3 0 1 99 0 1 4 9 0 27 10 5 27 25 4 27 25 4 6 777 9 111 37 7 1 0 625 8 512 8 9 3 计算下列各题 1 123 234 345 456 567 678 2 789 788 3 1627 270 18 25 4 0 888 125 73 999 3 5 6789 6789 6790 6788 三 拓展提高三 拓展提高 1 1 11111 1 23423453456678 978 9 10 2 333 1 234234517 18 1920 2 1 11111111111111 1 1 23423452345234 2 1111111111111111 11213141213141511121314151213141 第二章 空间与图形 第一节 平面图形 一 基础知识一 基础知识 1 长方形 1 特征 2 计算公式 c 2 a b s ab 2 正方形 1 特征 2 计算公式 c 4a s a 3 三角形 1 特征 2 计算公式 s ah 2 3 分类 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按边分 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 4 平行四边形 1 特征 2 计算公式 s ah 5 梯形 1 特征 2 计算公式 s a b h 2 6 圆 1 圆的认识 圆心 半径 直径 2 圆的画法 3 圆的周长 C d C 2 r d 是直径 r 是半径 4 圆的面积 s r2 7 扇形 1 扇形的认识 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 圆上 AB 两点之间的部分叫做弧 读作 弧 AB 2 扇形面积计算公式 2 360 n r 8 环形 1 特征 由两个半径不相等的同心圆相减而成 有无数条对称轴 2 计算公式 s R r 9 轴对称图形 特征 如果一个图形沿着一条直线对折 两侧的图形能够完全重合 这个图形就是轴 对称图形 折痕所在的这条直线叫做对称轴 正方形有 4 条对称轴 长方形有 2 条对称轴 等腰三角形有 2 条对称轴 等边三角形有 3 条对称轴 等腰梯形有一条对称轴 圆有无数条对称轴 菱形有 4 条对称轴 扇形有一条对称轴 二 能力训练二 能力训练 1 一个平行四边形底缩小 10 倍 高扩大 10 倍 这个平行四边形的面积 A 大小与原来相等B 缩小 10 倍 C 扩大 10 倍D 扩大 100 倍 2 将一个长方形拉成一个平行四边形 四条边长度不变 它的面积 A 比原来小B 比原来大C 与原来相等D 无法比较 3 两个完全一样的直角三角形 不可能拼成一个 A 梯形B 正方形C 三角形D 平行四边形 4 在面积为 42 平方米的平行四边形内画一个最大的三角形 这个三角形的面积是 A 21B 30C 14D 42 5 周长都相等 的面积最大 A 正方形B 长方形C 圆D 一样大 6 面积都相等 的周长最大 A 正方形B 长方形C 圆D 三角形 7 下列叙述中 正确的是 A 只有一组对边平行的四边形是梯形 B 矩形可以看作是一种特殊的梯形 C 梯形有两个内角是锐角 其余两个角是钝角 D 梯形的对角互补 8 等腰梯形的上底与高相等 下底是上底的 3 倍 则底角的度数是 A 30 和 150 B 45 和 135 C 60 和 120 D 都是 90 9 菱形和矩形一定都具有的性质是 A 对角线相等 B 对角线互相平分 C 对角线互相垂直 D 每条对角线平分一组对角 10 下列说法正确的是 A 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D 对角线相等的四边形是菱形 三 拓展提高三 拓展提高 1 将一个平行四边形拼成一个长方形 面积 周长 将一个 平行四边形拉成一个长方形 面积 周长 填 增大 或者 减 小 A 变大B 变小C 不变D 无法比较 2 能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备 A 面积相等B 形状相同C 完全一样D 任意两个均可 3 周长相等的一个正方形 一个长方形 一个平行四边形 面积最大 A 正方形B 长方形C 平行四边形D 无法比较 4 把一个平行四边形任意分割成两个梯形 这两个梯形的 总是相等的 A 高B 面积C 上 下底的和D 无法确定 5 一个三角形和一个平行四边形底相等 面积也相等 如果平行四边形的高是 6 厘米 那么三角形的高是 厘米 A 6B 3C 12D 18 6 一个梯形的上底长 36dm 如果补上一块底为 64dm 面积为 64dm2的三角形 就变 成了一个平行四边形 这个梯形的面积是 A 200dm2B 136dm2C 272dm2D 68dm2 第二节 空间图形 一 基础知识一 基础知识 一 长方体 一 长方体 1 特征 2 计算公式 s 2 ab ah bh V sh V abh a 表示长 b 表示宽 h 表示高 二 正方体 二 正方体 1 特征 2 计算公式 S 表 6a v a a 表示棱长 三 圆柱 三 圆柱 1 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面 圆柱有一个曲面叫做侧面 圆柱两个底 面之间的距离叫做高 2 计算公式 S 表 S 侧 S 底 2 V sh 3 四 圆锥 四 圆锥 1 圆锥的认识 2 计算公式 V sh 3 二 能力训练二 能力训练 1 一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等 那么体积比较 A 正方体大B 圆柱体大C 两者一样大D 无法判断 2 一个圆锥的底面半径和高都扩大 2 倍 体积扩大了 A 12 倍B 8 倍C 4 倍D 6 倍 3 一个底面积为 24 平方厘米的圆锥体和一个棱长为 4 厘米的正方体的体积相等 圆锥 的高是 A 3 厘米B 4 厘米C 8 厘米D 12 厘米 4 圆柱底面直径是圆锥底面直径的 1 2 如果高相等 那么圆锥的体积是圆柱体积的 A B C D 1 3 1 6 3 4 4 3 5 把一个棱长 2 分米的正方体锯成两个长方体 表面积总和 A 不变B 增加 4 平方分米 C 增加 8 平方分米D 不一定 第三章 统计与可能性 一 基础知识一 基础知识 一 统计 一 统计 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量 根据数量的多少画成长短不同的直 条 然后把这些直线按照一定的顺序排列起来 优点 很容易看出各种数量的多少 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量 根据数量的多少描出各点 然后把 各点用线段顺次连接起来 优点 不但可以表示数量的多少 而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况 3 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数 用扇形面积表示各部分所占总数的百分数 优点 很清楚地表示出各部分同总数之间的关系 4 平均数 中位数 众数 二 可能性 二 可能性 随机事件的概率 二 能力训练二 能力训练 1 从标有 1 2 3 4 的四张卡片中任抽一张 1 抽到卡片 1 的可能性是 2 抽到卡片 2 4 的可能性是 3 抽到数字小于 4 的卡片的可能性是 2 口袋里有大小相同的 6 个球 1 个红球 2 个白球 3 个黄球 从袋中任意摸出一个 球 1 摸出什么颜色的球的可能性最大 是多少 2 摸出什么颜色的球的可能性最小 是多少 3 摸出不是红球的可能性是多少 3 盒子装有 15 个球 分别写着 1 15 各数 如果摸到是 2 的倍数 小刚赢 如果摸到 不是 2 的倍数 小强赢 1 这样约定公平吗 为什么 2 小强一定会输吗 4 某商品举行促销活动 前 100 名的购买者可以抽奖 一等奖 20 个 二等奖 30 个 三等奖 50 个 1 这次抽奖活动 中奖的可能性是 2 第一个人抽奖中一等奖可能性是 中二等奖的可能性是 中三等奖的可能性是 3 抽奖到一半 已经有 8 人中一等奖 15 人中二等奖 24 人中三等奖 这里李明 第 51 个抽奖 中一等奖的可能性是 中三等奖的可能性是 中三 等奖的可能性是 5 下面记录的是五 3 班第 1 组女生的一次跳远成绩 单位 m 2 83 3 32 2 75 3 17 2 58 2 65 3 24 3 29 3 41 3 26 2 98 3 52 1 这组数据的中位数 平均数各是多少 2 用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适 3 如果 2 80m 以上为及格 有多少名同学及格了 超过半数了吗 6 8 个数的平均数是 2 1 前 3 个数的平均数为 2 6 后 4 个数的平均数为 1 4 第四 个数是多少 第四章 实践与综合应用 一 基础知识一 基础知识 1 1 归一问题归一问题 含义 在解题时 先求出一份是多少 即单一量 然后以单一量为标准 求出所要求 的数量 这类应用题叫做归一问题 数量关系 总量 份数 1 份数量 1 份数量 所占份数 所求几份的数量 另一总量 总量 份数 所求份数 解题思路 先求出单一量 以单一量为标准 求出所要求的数量 2 2 归总问题归总问题 含义 解题时 常常先找出 总数量 然后再根据其它条件算出所求的问题 叫归总 问题 所谓 总数量 是指货物的总价 几小时 几天 的总工作量 几公亩地上的总产 量 几小时行的总路程等 数量关系 1 份数量 份数 总量 总量 1 份数量 份数 总量 另一份数 另一每份数量 解题的思路和方法 先求出总数量 再根据题意得出所求的数量 3 3 和差问题和差问题 含义 已知两个数量的和与差 求这两个数量各是多少 这类应用题叫和差问题 数量关系 大数 和 差 2 小数 和 差 2 解题思路和方法 简单的题目可以直接套用公式 复杂的题目变通后再用公式 4 4 和倍问题和倍问题 含义 已知两个数的和及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之几 要求这两个 数各是多少 这类应用题叫做和倍问题 数量关系 总和 几倍 1 较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 5 5 差倍问题差倍问题 含义 已知两个数的差及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之几 要求这两个 数各是多少 这类应用题叫做差倍问题 数量关系 两个数的差 几倍 1 较小的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 6 6 倍比问题倍比问题 含义 有两个已知的同类量 其中一个量是另一个量的若干倍 解题时先求出这个倍 数 再用倍比的方法算出要求的数 这类应用题叫做倍比问题 数量关系 总量 一个数量 倍数 另一个数量 倍数 另一总量 解题思路与方法 先求出倍数 再用倍比关系求出要求的数 7 7 相遇问题相遇问题 含义 两个运动的物体同时由两地出发相向而行 在途中相遇 这类应用题叫做相遇 问题 数量关系 相遇时间 总路程 甲速 乙速 总路程 甲速 乙速 相遇时间 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 8 8 追及问题追及问题 含义 两个运动物体在不同地点同时出发 或者在同一地点而不是同时出发 或者在 不同地点又不是同时出发 作同向运动 在后面的 行进速度要快些 在前面的 行进速 度较慢些 在一定时间之内 后面的追上前面的物体 这类应用题就叫做追及问题 数量关系 追及时间 追及路程 快速 慢速 追及路程 快速 慢速 追及时间 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 9 9 植树问题植树问题 含义 按相等的距离植树 在距离 棵距 棵数这三个量之间 已知其中的两个量 要求第三个量 这类应用题叫做植树问题 数量关系 线形植树棵数 距离 棵距 1 环形植树棵数 距离 棵距 方形植树 端点不植树 棵数 距离 棵距 4 三角形植树 端点不植树 棵数 距离 棵距 3 面积植树棵数 面积 棵距 行距 解题思路和方法 先弄清楚植树问题的类型 然后可以利用公式 10 10 年龄问题年龄问题 含义 这类问题是根据题目的内容而得名 它的主要特点是两人的年龄差不变 但是 两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化 数量关系 年龄问题往往与和差 和倍 差倍问题有着密切联系 尤其与差倍问题的 解题思路是一致的 要紧紧抓住 年龄差不变 这个特点 解题思路和方法 可以利用 差倍问题 的解题思路和方法 11 11 行船问题行船问题 含义 行船问题也就是与航行有关的问题 解答这类问题要弄清船速与水速 船速是 船只本身航行的速度 也就是船只在静水中航行的速度 水速是水流的速度 船只顺水航 行的速度是船速与水速之和 船只逆水航行的速度是船速与水速之差 数量关系 顺水速度 逆水速度 2 船速 顺水速度 逆水速度 2 水速 顺水速 船速 2 逆水速 逆水速 水速 2 逆水速 船速 2 顺水速 顺水速 水速 2 解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 12 12 列车问题列车问题 含义 这是与列车行驶有关的一些问题 解答时要注意列车车身的长度 数量关系 火车过桥 过桥时间 车长 桥长 车速 火车追及 追及时间 甲车长 乙车长 距离 甲车速 乙车速 火车相遇 相遇时间 甲车长 乙车长 距离 甲车速 乙车速 解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 13 13 时钟问题时钟问题 含义 就是研究钟面上时针与分针关系的问题 如两针重合 两针垂直 两针成一线 两针夹角为 60 度等 时钟问题可与追及问题相类比 数量关系 分针的速度是时针的 12 倍 二者的速度差为 通常按追及问题来对待 11 12 也可以按差倍问题来计算 解题思路和方法 变通为 追及问题 后可以直接利用公式 14 14 盈亏问题盈亏问题 含义 根据一定的人数 分配一定的物品 在两次分配中 一次有余 盈 一次不 足 亏 或两次都有余 或两次都不足 求人数或物品数 这类应用题叫做盈亏问题 数量关系 一般地说 在两次分配中 如果一次盈 一次亏 则有 参加分配总人数 盈 亏 分配差 如果两次都盈或都亏 则有 参加分配总人数 大盈 小盈 分配差 参加分配总人数 大亏 小亏 分配差 解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 15 15 工程问题工程问题 含义 工程问题主要研究工作量 工作效率和工作时间三者之间的关系 这类问题在 已知条件中 常常不给出工作量的具体数量 只提出 一项工程 一块土地 一 条水渠 一件工作 等 在解题时 常常用单位 1 表示工作总量 数量关系 解答工程问题的关键是把工作总量看作 1 这样 工作效率就是工作时 间的倒数 它表示单位时间内完成工作总量的几分之几 进而就可以根据工作量 工作 效率 工作时间三者之间的关系列出算式 工作量 工作效率 工作时间 工作时间 工作量 工作效率 工作时间 总工作量 甲工作效率 乙工作效率 解题思路和方法 变通后可以利用上述数量关系的公式 16 16 正反比例问题正反比例问题 含义 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应 的两个数的比的比值一定 即商一定 那么这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系 叫做正比例关系 正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 反比例应用题 是反比例的意义和解比例等知识的综合运用 数量关系 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键 许多典型应用题都可以 转化为正反比例问题去解决 而且比较简捷 解题思路和方法 解决这类问题的重要方法是 把分率 倍数 转化为比 应用比和 比例的性质去解应用题 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似 17 17 按比例分配问题按比例分配问题 含义 所谓按比例分配 就是把一个数按照一定的比分成若干份 这类题的已知条件 一般有两种形式 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数 另一种是直接给出 份数 数量关系 从条件看 已知总量和几个部分量的比 从问题看 求几个部分量各是多 少 总份数 比的前后项之和 解题思路和方法 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几 把比的前后项相加 求出总份数 再求各部分占总量的几分之几 以总份数作分母 比的前后项分别作分子 再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法 分别求出各部分量的值 18 18 百分数问题百分数问题 含义 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数 百分数是一种特殊的分数 分数常常可以通分 约分 而百分数则无需 分数既可以表示 率 也可以表示 量 而百分数只能表示 率 分数的分子 分母必须是自然数 而百分数的分子可以是小数 百分数有一个专门的记号 在实际中和常用到 百分点 这个概念 一个百分点就是 1 两个百分点就是 2 数量关系 掌握 百分数 标准量 比较量 三者之间的数量关系 百分数 比较量 标准量 标准量 比较量 百分数 解题思路和方法 一般有三种基本类型 1 求一个数是另一个数的百分之几 2 已知一个数 求它的百分之几是多少 3 已知一个数的百分之几是多少 求这个数 百分数又叫百分率 百分率在工农业生产中应用很广泛 常见的百分率有 增长率 增长数 原来基数 100 合格率 合格产品数 产品总数 100 出勤率 实际出勤人数 应出勤人数 100 出勤率 实际出勤天数 应出勤天数 100 缺席率 缺席人数 实有总人数 100 发芽率 发芽种子数 试验种子总数 100 成活率 成活棵数 种植总棵数 100 出粉率 面粉重量 小麦重量 100 出油率 油的重量 油料重量 100 废品率 废品数量 全部产品数量 100 命中率 命中次数 总次数 100 烘干率 烘干后重量 烘前重量 100 及格率 及格人数 参加考试人数 100 19 19 牛吃草牛吃草 问题问题 含义 牛吃草 问题是大科学家牛顿提出的问题 也叫 牛顿问题 这类问题的 特点在于要考虑草边吃边长这个因素 数量关系 草总量 原有草量 草每天生长量 天数 解题思路和方法 解这类题的关键是求出草每天的生长量 20 20 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 含义 这是古典的算术问题 已知笼子里鸡 兔共有多少只和多少只脚 求鸡 兔各 有多少只的问题 叫做第一鸡兔同笼问题 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差 求鸡 兔 各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题 数量关系 第一鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有兔数 实际脚数 2 鸡兔总数 4 2 假设全都是兔 则有鸡数 4 鸡兔总数 实际脚数 4 2 第二鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有兔数 2 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 假设全都是兔 则有鸡数 4 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 解题思路和方法 解答此类题目一般都用假设法 可以先假设都是鸡 也可以假设都 是兔 如果先假设都是鸡 然后以兔换鸡 如果先假设都是兔 然后以鸡换兔 这类问题 也叫置换问题 通过先假设 再置换 使问题得到解决 21 21 方阵问题方阵问题 含义 将若干人或物依一定条件排成正方形 简称方阵 根据已知条件求总人数或 总物数 这类问题就叫做方阵问题 数量关系 1 方阵每边人数与四周人数的关系 四周人数 每边人数 1 4 每边人数 四周人数 4 1 2 方阵总人数的求法 实心方阵 总人数 每边人数 每边人数 空心方阵 总人数 外边人数 内边人数 内边人数 外边人数 层数 2 3 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算 则 总人数 每边人数 层数 层数 4 解题思路和方法 方阵问题有实心与空心两种 实心方阵的求法是以每边的数自乘 空心方阵的变化较多 其解答方法应根据具体情况确定 22 22 商品利润问题商品利润问题 含义 这是一种在生产经营中经常遇到的问题 包括成本 利润 利润率和亏损 亏 损率等方面的问题 数量关系 利润 售价 进货价 利润率 售价 进货价 进货价 100 售价 进货价 1 利润率 亏损 进货价 售价 亏损率 进货价 售价 进货价 100 解题思路和方法 简单的题目可以直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 23 23 存款利率问题存款利率问题 含义 把钱存入银行是有一定利息的 利息的多少 与本金 利率 存期这三个因素 有关 利率一般有年利率和月利率两种 年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分 数 月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数 数量关系 年 月 利率 利息 本金 存款年 月 数 100 利息 本金 存款年 月 数 年 月 利率 本利和 本金 利息 本金 1 年 月 利率 存款年 月 数 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 二 能力训练二 能力训练 1 东西两城相距 75 千米 小东从东向西而走 每小时 6 5 千米 小希从西向东而走 每小时走 6 千米 小辉骑自行车从东向西而行 每小时走 15 千米 三人同时动身 途中小 辉遇见了小希即折回向东行 遇见了小东又折回向西而行 再遇见小希又折回向东行 这 样往返一直到三人在途中相遇为止 小辉共行了多少千米 2 食堂运来一批蔬菜 原计划每天吃 50 千克 30 天慢慢消费完这批蔬菜 后来根据 大家的意见 每天比原计划多吃 10 千克 这批蔬菜可以吃多少天 3 甲乙两车原来共装苹果 97 筐 从甲车取下 14 筐放到乙车上 结果甲车比乙车还多 3 筐 两车原来各装苹果多少筐 4 甲乙丙三数之和是 170 乙比甲的 2 倍少 4 丙比甲的 3 倍多 6 求三数各是多少 5 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米 如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨 问几天后剩下 的玉米是小麦的 3 倍 6 凤翔县今年苹果大丰收 田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元 照这样计算 全 乡 800 亩果园共收入多少元 全县 16000 亩果园共收入多少元 7 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行 甲每小时行 15 千米 乙每小时行 13 千米 两人在距中点 3 千米处相遇 求两地的距离 8 兄妹二人同时由家上学 哥哥每分钟走 90 米 妹妹每分钟走 60 米 哥哥到校门口 时发现忘记带课本 立即沿原路回家去取 行至离校 180 米处和妹妹相遇 问他们家离学 校有多远 9 孙亮打算上课前 5 分钟到学校 他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校 当他走 了 1 千米时 发现手表慢了 10 分钟 因此立即跑步前进 到学校恰好准时上课 后来算了 一下 如果孙亮从家一开始就跑步 可比原来步行早 9 分钟到学校 求孙亮跑步的速度 10 一座大桥长 500 米 给桥两边的电杆上安装路灯 若每隔 50 米有一个电杆 每个 电杆上安装 2 盏路灯 一共可以安装多少盏路灯 11 甲对乙说 当我的岁数曾经是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对甲说 当我 的岁数将来是你现在的岁数时 你将 61 岁 求甲乙现在的岁数各是多少 12 甲船逆水行 360 千米需 18 小时 返回原地需 10 小时 乙