高中数学复习学案(第5讲)函数的解析式与表示方法

用心 爱心 专心 题目题目 第二章函数函数的解析式与表示方法第二章函数函数的解析式与表示方法 高考要求高考要求 1 由所给函数表达式正确求出函数的定义域 2 掌握求函数值域的几种常用方法 3 能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系 求出它的解析式 4 会进行函数三种表示方法的互化 培养学生思维的严密性 多样性 知识点归纳知识点归纳 1 函数的三种表示法 1 解析法 就是把两个变量的函数关系 用一个等式来表示 这个等式叫做函数的 解析表达式 简称解析式 2 列表法 就是列出表格来表示两个变量的函数关系 3 图象法 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2 求函数解析式的题型有 1 已知函数类型 求函数的解析式 待定系数法 2 已知求或已知求 换元法 配凑法 f x f g x f g x f x 3 已知函数图像 求函数解析式 4 满足某个等式 这个等式除外还有其他未知量 需构造另个等式解方程组 f x f x 法 5 应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解题型讲解 例例 1 1 1 已知 求 3 3 11 f xx xx f x 2 已知 求 2 1 lgfx x f x 3 已知是一次函数 且满足 求 f x3 1 2 1 217f xf xx f x 4 已知满足 求 f x 1 2 3f xfx x f x 解 1 33 3 1111 3 f xxxx xxxx 或 3 3f xxx 2x 2x 2 令 2 1t x 1t 则 2 1 x t 2 lg 1 f t t 2 lg 1 1 f xx x 3 设 0 f xaxb a 则3 1 2 1 333222f xf xaxabaxab 用心 爱心 专心 5217axbax 2a 7b 27f xx 4 1 2 3f xfx x 把 中的换成 得 x 1 x 13 2 ff x xx 得 2 3 3 6f xx x 1 2f xx x 注 第 1 题用配凑法 第 2 题用换元法 第 3 题已知一次函数 可用待定系数法 第 4 题用方程组法 例例 1 已知函数 f x 的定义域是 R 则实数 a 的取值范围是 3 13 2 3 axax x Aa B 12 a 0C 12 a 0Da 3 1 3 1 解 由 a 0 或可得 12 a 0 0 3 4 0 2 aa a 答案 B 例例 2 在 ABC 中 BC 2 AB AC 3 中线 AD 的长为 y AB 的长为 x 建立 y 与 x 的函 数关系式 并指出其定义域 解 设 ADC 则 ADB 根据余弦定理得 12 y2 2ycos 3 x 2 12 y2 2ycos x2 由 整理得 y 2 7 3 2 xx 其中 解得 x 2 3 32 0 xx xx x 2 1 2 5 函数的定义域为 2 1 2 5 评述 函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围 同时也要注意变量的实际意 义的要求 例例 3 若函数 f x 的值域为 1 5 求实数 a c cx ax 2 1 解 由 y f x 得 x2y ax cy 1 0 cx ax 2 1 当 y 0 时 ax 1 a 0 当 y 0 时 x R a2 4y cy 1 0 4cy2 4y a2 0 3 3 x x y y x x 1 11 1D D C CB B A A 用心 爱心 专心 1 y 5 1 5 是方程 4cy2 4y a2 0 的两根 5 4 4 1 2 c a c 4 1 5 c a 评述 求 f x a12 a22 0 的值域时 常利用函数的定义域非空这 11 2 1 22 2 2 cxbxa cxbxa 一隐含的条件 将函数转化为方程 利用 0 转化为关于函数值的不等式求解时 要注意 二次项系数为字母时要讨论 例例 4 设定义在 N 上的函数 f x 满足 f n 试求 f 2002 的值 18 13 nff n 2000 2000 n n 解 2002 2000 f 2002 f f 2002 18 f f 1984 f 1984 13 f 1997 1997 13 2010 例例 5 设 f x 2x 1 已知 f m 求 f m 1 2 14 x x 2 解 f m 2m 1 2 1 2 14 m m 2 2m 1 1 2 14 m m 2 f m 2m 1 2m 1 1 2 14 m m m m 2 1 2 1 4 1 2m 1 2m 1 2m 1 1 24 41 mm m 1 2 41 m m 1 2 14 m m 2m 1 1 1 2 1 2 14 m m 22 例例 6 某市有小灵通与全球通两种手机 小灵通手机的月租费为 25 元 接听电话不收费 打出电话一次在 3 min 以内收费 02 元 超过 3 min 的部分为每分钟收费 01 元 不足 1 min 按 1 min 计算 以下同 全球通手机月租费为 10 元 接听与打出的费用都是每分钟 02 元若 某人打出与接听次数一样多 每次接听与打出的时间在 1 min 以内 1 到 2 min 以内 2 到 3 min 以内 3 到 4 min 以内的次数之比为 4 3 1 1 问 根据他的通话次数应该选择什么样 的手机才能使费用最省 注 m 到 m 1 min 以内指含 m min 而不含 m 1 min 解 设小灵通每月的费用为 y1元 全球通的费用为 y2元 分别在 1 min 以内 2 min 以 内 3 min 以内 4 min 以内的通话次数为 4x 3x x x 则 用心 爱心 专心 y1 25 4x 3x x x 02 01x 25 19x y2 10 2 02 4x 04 3x 06x 08x 10 68x 令 y1 y2 即 25 19x 10 68x 解得 x 306 9 4 15 总次数为 4 3 1 1 2 306 551 故当他每月的通话次数小于等于 55 次时 应选择全球通 大于 55 次时应选择小灵通 例例 7 某市收水费的方法是 水费 基本费 超额费 耗损费 若每月用水量不超过最低限 量 am3时 只付基本费 8 元及每户每月的定额耗损费 c 元 若用水量超过 am3时 除了付同 上的基本费和耗损费之外 超过部分每 m3付 b 元的超额费 已知耗损费不超过 5 元 该市一家庭今年一月 二月 三月份的用水量和支付费用如下表所示 月份用水量水费 一月 9m3 9 元 二月 15m3 19 元 三月 22m3 33 元 根据上面表格中的数据求 a b c 解 设每月用水量为 xm3 支付费用为 y 元 由收费方法知 8 0 8 axcaxb axc y 依题意 0 c 5 8 c 13 所以该用户第二 三月份的用水量均大于 am3 将 x 15 x 22 代入上面的第二个式子 得 b 2 2a c 19 cab cab 22 833 15 819 若该用户一月份的用水量大于 am3 则 9 8 2 9 a c 2a c 17 与 2a c 19 矛盾 a 9 将 y 9 代入 y 8 c 得 c 1 a 10 b 2 c 1 例例 8 已知扇形的周长为 10 求扇形半径 r 与面积 S 的函数关系式及此函数的定义域 值 域 解 设扇形的弧长为 l 则 l 10 2r S lr 5 r r r2 5r 2 1 由得 r 5 2 0 0 rl l r 5 S r2 5r 的定义域为 5 5 用心 爱心 专心 又 S r2 5r r 2 且 2 5 4 25 r 2 5 5 当 r 时 S最大 2 5 4 25 又 S 52 5 5 0 S r2 5r r 5 的值域为 0 5 4 25 小结 1 求函数的解析式主要有待定系数法和换元法如果已知函数解析式的构造时 可以用待定系 数法求 如函数为二次函数 可设为 y ax2 bx c a 0 2 根据实际问题求函数表达式 是应用函数知识解决实际问题的基础 在设定或选定变量去 寻求等量关系并求得函数表达式后 还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制 学生练习学生练习 题组一 题组一 1 若 f sinx 2 cos2x 则 f cosx 等于 A2 sin2x B2 sin2xC2 cos2xD2 cos2x 解析 f sinx 2 1 2sin2x 1 2sin2x f cosx f sin x 1 2sin2 x 1 2cos2x 2 cos2x 2 2 答案 D 2 已知 f 则 f x 的解析式可取为 x x 1 1 2 2 1 1 x x A B CD 2 1x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1x x 解析 令 t 则 x x x 1 1 t t 1 1 f t f x 1 2 2 t t 1 2 2 x x 答案 C 3 函数 f x x 1 的图象是 1 1 1 1 1 1 A A o y x 1 1 1 1 1 1 B B o y x 1 1 1 1 1 1 C C o y x 1 1 1 1 1 1 D D o y x 解析 转化为分段函数 y 1 1 1 1 xx xx 答案 B 4 函数 y 的定义域为 值域为 2 2 xx 用心 爱心 专心 答案 1 2 0 2 3 5 函数 y 的值域是 2 2 1 1 x x A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 解法一 y 1 2 2 1 1 x x 2 1 2 x 1 x2 1 0 2 1 y 1 2 1 2 x 解法二 由 y 得 x2 2 2 1 1 x x y y 1 1 x2 0 0 解得 1 y 1 y y 1 1 解法三 令 x tan 2 2 则 y cos2 2 2 tan1 tan1 2 1 cos2 1 即 1 y 1 答案 B 6 如果 f f x 2x 1 则一次函数 f x 解析 设 f x kx b 则 f f x kf x b k kx b b k2x kb b 由于该函数与 y 2x 1 是同一个函数 k2 2 且 kb b 1 k 2 当 k 时 b 1 22 当 k 时 b 1 22 答案 f x x 1 或 f x x 1 2222 7 已知 f x2 4 lg 则 f x 的定义域为 8 2 2 x x 解析 设 x2 4 t 则 t 4 x2 4 t f t lg f x lg x 4 4 4 t t 4 4 t x 用心 爱心 专心 由得 x 4 4 0 4 4 x x x 答案 4 8 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 如图 若矩形底边长为 2x 求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式 并写出其定义域 解 AB 2x 则 x AD 2 2xxl y 2x 2 x2 lx 2 2xxl 2 x 2 由 0 解得 0 x 2 2 02 xxl x 2 l 9 已知函数 f x 则 f lg30 lg3 不等式 xf x 1 2 2 2 2 x xx 10 的解集是 解析 f lg30 lg3 f lg10 f 1 2 f x 1 3 2 33 x xx 当 x 3 时 x x 3 10 2 x 5 故 3 x 5 当 x 3 时 2x 10 x 5 故 5 x 3 总之 x 5 5 答案 2 x 5 x 5 10 定义 符号函数 f x sgnx 01 00 01 x x x 则不等式 x 2 x 2 sgnx的解集是 解析 分类讨论 答案 5 题组二 1 设 f 2x 1 x f 1 x 是 f x 的反函数 则 f 1 2 2 已知函数 f x 则 f f 5 2 1 1 3 1 xx xx 3 在一定范围内 某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系 如果购买 1000 吨 每吨价格为 800 元 购买 2000 吨 每吨为 700 元 一客户购买 400 吨 单价应该是 A820 元 B840 元 C860 元 D880 元 4 若函数 y f x 存在反函数 则方程 f x c c 为常数 2 2x x D DC C B B A A 用心 爱心 专心 A 有且只有一个实根 B 至少有一个实根 C 至多只有一个实根 D 没有实数根 5 已知 f x 1 x x2 1 x2 则 f x 6 函数 f x 是一个偶函数 g x 是一个奇函数 且 f x g x 1 x 1 则 f x 7 设函数 f x f 1 x lgx 1 则 f 10 的值是 8 已知 f x log2 x 1 当且仅当点 x y 在 y f x 的图象上运动时 点 x 2 y 3 在 y g x 的图象上运动 求 y g x 的解析式 9 若函数 f x ax b cx d 与 g