高三数学高考回归课本教案：平面几何

用心 爱心 专心 高考数学回归课本教案高考数学回归课本教案 第十六章第十六章 平面几何平面几何 一 常用定理 仅给出定理 证明请读者完成 梅涅劳斯定理 设 CBA分别是 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上的点 若 CBA三点共线 则 1 BC AC AB CB CA BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上 若 1 BC AC AB CB CA BA 则 CBA三点共线 塞瓦定理 设 CBA分别是 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上的点 若 CCBBAA三线平行或共点 则 1 BC AC AB CB CA BA 塞瓦定理的逆定理 设 CBA分别是 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上的点 若 1 BC AC AB CB CA BA 则 CCBBAA三线共点或互相平行 角元形式的塞瓦定理 CBA分别是 ABC 的三边 BC CA AB 所在直线上的点 则 CCBBAA平行或共点的充要条件是 1 sin sin sin sin sin sin BAB CBB CBC ACC ACA BAA 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形 则 AB CD BC AD AC BD 当且仅当 A B C D 四点共圆时取等号 斯特瓦特定理 设 P 为 ABC 的边 BC 上任意一点 P 不同于 B C 则有 AP2 AB2 BC PC AC2 BC BP BP PC 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线 则三垂足共线 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线 则该点在三角形的外 接圆上 九点圆定理 三角形三条高的垂足 三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点 这 九点共圆 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行 到两圆的幂 即切线长 相等的点构成集合为 一条直线 这条直线称根轴 欧拉定理 ABC 的外心 O 垂心 H 重心 G 三点共线 且 2 1 GHOG 二 方法与例题 1 同一法 即不直接去证明 而是作出满足条件的图形或点 然后证明它与已知图形或点 重合 例 1 在 ABC 中 ABC 700 ACB 300 P Q 为 ABC 内部两点 QBC QCB 100 PBQ PCB 200 求证 A P Q 三点共线 用心 爱心 专心 证明 设直线 CP 交 AQ 于 P1 直线 BP 交 AQ 于 P2 因为 ACP PCQ 100 所以 CQ AC QP AP 1 在 ABP BPQ ABC 中由正弦定理有 2 2 2 sinsinABP AP BAP AB QBP BQQP 2 0 2 sin20sin 70sin30sin 00 ACAB 由 得 2 2 1 1 QP AP QP AP 又因为 P1 P2同在线段 AQ 上 所以 P1 P2重合 又 BP 与 CP 仅有一个交点 所以 P1 P2即为 P 所以 A P Q 共线 2 面积法 例 2 见图 16 1 ABCD 中 E F 分别是 CD BC 上的点 且 BE DF BE 交 DF 于 P 求证 AP 为 BPD 的平分线 证明 设 A 点到 BE DF 距离分别为 h1 h2 则 2 1 2 1 21 hDFShBES ADFABE 又因为 2 1 ABE SS ABCD S ADF 又 BE DF 所以 h1 h2 所以 PA 为 BPD 的平分线 3 几何变换 例 3 蝴蝶定理 见图 16 2 AB 是 O 的一条弦 M 为 AB 中点 CD EF 为过 M 的任意弦 CF DE 分别交 AB 于 P Q 求证 PM MQ 证明 由题设 OM AB 不妨设BDAF 作 D 关于直线 OM 的对称点 D 连结FDDDMDPD 则 DMQPMDDMMD 要证 PM MQ 只需证 MDQMPD 又 MDQ PFM 所以只需证 F P M D共圆 因为 PFD 1800 MDD 1800 DMD 1800 PMD 因为 DD OM AB DD 所以 F P M D四点共圆 所以 MPD MDQ 所以 MP MQ 例 4 平面上每一点都以红 蓝两色之一染色 证明 存在这样的两个相似三角形 它们 的相似比为 1995 而且每个三角形三个顶点同色 证明 在平面上作两个同心圆 半径分别为 1 和 1995 因为小圆上每一点都染以红 蓝 两色之一 所以小圆上必有五个点同色 设此五点为 A B C D E 过这两点作半径并 将半径延长分别交大圆于 A1 B1 C1 D1 E1 由抽屉原理知这五点中必有三点同色 不妨 设为 A1 B1 C1 则 ABC 与 A1B1C1都是顶点同色的三角形 且相似比为 1995 4 三角法 例 5 设 AD BE 与 CF 为 ABC 的内角平分线 D E F 在 ABC 的边上 如果 EDF 900 求 BAC 的所有可能的值 解 见图 16 3 记 ADE EDC 由题设 FDA 2 BDF 2 用心 爱心 专心 由正弦定理 C DECE A DEAE sinsin 2 sin sin 得 2 sin sin sin sin A C CE AE 又由角平分线定理有 BC AB EC AE 又 A BC C AB sinsin 所以 A C A C sin sin 2 sin sin sin sin 化简得 2 cos2 sin sinA 同理 2 cos2 sin sinA ADF BDF 即 2 cos2 cos cosA 所以 cos cos sin sin 所以 sin cos cos sin sin 0 又 3PG 证明 因为 GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA 3 又 G 为 ABC 重心 所以 0 GCGBGA 事实上设 AG 交 BC 于 E 则GCGBGEAG 2 所以0 GCGBGA 所以PGPCPBPA3 所以 3 PGPCPBPAPCPBPA 又因为PCPBPA 不全共线 上式 不能成立 所以 PA PB PC 3PG 6 解析法 例 7 H 是 ABC 的垂心 P 是任意一点 HL PA 交 PA 于 L 交 BC 于 X HM PB 交 PB 于 M 交 CA 于 Y HN PC 交 PC 于 N 交 AB 于 Z 求证 X Y Z 三点共线 解 以 H 为原点 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴 建立直角坐标 系 用 xk yk 表示点 k 对应的坐标 则直线 PA 的斜率为 AP AP xx yy 直线 HL 斜率为 PA AP yy xx 直线 HL 的方程为 x xP xA y yP yA 0 又直线 HA 的斜率为 A A x y 所以直线 BC 的斜率为 A A y x 直线 BC 的方程为 xxA yyA xAxB yAyB 又点 C 在直线 BC 上 所以 xCxA yCyA xAxB yAyB 同理可得 xBxC yByC xAxB yAyB xAxC yAyC 又因为 X 是 BC 与 HL 的交点 所以点 X 坐标满足 式和 式 所以点 X 坐标满足 用心 爱心 专心 xxP yyP xAxB yAyB 同理点 Y 坐标满足 xxP yyP xBxC yByC 点 Z 坐标满足 xxP yyP xCxA yCyA 由 知 表示同一直线方程 故 X Y Z 三点共线 7 四点共圆 例 8 见图 16 5 直线 l 与 O 相离 P 为 l 上任意一点 PA PB 为圆的两条切线 A B 为切点 求证 直线 AB 过定点 证明 过 O 作 OC l 于 C 连结 OA OB BC OP 设 OP 交 AB 于 M 则 OP AB 又因为 OA PA OB PB OC PC 所以 A B C 都在以 OP 为直径的圆上 即 O A P C B 五点共圆 AB 与 OC 是此圆两条相交弦 设交点为 Q 又因为 OP AB OC CP 所以 P M Q C 四点共圆 所以 OM OP OQ OC 由射影定理 OA2 OM OP 所以 OA2 OQ OC 所以 OQ OC OA2 定值 所以 Q 为定点 即直线 AB 过定点 三 习题精选 1 O1和 O2分别是 ABC 的边 AB AC 上的旁切圆 O1与 CB CA 的延长线切于 E G O2与 BC BA 的延长线切于 F H 直线 EG 与 FH 交于点 P 求证 PA BC 2 设 O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC BD 的中点分别为 E F 求证 E O F 三点共 线 3 已知两小圆 O1与 O2相外切且都与大圆 O 相内切 AB 是 O1与 O2的一条外公切线 A B 在 O 上 CD 是 O1与 O2的内公切线 O1与 O2相切于点 P 且 P C 在直线 AB 的同一侧 求证 P 是 ABC 的内心 4 ABC 内有两点 M N 使得 MAB NAC 且 MBA NBC 求证 1 CBCA CNCM BABC BNBM ACAB ANAM 5 ABC 中 O 为外心 三条高 AD BE CF 相交于点 H 直线 ED 和 AB 相交于点 M 直线 FD 和 AC 相交于点 N 求证 1 OB DF OC DE 2 OH MN 6 设点 I H 分别是锐角 ABC 的内心和垂心 点 B1 C1分别是边 AC AB 的中点 已知 射线 B1I 交边 AB 于点 B2 B2 B 射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2 B2C2与 BC 相交于点 K A1为 BHC 的外心 试证 A I A1三点共线的充要条件是 BKB2和 CKC2的面积相 等 7 已知点 A1 B1 C1 点 A2 B2 C2 分别在直线 l1