高中数学《不等式与不等关系》学案1 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 高一数学必修高一数学必修 5 5 不等式与不等关系总复习学案不等式与不等关系总复习学案 教师版教师版 一一 复习复习 1 不等关系 参考教材 73 页的 8 个性质 2 一元二次不等式 2 0 0 axbxca 与相应的函数 2 0 yaxbxc a 相 应的方程 2 0 0 axbxca 之间的关系 判别式 acb4 2 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 0 a 的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 3 一元二次不等式恒成立情况小结 2 0axbxc 0a 恒成立 0 0 a 2 0axbxc 0a 恒成立 0 0 a 4 一般地 直线ykxb 把平面分成两个区域 如图 ykxb 表示直线上方的平面区域 ykxb 表示直线下方的平面区域 说明 1 ykxb 表示直线及直线上方的平面区域 ykxb 表示直线及直线下方的平面区域 2 对于不含边界的区域 要将边界画成虚线 5 基本不等式 1 如果Rba 那么abba2 22 用心 爱心 专心2 2 ab 2 ab 0 0 ab 当且仅当ba 时取 二二 例题与练习例题与练习 例 解下列不等式 1 2 7120 xx 2 2 230 xx 3 2 210 xx 4 2 220 xx 解 1 方程 2 7120 xx 的解为 12 3 4xx 根据 2 712yxx 的图象 可得原不等式 2 7120 xx 的解集是 34 x xx 或 2 不等式两边同乘以1 原不等式可化为 2 230 xx 方程 2 230 xx 的解为 12 3 1xx 根据 2 23yxx 的图象 可得原不等式 2 230 xx 的解集是 31 xx 3 方程 2 210 xx 有两个相同的解 12 1xx 根据 2 21yxx 的图象 可得原不等式 2 210 xx 的解集为 4 因为0 所以方程 2 220 xx 无实数解 根据 2 22yxx 的图象 可得原不等式 2 220 xx 的解集为 练习 1 1 解不等式0 7 3 x x 若改为 3 0 7 x x 呢 2 解不等式 23 1 7 x x 解 1 原不等式 03 07 03 07 x x x x 或 73 xx 该题后的答案 73 xx 用心 爱心 专心3 2 10 0 7 x x 即 710 xx 例 2 已知关于x的不等式 2 0 xmxn 的解集是 51 xx 求实数 m n之 值 解 不等式 2 0 xmxn 的解集是 51 xx 12 5 1xx 是 2 0 xmxn 的两个实数根 由韦达定理知 5 1 5 1 m n 4 5 m n 练习 2 已知不等式 2 0axbxc 的解集为 23 xx 求不等式 2 0cxbxa 的解集 解 由题意 23 2 3 0 b a c a a 即 5 6 0 ba ca a 代入不等式 2 0cxbxa 得 2 650 0 axaxaa 即 2 6510 xx 所求不等式的解集为 11 32 xx 例 3 设2zxy 式中变量 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小 值 解 由题意 变量 x y所满足的每个不等式都表示一个平面区域 不等式组则表示这 些平面区域的公共区域 由图知 原点 0 0 不在公共区域内 当0 0 xy 时 20zxy 即点 0 0 在直线 0 l 20 xy 上 作一组平行于 0 l的直线l 2xyt tR 可知 当l在 0 l的右上方时 直线l上的点 x y 满足20 xy 即0t 而且 直线l往右平移时 t随之增大 由图象可知 当直线l经过点 5 2 A时 对应的t最大 当直线l经过点 1 1 B时 对应的t最小 所以 max 2 5212z min 2 1 13z O y x A C B 430 xy 1x 35250 xy 用心 爱心 专心4 练习 3 设610zxy 式中 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小 值 解 当l与AC所在直线35250 xy 重合时z最大 此时满足条件的最优解有无 数多个 当l经过点 1 1 B时 对应z最小 max 61050zxy min 6 1 10 116z 例 4 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 证明 cba 为两两不相等的实数 abba2 22 22 2bcbc caac2 22 以上三式相加 cabcabcba222 2 222 所以 cabcabcba 222 练习 4 若21xy 求 11 xy 的最小值 解 21xy 1122xyxy xyxy 22 123 32 2 yxyx xyxy 当且仅当 2 21 yx xy xy 即 21 22 2 x y 时取等号 当 22 21 2 xy 时 11 xy 取最小值32 2 三三 课堂小结课堂小结 1 理解一元二次方程 一元二次不等式及二次函数三者之间的关系 掌握一元二次不 等式的解法 2 掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理 3 学会用平面区域表示二元一次不等式组 掌握好简单的二元线性规划问题的解法 解线性规划应用题的一般步骤 设出未知数 列出约束条件 建立目标函数 求最优解 4 掌握好基本不等式及其应用条件 用心 爱心 专心5 四四 课后作业课后作业 1 如果0 0ab 那么 下列不等式中正确的是 A A 11 ab B ab C 22 ab D ab 2 不等式 11 2x 的解集是 D A 2 B 2 C 0 2 D 0 2 3 若bacba R 则下列不等式成立的是 C A ba 11 B 22 ba C 11 22 c b c a D cbca 4 若a b c 0 且a a b c bc 4 23 则 2a b c的最小值为 D A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 23 2 5 不等式 1 2 0 1 x x 的解集是 KEY 1 1 2 xx 6 已知实数 x y满足 30 250 0 0 xy xy x y 则2yx 的最大值是 KEY 0 7 设函数 32lg xxf的定义域为集合 M 函数 1 2 1 x xg的定义域为集 合 N 求 1 集合 M N 2 集合NM NM 解 2 3 032 xxxxM 13 0 1 3 0 1 2 1 xxx x x x x xN或 3 xxNM 2 3 1 xxxNM或 用心 爱心 专心6 8 若1 x 则x为何值时 1 1 x x有最小值 最小值为多少 解 1 x 01 x 0 1 1 x 1 1 x x 1 11 1 x x 1 2 1 12 11 1 x x 当且仅当 1 1 1 x x即0 x时 1 1 1 min x x 用心 爱心 专心7 高一数学必修 5 不等式与不等关系总复习学案 学生版 编写 邓军民 一一 复习复习 1 不等关系 参考教材 73 页的 8 个性质 2 一元二次不等式 2 0 0 axbxca 与相应的函数 2 0 yaxbxc a 相 应的方程 2 0 0 axbxca 之间的关系 判别式 acb4 2 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 0 a 的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 3 一元二次不等式恒成立情况小结 2 0axbxc 0a 恒成立 0 0 a 2 0axbxc 0a 恒成立 0 0 a 4 一般地 直线ykxb 把平面分成两个区域 如图 ykxb 表示直线上方的平面区域 ykxb 表示直线下方的平面区域 说明 1 ykxb 表示直线及直线上方的平面区域 ykxb 表示直线及直线下方的平面区域 2 对于不含边界的区域 要将边界画成虚线 5 基本不等式 1 如果Rba 那么abba2 22 用心 爱心 专心8 2 ab 2 ab 0 0 ab 当且仅当ba 时取 二二 例题与练习例题与练习 例 解下列不等式 1 2 7120 xx 2 2 230 xx 3 2 210 xx 4 2 220 xx 练习 1 1 解不等式0 7 3 x x 若改为 3 0 7 x x 呢 2 解不等式 23 1 7 x x 例 2 已知关于x的不等式 2 0 xmxn 的解集是 51 xx 求实数 m n之 值 用心 爱心 专心9 练习 2 已知不等式 2 0axbxc 的解集为 23 xx 求不等式 2 0cxbxa 的解集 例 3 设2zxy 式中变量 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小 值 用心 爱心 专心10 练习 3 设610zxy 式中 x y满足条件 43 3525 1 xy xy x 求z的最大值和最小 值 例 4 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 练习 4 若 0 x y 且21xy 求 11 xy 的最小值 三三 课堂小结课堂小结 1 理解一元二次方程 一元二次不等式及二次函数三者之间的关系 掌握一元二次不 等式的解法 用心 爱心 专心11 2 掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理 3 学会用平面区域表示二元一次不等式组 掌握好简单的二元线性规划问题的解法 解线性规划应用题的一般步骤 设出未知数 列出约束条件 建立目标函数 求最优解 4 掌握好基本不等式及其应用条件 四四 课后作业课后作业 1 如果0 0ab 那么 下列不等式中正确的是 A 11 ab B ab C 22 ab D ab 2 不等式 11 2x 的解集是 A 2 B 2 C 0 2 D 0 2 3 若bacba R 则下列不等式成立的是 A ba 11 B 22 ba C 11 22 c b c a D cbca 4 若a b c 0 且a a b c bc 4 23 则 2a b c的最小值为 A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 23 2 5 不等式 1 2 0 1 x x 的解集是 6 已知实数 x y满足 30 250 0 0 xy xy x y 则2yx 的最大值是 用心 爱心 专心12 7 设函数 32lg xxf的定义域为集合 M 函数 1 2 1 x xg的定义域为集 合 N 求 1 集合 M N 2 集合NM NM 8 若1 x 则x为何值时 1 1 x x有最小值 最小值为多少 高一数学必修 5 不等式与不等关系专题练习 命题 邓军民 一 选择题 1 已知 a b c R 下列命题中正确的是 A 22 bcacba B babcac 22 用心 爱心 专心13 C ba ba 11 33 D 22 baba 2 设 a b R 且 a b a b 2 则下列不等式成立的是 A 2 ba ab1 22 B 2 ba 1ab 22 C 1 2 ba ab 22 D 1ab 2 ba 22 3 二次方程 22 1 20 xaxa 有一个根比1大 另一个根比1 小 则a的取值 范围是 A 31a B 20a C 10a D 02a 4 下列各函数中 最小值为2的是 A 1 yx x B 1 sin sin yx x 0 2 x C 2 2 3 2 x y x D 2 1yx x 5 已知函数 2 0 yaxbxc a 的图象经过点 1 3 和 1 1 两点 若01c 则 a的取值范围是 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 1 3 6 不等式组 1 31 yx yx 的区域面积是 A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 1 7 已知正数x y满足 81 1 xy 则2xy 的最小值是 18 16 C 8 D 10 8 已知不等式 2 50axxb 的解集为 32 xx 则不等式 2 50bxxa 的解集 为 A 11 32 xx B 11 32 x xx 或 C 32 xx D 32 x xx 或 二 填空题 9 不等式0 1 21 x x 的解集是 10 已知x 2 则y 2 1 x x的最小值是 用心 爱心 专心14 11 对于任意实数x 不等式 2 3 20 8 kxkx 恒成立 则实数k的取值范围是 12 设yx 满足 404 yx且 Ryx则yxlglg 的最大值是 三 解答题 13 解不等式2 2 3 2 1 4 2 xx 14 正数 a b c 满足 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 15 已知x y满足不等式 1 03 03 y yx yx 求z 3x y的最大值与最小值 x y 01 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 用心 爱心 专心15 16 已知二次函数 xf的二次项系数为a 且不等式xxf2 的解集为 1 3 1 若方程06 axf有两个相等的根 求 xf的解析式 2 若 xf的最大值为正数 求a的取值范围 高一数学必修 5 不等式与不等关系专题练习 KEY 命题 邓军民 一 选择题 B B C D B B A B 二 填空题 9 1 1