高中数学《等差数列的前n项和》学案1 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 2 2 3 3 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 一 学习目标 1 知识与技能 通过实例 理解等差数列的概念 探索并掌握等差数列的通项公式 能在 具体的问题情境中 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题 体会等差数列 与一次函数的关系 2 过程与方法 通过对历史有名的高斯求和的介绍 引导学生发现等差数列的第 k 项与倒 数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一 些简单的问题 进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中 通过类比函数概 念 性质 表达式得到对等差数列相应问题的研究 3 情态与价值 培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力 二 学习重 难点 重点 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式 学会用公式解决一些实际问题 体会等差数 列的前 n 项和与二次函数之间的联系 难点 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简 单的有关问题 三 学法 学法 讲练结合 四 学习设想 创设情景 等差数列在现实生活中比较常见 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到 的问题 在 200 多年前 历史上最伟大的数学家之一 被誉为 数学王子 的高斯就曾经 上演了迅速求出等差数列这么一出好戏 那时 高斯的数学老师提出了下面的问题 1 2 3 100 当时 当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时 10 岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案 1 100 2 99 50 51 101 50 5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1 2 3 n 前 100 项的和的问题 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和 探索研究 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发 人们从高斯那里 受到启发 于是用下面的这个方法计算 1 2 3 n 的前 n 项的和 由 1 2 n 1 n n n 1 2 1 n 1 n 1 n 1 n 1 可知 2 1 321 nn n 上面这种加法叫 倒序相加法 请同学们观察思考一下 高斯的算法妙在哪里 高斯的算法很巧妙 他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是 相等的这个规律并且把这个规律用于求和中 这种方法是可以推广到求一般等差数列的前 n 项和的 等差数列求和公式的教学 用心 爱心 专心2 一般地 称 n aaaa 321 为数列 n a的前 n 项的和 用 n S表示 即 nn aaaaS 321 1 思考 受高斯的启示 我们这里可以用什么方法去求和呢 思考后知道 也可以用 倒序相加法 进行求和 我们用两种方法表示 n S 1 2 1111 dnadadaaSn 1 2 dnadadaaS nnnnn 由 得 2 n S 1111nnnn aaaaaaaa n个 1n aan 由此得到等差数列 n a的前 n 项和的公式 2 1n n aan S 对于这个公式 我们知道 只要知道等差数列首项 尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了 2 除此之外 等差数列还有其他方法 读基础教好学生要介绍 当然 对于等差数列求和公式的推导 也可以有其他的推导途径 例如 123 nn Saaaa 1111 2 1 aadadand 1 2 1 naddnd 1 12 1 nand 1 1 2 n n nad 这两个公式是可以相互转化的 把 1 1 n aand 代入 1 2 n n n aa S 中 就可以得 到 1 1 2 n n n Snad 引导学生思考这两个公式的结构特征得到 第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质 第二个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项 公差之间的关系 而且是关于 n 的 二次函数 可以与二次函数进行 比较 这两个公式的共同点都是知道 1 a和 n 不同点是第一个公式还需知道 n a 而第二个 公式是要知道 d 解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式 用心 爱心 专心3 公式运用 课本 52 页练习 1 2 1 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 n a的前 n 项和 S 18 4188aan 1 14 50 732a n d a 例题分析 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的统治 某市 据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从 2001 年起用 10 年时间 在全市中小学建成 不同标准的校园网 据测算 2001 年该市用于 校校通 工程的经费为 500 万元 为了保证 工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元 那么从 2001 年起的未来 10 年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 1 先阅读题目 2 引导学生提取有用的信息 构件等差数列模型 3 写这个等差数列的首项和公差 并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解 解 根据题意 从 2001 2010 年 该市每年投入 校校通 工程的经费都比上一年增加 50 万元 所以 可以建立一个等差数列 n a 表示从 2001 年起各年投入的资金 其中 1 500a d 50 那么 到 2010 年 n 10 投入的资金总额为 1010 1 10 500507250 2 n S 万元 答 从 2001 2010 年 该市在 校校通 工程中的总投入是 7250 万元 例 2 已知一个等差数列 n a前 10 项的和是 310 前 20 项的和是 1220 由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗 引导学生分析得到 等差数列前 n 项和公式就是一个关于 1n aand 1 n或者a 的方程 若要确定其前 n 项求和公式 则要确定d 1 a 和的关系式 从而求得 分析 将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后 可得到两个关于 1 a与 d 的二元 一次方程 由此可以求得 1 a与 d 从而得到所求前 n 项和的公式 解 由题意知 10 310S 20 1220S 将它们代入公式 1 1 2 n n n Snad 用心 爱心 专心4 得到 1 1 1045310 201901220 ad ad 解这个关于 1 a与 d 的方程组 得到 1 a 4 d 6 所以 2 1 463 2 n n n Snnn 另解 1 10 10310 2 n aa S 得 110 62aa 120 20 201220 2 aa S 所以 120 122aa 得1060d 所以 6d 代入 得 1 4a 所以有 2 1 1 3 2 n n n Sa ndnn 例题评述 此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系 已知几个量 通 过解方程 得出其余的未知量 例 3 已知数列 n a的前 n 项为 2 1 2 n Snn 求这个数列的通项公式 这个数列是等差 数列吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 解 根据 121 nnn Saaaa 与 1121 nn Saaa n 1 可知 当 n 1 时 22 1 111 11 2 222 nnn aSSnnnnn 当 n 1 时 2 11 13 11 22 aS 也满足 式 所以数列 n a的通项公式为 1 2 2 n an 由此可知 数列 n a是一个首项为 3 2 公差为 2 的等差数列 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法 已知前 n 项和 n S 可求出通项 1 1 1 n an S n S n a n 1 用心 爱心 专心5 用这种数列的 n S来确定 n a的方法对于任何数列都是可行的 而且还要注意 1 a不一定 满足由 1nnn SSa 求出的通项表达式 所以最后要验证首项 1 a是否满足已求出的 n a 思考 结合例 3 思考课本 51 页 探究 一般地 如果一个数列 n a的前 n 项和为 2 n Spnqnr 其中 p q r 为常数 且 p 0 那么这个数列一定是等差数列吗 如果 是 它的首项与公差分别是什么 引导分析得出 观察等差数列两个前 n 项和公式 1 2 n n aa Sn 和 2 11 1 222 n n ndd Sa ndnan 公式本身就不含常数项 所以得到 如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0 且关于 n 的二次型函数 则这 个数列一定是等差数列 例 4 已知等差数列 24 5 43 77 的前 n 项和为 n S 求使得 n S最大的序号 n 的值 分析 等差数列的前 n 项和公式可以写成 2 1 22 n dd Snan 所以 n S可以看成函 数 2 1 22 dd yxa x xN 当 x n 时的函数值 另一方面 容易知道 n S关于 n 的图 象是一条抛物线上的一些点 因此 我们可以利用二次函数来求 n 的值 解 由题意知 等差数列 24 5 43 77 的公差为 5 7 所以 5 2 51 27 n n Sn 2 2 7555151125 1414256 nn n 于是 当 n 取与 15 2 最接近的整数即 7 或 8 时 n S取最大值 随堂练习 课本 52 页 练习 第 1 2 3 4 题 补充练习 1 已知数列 n a是等差数列 Sn是其前 n 项和 且 S6 S12 S6 S18 S12成等差数列 设 kkkkk SSSSSNk 232 成等差数列吗 生 分析题意 解决问题 解 设 n a首项是 1 a 公差为 d 则 6543216 aaaaaaS 用心 爱心 专心6 为等差数列 12186126 612 121110987 121110987 1817161514131218 6654321 654321 121110987612 36 36 6 6 6 6 6 6 3636 6 6 6 6 6 6 SSSSS dSS daaaaaa dadadadadada aaaaaaSS dSdaaaaaa dadadadadada aaaaaaSS 同理可得 kkkkk SSSSS 232 成等差数列 2 求集合 100 7 mNnnmm且的元素个数 并求这些元素的和 解由 m 100 得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个 所以集合 m 中的元素共有 14 个 从小到大可列为 7 7 2 7 3 7 4 7 14 即 7 14 21 28 98 这个数列是等差数列 记为 n a其中735 2 987 14 98 7 14141 Saa 解由 m 100 得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个 所以集合 m 中的元素共有 14 个 从小到大可列为