高中数学 第二章小结与复习教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 第二章小结与复习第二章小结与复习 一 教学目标 1 知识与技能 掌握指数函数 对数函数 幂函数的概念和性质 对复合函数 抽象函数有一个新的认 识 2 过程与方法 归纳 总结 提高 3 情感 态度 价值观 培养学生分析问题 解决问题和交流的能力及分类讨论 抽象理解能力 二 教学重点 难点 重点 指数函数 对数函数的性质的运用 难点 分类讨论的标准 抽象函数的理解 三 教学方法 讲授法 讨论法 四 教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意 图 复习 引入 多媒体投影 1 本章知识结构 学生总结 老师完善 师 请同学们总结本章知识结构 生 1 指数式和对数式 整数 指数幂 方根和根式的概念 分数 指数幂 有理指数幂的运算性质 无理数指数幂 对数概念 对数的 运算性质 指数式与对数式的互化关 系 2 指数函数 指数函数的概念 指数函数的定义域 值域 指数函 数的图象 恒过定点 0 1 分 对本章 知识 方法形 成体系 用心 爱心 专心 2 方法总结 a 1 0 a 1 两种情况 不同底的 指数函数图象的比较 指数函数的单 调性 分a 1 0 a 1 两种情况 图象和性质的应用 3 对数函数 对数函数的概 念 对数函数的定义域 值域 对数函数的图象 恒过定点 0 1 分a 1 和 0 a 1 两种情况 不 同底的对数函数图象的比较 对数函数的单调性 分 a 1 0 a 1 两种情况 图象和性 质的应用 反函数的有关知识 4 幂函数 幂函数的概念 幂函数的定义域 值域 要结合指数来 讲 幂函数的图象 过定点情况 图 象要结合指数来讲 幂函数的性质 奇偶性 单调性等 同样要结合指数 图象和性质的应用 师 请同学们归纳本章解题方法 生 1 函数的定义域的求法 列 出使函数有意义的自变量的不等关系式 求解即可求得函数的定义域 常涉及到的 依据为 分母不为 0 偶次根式中 被开方数不小于 0 对数的真数大于 0 底数大于零且不等于 1 零指数幂 的底数不等于零 实际问题要考虑实 际意义等 2 函数值域的求法 配方法 用心 爱心 专心 二次或四次 判别式法 反函数 法 换元法 函数的单调性法 3 单调性的判定法 设 x1 x2是所研究区间内的任两个自变量 且x1 x2 判定f x1 与f x2 的 大小 作差比较或作商比较 注 做有关选择 填空题时 可 采用复合函数单调性判定法 做解答题 时必须用单调性定义和基本函数的单调 性 4 图象的作法与平移 据函数 表达式 列表 描点 连光滑曲线 利用熟知函数的图象的平移 翻转 利用函数图象的对称性或互为反函数图 象的对称描绘函数图象 5 常用函数的研究 总结与推广 研究函数y 2 1 ax a x a 0 且a 1 的定义域 值域 单 调性 反函数 研究函数y loga 2 1x x a 0 且a 1 的定义域 单调性 反函数 6 抽象函数 即不给出f x 的解析式 只知道f x 具备的条件 的研究 若f a x f a x 则 f x 关于直线x a对称 若对任意的x y R R 都有 用心 爱心 专心 f x y f x f y 则f x 可 与指数函数类比 若对任意的x y 0 都 有f xy f x f y 则f x 可与对数函数类比 应用 举例 例 1 设 a 0 x 2 1 a n 1 a n 1 求 x 2 1x n的值 例 2 已知函数f x 1 1 x x m m m 0 且m 1 1 求函数f x 的定 义域和值域 2 判断f x 的奇偶 例 1 解 1 x2 1 4 1 a n 2 2 a n 2 4 1 a n 2 2 a n 2 2 1 a n 1 a n 1 2 a 0 a n 1 0 a n 1 0 a n 1 a n 1 0 x 2 1x x 2 1 a n 1 a n 1 2 1 a n 1 a n 1 2 1 a n 1 a n 1 a n 1 x 2 1x n a 小结 本题考查了分数指数幂的运 算性质 技巧是把根号大的式子化成完 全平方的形式 例 2 解 1 mx 0 mx 1 0 恒 成立 函数的定义域为 R R y 1 1 x x m m mx y y 1 1 0 1 y 1 进一步 掌握指 数函数 对数函 数 幂 函数的 概念和 性质等 知识 培 养学生 分析问 题 解 决问题 和交流 的能力 及分类 讨论 抽象理 解能力 用心 爱心 专心 性 3 讨论函数f x 的 单调性 例 3 己知f x 1 log2x 1 x 4 求函数 g x f 2 x f x2 的最 函数f x 的值域为 1 1 2 函数的定义域为 R R 关于原 点对称 又 f x 1 1 x x m m x x m m 1 1 f x 函数f x 是奇函数 3 任取x1 x2 则f x1 f x2 1 1 1 1 x x m m 1 1 2 2 x x m m 1 1 2 21 21 xx xx mm mm m 1 x 1 0 m 2 x 1 0 当m 1 时 m 1 x m 2 x 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 当 0 m 1 时 m 1 x m 2 x 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 综上 当m 1 时 函数f x 为 增函数 当 0 m 1 时 函数f x 为减函 数 小结 求值域用了反表示法 函数 表达式中有指数式mx 它具有大于 0 的 范围 注意反表示法求值域这类题型的 特征 函数的单调性要注意分类讨论 例 3 解 f x 的定义域为 1 4 用心 爱心 专心 大值和最小值 例 4 求函数 y loga x x2 a 0 a 1 的定义域 值 域 单调区间 g x 的定义域为 1 2 g x f 2 x f x2 1 log2x 2 1 log2x2 log2x 2 2 2 又 1 x 2 0 log2x 1 当x 1 时 g x min 2 当x 2 时 g x max 7 小结 这是一道易错题 首先要考 虑定义域是本题防错的关键 其实研究函 数问题考虑定义域应该成为一种习惯 例 4 解 1 定义域 由 x x2 0 得 0 x 1 定义域为 0 1 2 0 x x2 x 2 1 2 4 1 4 1 当 0 a 1 时 loga x x2 loga 4 1 函数的值域为 loga 4 1 当a 1 时 loga x x2 loga 4 1 函数的值域为 loga 4 1 3 令u x x2 在区间 0 1 内 u x x2在 0 2 1 上 递增 在 2 1 1 上递减 当 0 a 1 时 函数在 0 2 1 上是减函数 在 2 1 1 上 是增函数 用心 爱心 专心 例 5 设x 0 y 0 且x 2y 1 求函数 y log 2 1 8xy 4y2 1 的值域 例 6 函数f x lg a2 1 x2 a 1 x 1 1 若f x 的定义域 当a 1 时 函数在 0 2 1 上是 增函数 在 2 1 1 上是减函数 小结 复合函数的定义域 值域 单调性 奇偶性的研究通常由里向外 本题讨论的分界线是对数的底 例 5 解 x 2y 1 x 1 2y 0 又y 0 0 y 2 1 8xy 4y2 1 8 1 2y y 4y2 1 12y2 8y 1 0 y 2 1 1 12y2 8y 1 12 y 3 1 2 3 7 3 7 log 2 1 3 7 log 2 1 8xy 4y2 1 log 2 11 0 函数的值域为 log 2 1 3 7 0 小结 本题的易错点是代换时没有 注意到通过x求出y的范围 所以我们在 代换时要注意等价代换 即考虑到字母 的取值范围 例 6 解 1 f x 的定义域为 a2 1 x2 a 1 x 1 0 对一 切x R R 恒成立 用心 爱心 专心 为 求实数a的 取值范围 2 若f x 的值域为 求实数a的取 值范围 当a2 1 0 时 0 1 4 1 01 22 2 aa a 即 3 5 1 11 aa aa a 1 或a 3 5 当a2 1 0 时 若a 1 则 f x 0 定义域也是 若a 1 则f x lg 2x 1 定 义域不是 故所求a的取值范围是 1 3 5 2 f x 的值域为 只要t a2 1 x2 a 1 x 1 能取到 0 内的任何一个值 0 1 4 1 01 22 2 aa a 即 3 5 1 11 a aa 1 a 3 5 又当a2 1 0 时 若a 1 则 f x lg 2x 1 其值域也是 若a 1 则f x 0 不合题意 所求a的取值范围是 1 3 5 小结 本题考查了换元转化思想和 分类讨论思想 理解对数函数概念 特 或 或 或 用心 爱心 专心 别是把握定义域 值域的含义是解题的 关键 特别是 2 中 f x 的值域是 R R 的含义是真数部分即t a 1 x2 a 1 x 1 在x取值时需取满足 0 的每一个值 否则f x 的值域就不是 R R 这就要求t关于x的 二次函数不能有比零大的最小值 因此 0 这时要注意f x 的定义域不 是 R R 的集合了 而是 x1 x2 其中x1 x2分别为相应 二次方程的小根 大根 归纳 总结 1 我们从正整数指数幂出 发 经过推广得到了有理数指 数幂 又由 有理数逼近无理 数 的思想 认识了实数指数 幂 这个过程体现了数学概念推 广的基本思想 有理数指数幂 实数指数幂的运算性质是从正 整数指数幂推广得到的 从对数 与指数的相互联系出发 根据 指数幂的运算性质 我们推出 了对数运算性质 2 函数是描述客观世界变 化规律的重要数学模型 不同 的变化规律需要用不同的函数 模型描述 本章学习的三种不同 类型的函数模型 刻画了客观 学生先自回顾反思 教师点评完善 形成知 识体系 用心 爱心 专心 世界中三类具有不同变化规律 因而具有不同对应关系的变化 现象 指数函数 对数函数和幂 函数是描述客观世界中许多事 物发展变化的三类重要的函数 模型 这三类函数的图象和性 质是我们解决相关问题的重要 工具 3 研究函数时 函数图象 的作用要充分重视 另外 计算 器或计算机可以帮助我们方便 地作出函数图象 并可以动态 地演示函数的变化过程 这对 我们研究函数性质很有帮助 课后 作业 作业 小结与复习 习案学生独立完成巩固新 知 提升能 力 备选例题 例 1 已知f x lgx 则y f 1 x 的图象是下图中的 A 解析 方法一 y f 1 x lg 1 x 显然x 1 故排除 B D 又 因为当x 0 时 y 0 故排除 C 方法二 从图象变换得结果 180 lg 一一一一一一一y xyy lg x 1lg lg xyxy 一一一一一一一一一一一 用心 爱心 专心 y lg x 1 一一一一一一一一一一一一一xx y lg 1 x 小结 1 y lgx变成y lg 1 x 过程不会变换 不知道关于什么轴对称导 致误解 2 解决有关图象的选择问题 方法比较灵活 可用特值排除法 也可直接求解 但 一定要注意图象的特点 对于图象的对称 平移问题一定要注意对称轴是什么 平移是左 移还是右移 移动的单位是多少 这是移动的关键 例 2 设a 0 a 1 t 0 比较t a log 2 1 与 2 1 log t a 的大小 并证明你的结论 解析 t 0 可比较t a log与 2 1 log t a 的大小 即比较t与 2 1 t 的大小 当t 1 时 2 1 t t 2 1 loglog t t aa 当t 1 时 12 21 2 tttt 2 1 t 0 t 1 t2 2 1 t t 当 0 a 1 时 t a log 2 1 log t a 即t a log 2 1 2 1 log t a 当a 1 时 t a log 2 1 log t a 即t a log 2 1 2 1 log t a 综上知 当t 1 时