广东省韶关市2012届高三数学摸底考试题 理

1 20122012 届高三摸底考试数学试题届高三摸底考试数学试题 理科理科 本卷分选择题非选择题两部分 共本卷分选择题非选择题两部分 共 4 4 页 满分页 满分 150150 分分 考试用时间考试用时间 120120 分钟分钟 注意事项 注意事项 1 1 考生务必将自己的姓名 班级 学校用蓝 黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上 考生务必将自己的姓名 班级 学校用蓝 黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上 2 2 选择题 填空题每小题得出答案后 请将答案填写在答题卷相应指定位置上 答在试选择题 填空题每小题得出答案后 请将答案填写在答题卷相应指定位置上 答在试 题卷上不得分 题卷上不得分 3 3 考试结束 考生只需将答题卷交回 考试结束 考生只需将答题卷交回 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知全集 集合 那么 UR 2 1Px x U C P A B C D 1 1 1 1 11 2 设 则使函数y x 的定义域为 R R 且为奇函数的所有 值为 1 1 1 2 3 A 1 3 B 1 1C 1 3 D 1 1 3 3 若 则等于 13 22 i 2 1 A B C D 1033i 13i 4 若平面向量与向量平行 且 则 b 1 2 a52 b b A B C D 或 2 4 2 4 3 6 2 4 2 4 5 若f x x2 x a f m 0 则f m 1 的值 A 正数 B 负数 C 非负数 D 与m有关 6 6 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该几何 体的俯视图可以是 7 设满足约束条件 则的最大值是 x y 0 4312 x yx xy 22 1 y x A 5 B 6 C 8 D 10 A B C D 1 1 1 1 2 8 定义在 R 上的周期函数 f x 周期 T 2 直线 x 2 是它的图象的一条对称轴 且 f x 在 3 2 上是减函数 如果 A B 是锐角三角形的两个内角 则 A B sin cos fAfB cos sin fBfA C D sin sin fAfB cos cos fBfA 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 9 函数的定义域是 2 1 6 y xx 10 等比数列中 则等于 n a 4 4a 26 aa 11 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是 2 11yx 1x y 12 函数的定义域为 若且时总有 则称 f xA 12 x xA 12 f xf x 12 xx 为单函数 例如 函数是单函数 下列命题中是真命题有 f x 21f xxxR 写出所有真命题的编号 函数是单函数 2 f xxxR 指数函数是单函数 2xf xxR 若为单函数 且 则 f x 12 x xA 12 xx 12 f xf x 在定义域是单调函数的函数一定是单函数 13 在 ABC中 若1ab 3c 则C 14 若关于x的方程x k 0 在x 0 1 时没有实数根 则k的取值范围是 1 x 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答必须写出文字说明 证明过程和演算步骤分 解答必须写出文字说明 证明过程和演算步骤 15 本小题满分 12 分 已知函数 2 2 3cos2sin cos3f xxxx 1 求函数的最小正周期及最小值 2 求函数的单调递增区间 f x 16 本小题满分 12 分 某批发市场对某种成衣的周销售量 单位 千件 进行统计 最近 100 周的统计结果如下表 所示 3 周销售量 234 频数 205030 1 根据上面统计结果 求周销售量分别为 2 千件 3 千件和 4 千件的频率 2 已知每千件该种成衣的销售利润为 2 千元 表示该种成衣两周销售利润的和 单位 千元 若以上述频率作为概率 且各周的销售量相互独立 求的分布列和数学期望 17 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 点 分 111 ABCABC ACBC 1 1 2ACBCCC DE 别是 的中点 1 AA 1 CC 1 求证 平面 AE 1 BC D 2 证明 平面平面 1 BC D BCD 3 求与平面所成角的正切值 CD 1 BC D 18 本小题满分 14 分 某出版社新出版一本高考复习用书 该书的成本为 5 元 本 经销过程中每本书需付给代理 商 m 元 1 m 3 的劳务费 经出版社研究决定 新书投放市场后定价为x元 本 9 x 11 预计一年的销售量为 2 20 x 万本 1 求该出版社一年的利润L 万元 与每本书的定价x的函数关系式 2 当每本书的定价为多少元时 该出版社一年的利润L最大 并求出L的最大值 mR A1B1 D A B C E 图 5 C1 4 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的一个焦点与抛物线 2 4yx 的焦点重合 且截抛物线F 的准线所得弦长为2 倾斜角为的直线 过点 45 lF 1 求该椭圆的方程 2 设椭圆的另一个焦点为 问抛物线上是否存在一点 使得与关 1 Fxy4 2 MM 1 F 于直线 对称 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 lM 20 本小题满分 14 分 已知数列 n a 12 2aa 11 2 2 nnn aaan 1 求数列的通项公式 n a n a 2 当时 求证 2n 12 111 3 n aaa 3 若函数满足 f x 2 1 1 1 faf nfnf nnN 求证 1 11 12 n k f k 5 20122012 届高三数学摸底试题 理 答案届高三数学摸底试题 理 答案 一 选择题 一 选择题 DABDBDABDB CDACDA 二 填空题 二 填空题 9 9 10 10 16 16 11 11 10 10 12 12 13 13 2 3 32xx 14 0 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答必须写出文字说明 证明过程和演算步骤分 解答必须写出文字说明 证明过程和演算步骤 15 本小题满分 12 分 已知函数 2 2 3cos2sincos3f xxxx 1 求函数的最小正周期及最小值 2 求函数的单调递增区间 f x 解 1 f x 2cos2x 2sinxcosx cos2x 1 sin2x 2 分3333 2cos 2x 4 分 6 最小正周期为 6 分 当时 即函数有最小值 8 分22 62 xkkZ 6 xkkZ 2 2 10 分 22 2 6 kxk 12 分 7 1212 kxkkZ 函数的单调递增区间为 12 分 f x 7 1212 kkkZ 16 本小题满分 12 分 解 1 周销售量为 2 千件 3 千件和 4 千件的频率分别为 0 2 0 5 和 0 3 3 分 2 的可能值为 8 10 12 14 16 且 5 分 P 8 0 22 0 04 P 10 2 0 2 0 5 0 2 P 12 0 52 2 0 2 0 3 0 37 P 14 2 0 5 0 3 0 3 P 16 0 32 0 09 的分布列为 8101214 16 P0 040 20 370 30 09 8 0 04 10 0 2 12 0 37 14 0 3 16 0 09 12 4 千元 12 分E 9 分 6 17 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 点 分 111 ABCABC ACBC 1 1 2ACBCCC DE 别是 的中点 1 AA 1 CC 1 求证 平面 AE 1 BC D 2 证明 平面平面 1 BC D BCD 3 求与平面所成角的正切值 CD 1 BC D 1 证明 在矩形中 11 ACC A 由 11 C EAD C EAD 得是平行四边形 1 AEC D 所以 2 分 1 AEDC 又平面 平面 AE 1 BC D 1 C D 1 BC D 所以平面 3 分 AE 1 BC D 2 证明 直三棱柱中 111 ABCABC 1 BCCC ACBC 1 CCACC 所以平面 BC 11 ACC A 而平面 1 C D 11 ACC A 所以 6 分BC 1 C D 在矩形中 从而 11 ACC A 11 2 2DCDCCC 222 11 DCDCCC 所以 8 分 1 C DDC 又 DCBCC 所以平面 9 分 1 C D BCD 而平面 1 C D 1 BC D 所以平面平面 10 分 1 BC D BCD 3 由 2 可知平面平面 所以 斜线在平面的射影在 1 BC D BCDCD 1 BC D 上 为所求 12 分BDBDC 又由 2 可知 所以平面 所以 BC 11 ACC ABC CD A1B1 D A B C E 图 5 C1 7 所以 三角形是直角三角形 所以所求值为 14 分BCD1 2BCCD 2 2 另解 以为原点 为 轴建立直角坐标系 1 C 11 C D 11 C B 1 C Cxyz 则 则 0 0 2 C 1 0 1 D 1 0 0 0 C 0 1 2 B 1 0 1 DC 设平面的法向量为 1 BC D 1 nx y 由得 1 0 n C D 10 x 由 得 1 0n BC 20y 由以上两式解得 12 分1 2xy 1 2 1 n 设与夹角的为 则n DC 222222 1 2 1 1 0 1 cos 1 2 1 1 01 n DC nDC 所以 所以所求值为 14 分 1 3 2 2 18 本小题满分 14 分 某出版社新出版一本高考复习用书 该书的成本为 5 元 本 经销过程中每本书需付给代理 商 m 元 1 m 3 的劳务费 经出版社研究决定 新书投放市场后定价为x元 本 9 x 11 预计一年的销售量为 2 20 x 万本 求该出版社一年的利润L 万元 与每本书的定价x的函数关系式 当每本书的定价为多少元时 该出版社一年的利润L最大 并求出L的最大值 mR 解 该出版社一年的利润L 万元 与每本书定价x的函数关系式为 11 9 20 5 2 xxmxL 4 分 定义域不写扣 1 分 20 5 2 20 2 xmxxxL 3230 20 xmx 6 分 令0L 得mx 3 2 10 或 x 20 不合题意 舍去 7 分 31 m 12 3 2 10 3 32 m 在mx 3 2 10 两侧 L 的值由正变负 所以 1 当11 3 2 10 3 32 m即 2 3 1 m时 3 max 3 5 4 3 2 10 20 5 3 2 10 3 2 10 m mmmmLL 9 分 2 当12 3 2 1011 m即3 2 3 m时 8 6 81 1120 511 11 2 max mmLL 11 分 所以 3 2 3 6 81 2 3 1 3 5 4 3 mm m m mR 答 若 2 3 1 m 则当每本书定价为m 3 2 10 元时 出版社一年的利润L最大 最大值 3 3 5 4 m mR 万元 若3 2 3 m 则当每本书定价为 11 元时 出版社一年的利 润L最大 最大值 6 81 mmR 万元 14 分 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的一个焦 点与抛物线 2 4yx 的焦点重合 且截抛物线的准线所得弦长为2 倾斜角为F 的直线 过点 45 l F 1 求该椭圆的方程 2 设椭圆的另一个焦点为 问抛物线上是否存在一点 使得与 1 Fxy4 2 MM 关于直线 对称 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 1 FlM 解 1 抛物线的焦点为 准线方程为 2 分xy4 2 0 1 F1 x 3 分1 22 ba 又椭圆截抛物线的准线所得弦长为2 1 x 得上交点为 2 2 1 4 分1 2 1 1 22 ba 由 代入 得 解得或 舍去 012 24 bb1 2 b 2 1 2 b 从而 6 分21 22 ba 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 7 分 22 1 21 xy 9 2 倾斜角为的直线 过点 45 l F 直线 的方程为 即 8 分l 1 45tan xy 1 xy 由 1 知椭圆的另一个焦点为 设与关于直线 对称 0 1 1 F 00 yxM 1 Fl 9 分 则得 10 分 1 2 1 2 0 11 1 0 00 0 0 xy x y 解得 即 11 分 2 1 0 0 y x 2 1 M 又满足 故点在抛物线上 13 分 2 1 Mxy4 2 M 所以抛物线上存在一点 使得与关于直线 对称 14 分xy4 2 2 1 MM 1 Fl 20 本小题满分 14 分 已知数列 n a 12 2aa 11 2 2 nnn aaan 求数列的通项公式 n a n a 当时 求证 2n 12 111 3 n aaa 若函数满足 f x 2 1 1 1 faf nfnf nnN 求证 1 11 12 n k f k 解 两边加得 11 2 nnn aaa n a 11 2 2 nnnn aaaan 是以 2 为公比 为首项的等比数列 1 nn aa 12 4aa