高中数学《基本计数原理》素材1 新人教B版必修2-3

用心 爱心 专心 高考计数原理考点分析高考计数原理考点分析 计数原理与实际生活联系紧密 思考方法和解题方法与其它内容有很大不同 具有 四强 特点 即概念性强 抽象性强 实用性强 灵活性强 在每年高考中是必考内 容 本文归纳总结了高考常见考查方式 以供参考 考点 1 考查两个原理的直接应用问题 例 1 将 3 种作物种植在如下图所示的 5 块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一作物 不同的种植方法共有 种 以数字作答 解析 分别用a b c代表 3 种作物 先安排第一块田 有 3 种方法 不妨设种a 再安排第二块田种b或c有 2 种方法 不妨设种b 第三块田也有2种方法种a或c 1 若第三块田种c abc 则第四 五块田分别有 2 种方法 共有 2 2 种方法 2 若第三块田种a aba 第四块田仍有 2 种方法 若第四块田种c abac 第五块田仍有 2 种方法 若第四块田种b abab 则第五块田只能种c 共有 3 种方法 综上 共有32 223 42 种方法 评注 两个原理是解决排列 组合应用题的基础 应用两个原理时 关键是根据自己 对问题的分析 先分类再分步 考点 2 考查特殊元素或特殊位置的优先考虑问题 例 2 从 1 3 5 7 中任取 2 个数字 从 0 2 4 6 8 中任取 2 个数字 组成没有 重复数字的四位数 其中能被 5 整除的四位数共有 个 解析 符合条件的四位数的个位必须是 0 5 但不能排在首位 故 0 是其中的特殊元 用心 爱心 专心 素 应优先安排 按照 0 排在个位 0 排在十 百位和不含 0 为标准分为三类 0 排在个位能被 5 整除的四位数有 1123 1443 144AC CA 个 0 排在十 百位 但 5 必须排在个位有 11112 21432 48A A C CA 个 不含 0 但 5 必须排在个位有 1123 1343 108A C C A 个 由分类加法计数原理得所求四位数共有 300 个 评注 若排列中有特殊元素或特殊位置时 一般既可先处理特殊元素 也可先处理特 殊位置 依据具体情况而定 在本题中 0 5 是特殊元素 首位和末位是特殊位置 考点 3 考查相邻排列计算问题 例 3 有 n n N件不同的产品排成一排 若其中AB 两件不同的产品排在一起的排 法有 48 种 则n 解析 将AB 两件产品看作一个大元素 与其他产品排列有 1 1 n n A 种排法 对于上述的 每种排法 AB 两件产品之间又有 2 2 A种排法 由分步乘法计数原理得满足条件的不同排 法有 12 12 48 n n AA 种 故5n 评注 对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素 捆绑 起来视为一个元 素 与其他元素一起进行全排列 然后再对相邻元素内部进行全排列 这就是处理相邻排 列问题的 捆绑 法 考点 4 考查互不相邻排列计算问题 例 4 有两排座位 前排 11 个座位 后排 12 个座位 现安排 2 人就座 规定前排中 间的 3 个座位不能坐 并且这 2 个人不左右相邻 那么不同排法的种数是 234 346 350 363 解析 前排中间 3 个座位不能坐 实际可坐的位置前排 8 个 后排 12 个 1 两人一个前排 一个后排方法数为 112 8122 192C C A 2 两人均在后排 安排 2 人的座位插入 10 个座位之间的空隙及两边 共有 2 11 11 10110A 种排法 3 两人均在前排 又分两类 两人一左一右 有 112 442 32C C A 种排法 两人同左或同右时 有 2 3 212A 种排法 用心 爱心 专心 综上 不同排法的种数为 11221122 8122114423 2346C C AAC C AA 故选答案 评注 对于含有某几个元素互不相邻的排列问题 可先将其他元素排成一排 然后将 不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中 这就是解决互不相邻问题最为奏 效的 插空 法 考点 5 考查排列 组合混合计算问题 例 5 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入 4 名学生 要安排到该年级的两个 班级且每班安排 2 名 则不同的安排方案种数为 234 346 350 363 解析 把新转来的 4 名学生平均分两组 每组 2 人 分法有 2 24 4 2 2 1 2 C C A 种 把这两组人 安排到 6 个班中的某 2 个中去 有 2 6 A种方法 故不同的安排种数为 33 64 1 2 A C 故选答案 评注 对于排列组合混合问题 可运用先分组后排列的策略求解 无次序分组问题常 有 均匀分组 部分均匀分组 非均匀分组 等三种类型 计数时常有下面结论 对于其 中的 均匀分组 和 部分均匀分组 问题 只需按 非均匀分组 列式后 再除以均匀 组数的全排列数 考点 6 考查排列 组合有关的几何计算问题 例 6 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形 其中直角三角形的个数为 56 52 48 40 解法一 从正方体的 8 个顶点中任取 3 个顶点可构成 3 8 C个三角形 其中非直角三角形 的有两类 上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成 1 个正三角形 上 底面的 4 个顶点共构成 4 个非直角三角形 下底面的 4 个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成 4 个非直角三角 形 故所求直角三角形共有 3 8 4448C 个 故选答案 解法二 正方体的 6 个表面及 6 个对角面都是矩形 而每个矩形可构成 3 4 C个直角三角 形 故共有直角三角形 3 4 66 48C 个 故选答案 评注 求解几何图形问题时 一要熟悉几何图形的性质及点 线 面的位置关系 二 要按同一标准分类 避免重漏 三若直接求解困难或头绪繁多时 可从其反面去考虑 将 其转化为简单的问题去解决 考点 7 考查二项式定理指定项的求法问题 用心 爱心 专心 例 7 若 33 n x x 的展开式中存在常数项 则n的值可以是 8 9 10 12 解析 32 n x x 的展开式中的第1r 项是 3 35 6 1 2 2 r nr rn rrr rnn TCxCx x 若存在常数项 则 35 0 6 nr 即35nr 当10n 时 6r 所以n可以是 10 故 选答案 评注 求二项式定理的指定项 关键是抓住展开式中的通项公式 就可由题设确定通 项公式中的指数或项数 进而求出r 从而求出其指定项 考点 8 考查与二项式系数和有关问题 例 8 若 31 n xn N的展开式中各项系数的和是 256 则展开式中 2 x的系数是 解析 令1x 得展开式各项系数之和为4256 n 解得4n 所以 2 x的系数是 22 4 354C 评注 转换视角 把展开式看作一个代数恒等式 通过令变量取不同的值得到所需结 果 是解决这一类问题的通法 考点 9 考查应用二项式定理进行估值或对不等式进行放缩问题 例 9 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成 2003 年某地区农民人均收入为 3150 元 其中工资性收入为 1800 元 其它收入为 1350 元 预计该地区自 2004 年起的 5 年内 农民的工资性收入将以每年 6 的年增长率增长 其它收入每年增加 160 元 根据 以上数据 2008 年该地区农民人均收入介于 4200 元 4400 元 4400 元 4600 元 4600 元 4800 元 4800 元 5000 元 解析 2008 年农民工资性人均收入为 5122 55 1800 10 06 1800 10 060 06 C